【文章內(nèi)容簡介】 于兩條包絡(luò)線之間，實(shí)際響應(yīng)的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快，因此往往可用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)來讀算調(diào)節(jié)時間。如圖17所示，包絡(luò)線收斂速率取決于，響應(yīng)的阻尼振蕩頻率取決于，因此響應(yīng)初始值h(0)=0，初始的斜率h’（0）=0，及終值h()=1。圖17 欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線及包絡(luò)線 （2） 性能指標(biāo)： 調(diào)節(jié)時間tS: 單位階躍響應(yīng)C(t)進(jìn)人177。5%(有時也取177。2%)誤差帶，并且不再超出該誤差帶的最小時間。超調(diào)量σ% ；單位階躍響應(yīng)中最大偏離量與穩(wěn)態(tài)值之比。峰值時間tP ：單位階躍響應(yīng)C(t)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個峰值所需要的時間。 結(jié)構(gòu)參數(shù)ξ：可以直接影響到單位階躍響應(yīng)的性能。（3） 平穩(wěn)性： 阻尼比ξ越小，平穩(wěn)性越差（4） 快速性：當(dāng)ξ過大時，例如，ξ值接近于1時，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時間tS 長，快速性較差。而當(dāng)ξ過小時，雖然響應(yīng)的起始速度較快，但因?yàn)檎袷?，衰減緩慢，調(diào)節(jié)時間tS較長。由誤差帶的調(diào)節(jié)時間與阻尼比關(guān)系曲線可知，ξ＝，調(diào)節(jié)時間最短，就是其快速性最好。由圖16所示，可以看出當(dāng)ξ＝%5％,平穩(wěn)性也是十分令人滿意的，故稱ξ＝。對于一定的阻尼比ξ，所對應(yīng)的無因次時間ωnt的響應(yīng)是一定的。那么ωn越大，調(diào)節(jié)時間tn也越短。因此，當(dāng)ξ一定時，ωn越大，快速性越好。 （5） 對于典型欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能、系統(tǒng)參數(shù)以及它的極點(diǎn)分布情況的關(guān)系而言，當(dāng)ωn固定，ξ增加（β減?。r，在s平面系統(tǒng)極點(diǎn)如下圖18中所示的圓弧軌道閉環(huán)極點(diǎn)位于β=45176。的線附近，從而使系統(tǒng)有合適的超調(diào)量，并且依據(jù)情況盡量使其遠(yuǎn)離虛軸，以提高系統(tǒng)的快速性。軌道（Ⅰ）移動，對應(yīng)系統(tǒng)的超調(diào)量σ%減?。煌瑫r由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，ξωn增加，調(diào)節(jié)時間ts減小。 當(dāng)ξ固定，ωn增加時，在s平面系統(tǒng)極點(diǎn)如圖18所示的射線軌道（Ⅱ）移動，對應(yīng)的系統(tǒng)的超調(diào)量σ%是不變的；由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離了虛軸，ξωn增加，調(diào)節(jié)時間ts就將減小。在一般的實(shí)際系統(tǒng)中，T0是系統(tǒng)的固定參數(shù)，因此不允許隨意的進(jìn)行改變，但允許調(diào)節(jié)是開環(huán)增益K是各環(huán)節(jié)總的傳遞系數(shù)。而當(dāng)K增大時，在s平面內(nèi)系統(tǒng)極點(diǎn)如圖18所示的垂直線（Ⅲ）移動，超調(diào)量σ%會增加,阻尼比變小。綜合上述所論，要獲得滿意的系統(tǒng)動態(tài)性能，應(yīng)當(dāng)選擇適當(dāng)參數(shù)，從而使二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于=45176。的線附近，繼而使系統(tǒng)具有合適的超調(diào)量，以提高系統(tǒng)的快速性。ImRe0ⅠⅢⅡ圖18 系統(tǒng)極點(diǎn)軌跡圖 仿真驗(yàn)證（1） 自然頻率ωn固定，阻尼比ξ不同的時候，此時二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，通過仿真來觀察ξ對時域響應(yīng)的影響。分別選擇不少于四個（代表四種阻尼狀態(tài)）取值，仿真二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。 將自然頻率固定為=2,阻尼比的值分別設(shè)置成＝0,1,4我們可以采用Matlab的語句通過編程得到二階系統(tǒng)在這些阻尼比取值下的單位階躍響應(yīng)曲線： ①具體仿真程序見附錄二。②利用Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖（ζ取不同值）如下圖19所示：圖19 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)simulink仿真結(jié)構(gòu)圖③仿真曲線，如下圖110和圖111所示。