【文章內容簡介】 模m的簡化剩余系 所以ci+(mci)≡0(modm) 因此c1+c2+…+c(m)≡0(modm)32．證明：因為a(m)≡1(modm) 所以a(m)1≡0(modm) a(m)1=(a1)(1+a+ a2+…+ a(m)1) ≡0(modm) 又（a1,m）=1 所以1+a+ a2+…+ a(m)1 ≡0(modm)33．證明：因為7為素數，由Fermat定理知a7 ≡a(mod7) 又（a，3）=1 所以(a,9)=1 由Euler定理知a(9)≡a6≡1(mod9) 即a7≡a(mod9) 又(7,9)=1, 所以a7≡a(mod7*9) 即a7≡a(mod63)34．證明：因為32760=23*32*5*7*13 又(a,32760)=1 所以(a,2)=(a,3)=(a,5)=(a,7)=(a,13)=1 有：a(13)≡1(mod13) 即a12≡1(mod13) a(8)≡a4≡1(mod8) 即a12≡1(mod8) a(5)≡a4≡1(mod5) 即a12≡1(mod5) a(7)≡a6≡1(mod7) 即a12≡1(mod7) a(9)≡a6≡1(mod9) 即a12≡1(mod9) 又因為[5,7,8,9,13]=32760 所以a12≡1(mod32760)35．證明：因為(p,q)=1 p,q都為素數 所以(p)=p1, (q)=q1 由Euler定理知：p(q)≡1(modq) q(p)≡1(modp) 即pq1≡1(modq) qp1≡1(modp) 又 qp1≡0(modq) pq1≡0(modp) 所以pq1+qp1≡1(modq) qp1+pq1≡1(modp) 又[p,q]=pq 