圖110 matlab程序仿真二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖111 simulink仿真曲線 ④仿真分析從得到的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的曲線中，我們可以看出：當(dāng)0時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為振蕩發(fā)散；當(dāng)=0時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為無阻尼振蕩系統(tǒng)且為等幅振蕩狀態(tài)，系統(tǒng)的輸出為正弦曲線；當(dāng)01時，系統(tǒng)輸出曲線呈現(xiàn)衰減振蕩狀態(tài)。隨著增大，超調(diào)量變小，調(diào)節(jié)時間變短，峰值時間變大，上升時間增大，此時的系統(tǒng)，稱為欠阻尼系統(tǒng)。當(dāng)=1時，系統(tǒng)的輸出曲線無超調(diào)，但響應(yīng)速度比〉1時系統(tǒng)的響應(yīng)速度快，=1是總能保持系統(tǒng)輸出值小于1的最小阻尼比。此時的系統(tǒng)稱為臨界阻尼系統(tǒng)。當(dāng)〉1時，系統(tǒng)輸出曲線無超調(diào)，緩慢上升，且系統(tǒng)隨著阻尼比的增大，調(diào)節(jié)時間ts縮短，上升時間tr、峰值時間tp都延長，超調(diào)量σ%變小。此時的系統(tǒng)稱為過阻尼系統(tǒng)。 （2） 當(dāng)阻尼比和響應(yīng)時間一定的條件下，改變自然頻率，此時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，通過仿真來觀察ωn對時域響應(yīng)的影響。分別選擇不少于四個取值的自然頻率ωn，仿真二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。 將阻尼比固定為=0。707,、5我們可以采用Matlab語句得到二階系統(tǒng)在這些無阻尼自然振蕩角頻率ωn取值下的單位階躍響應(yīng)曲線： ①具體仿真程序見附錄三。②利用Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖（ωn取不同值）如圖112所示，參數(shù)的選擇ωn= 15，=：圖112 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)simulink仿真結(jié)構(gòu)圖 ③仿真曲線，如下圖113和圖114所示。圖113 matlab程序仿真二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 圖114 simulink仿真曲線圖 ④仿真分析 從得到的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)響應(yīng)曲線中，可以看出，當(dāng)無阻尼自然振蕩頻率ωn增加時，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，但響應(yīng)曲線的峰值不變。這是因?yàn)槎A系統(tǒng)在欠阻尼的情況下，上升時間如式114。 (114) 在ξ值一定的情況下，ωn越大，上升時間越短，響應(yīng)速度越快。最大超調(diào)量為 （115） 且與ωn值無關(guān)，所以在不同的ωn值下系統(tǒng)響應(yīng)曲線的峰值不變。 作為二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，在設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時，我們可以根據(jù)情況情況合理的選擇和ωn值，使系統(tǒng)具有良好的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。（3） 通過仿真來觀察附加閉環(huán)零、極點(diǎn)對系統(tǒng)動態(tài)性能和時間響應(yīng)的影響。分別選取不少于三個取值的附加零點(diǎn)和附加極點(diǎn)，通過仿真二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，來進(jìn)行觀察。①附加極點(diǎn)對動態(tài)性能的影響。A、設(shè)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 （116），自然頻率ωn設(shè)置為1，附加極點(diǎn)P設(shè)置為2，10。B、具體仿真程序見附錄四。C、利用Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖，如圖117所示。圖117 simulink仿真結(jié)構(gòu)圖D、仿真曲線，如下圖118和圖119所示。圖118 matlab仿真曲線圖119 simulink仿真曲線 E、仿真分析 當(dāng)在閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)在其右側(cè)增加極點(diǎn)時，系統(tǒng)的響應(yīng)由周期性的響應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)榱朔侵芷诘捻憫?yīng)，響應(yīng)的平穩(wěn)性變好，然而過渡過程得調(diào)節(jié)時間變的過長，快速性下降。隨著增加的這些極點(diǎn)越來越靠近曲線的虛軸，而它在系統(tǒng)響應(yīng)中逐漸起主導(dǎo)作用。而當(dāng)附加極點(diǎn)的實(shí)部是10時的單位階躍響應(yīng)是與原系統(tǒng)（實(shí)部為1）的單位階躍響應(yīng)是基本上一致。另外極點(diǎn)實(shí)部絕對值大于主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部絕對值的10倍時，且不會影響動態(tài)響應(yīng)的特性。如果系統(tǒng)的快速性好，應(yīng)使階躍響應(yīng)衰減得快些,則閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸即極點(diǎn)越遠(yuǎn)離虛軸，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts與諧振頻率ωt和寬頻ωd都成反比關(guān)系，這時ωt和ωd越大，這都表明了一個現(xiàn)象就是閉環(huán)極點(diǎn)越遠(yuǎn)離虛軸，則其系統(tǒng)的快速性越好。 ②附加零點(diǎn)對動態(tài)性能的影響。 A、設(shè)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 （117），自然頻率ωn設(shè)置為1，附加零點(diǎn)z設(shè)置為2，10。B、具體仿真程序見附錄五。C、利用Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖，如圖120所示。圖120 simulink仿真結(jié)構(gòu)圖D、仿真曲線，如下圖121和圖122所示。圖122 simulink仿真曲線圖121 matlab仿真曲線 E、仿真分析附加閉環(huán)零點(diǎn)時通過改變單位階躍響應(yīng)中各模態(tài)的加權(quán)系數(shù)來影響閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能的。對系統(tǒng)附加閉環(huán)零點(diǎn)不會影響閉環(huán)極點(diǎn)，因此就不會影響到階躍響應(yīng)中的各個模態(tài)，但是影響到系統(tǒng)的動態(tài)性能，由于它可以改變階躍響應(yīng)中各個模態(tài)的加權(quán)系數(shù)。閉環(huán)零點(diǎn)的引入帶來了二階系統(tǒng)超調(diào)量的增加，使得二階系統(tǒng)的平穩(wěn)性變差，同時上升時間縮短，響應(yīng)速度加快。零點(diǎn)值越接近閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部，對響應(yīng)的影響就越小。當(dāng)附加零點(diǎn)設(shè)置為10 ，2時，二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的超調(diào)量又較之原系統(tǒng)增大很多。2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及其穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念一個控制系統(tǒng)，一旦受到外界或內(nèi)部的擾動（如負(fù)載、能源波動），就偏離原來的工作狀態(tài)，并且越偏越遠(yuǎn)，在擾動結(jié)束后，也不能恢復(fù)到原來的狀態(tài)。這類現(xiàn)象稱為系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象。顯然，一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法工作的。對于一個給定的控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性分析通常十分的重要。 控制系統(tǒng)在去掉作用于系統(tǒng)上的擾動之后。系統(tǒng)能夠以足夠的精度恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)。凡是具有上述特性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)，則稱這樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的或不具有穩(wěn)定性。 由閉環(huán)傳遞函數(shù)為： (s)== （21） C(s)=(s)*R(s) （22） C(t)= （23）式中 aj ——極點(diǎn)sj處的留數(shù)。根據(jù)穩(wěn)定性定義，如果當(dāng)t→∞時，c(t)趨于0，則此系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，如若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則當(dāng)t→∞時，c(t)，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)的特征方程個所有的跟都具有負(fù)實(shí)部或者說都位于s平面的虛軸之左。 綜上所述，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)特征方程有共軛復(fù)根時，必須所有的復(fù)根的實(shí)部均為負(fù)值，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。對于一階系統(tǒng)以及二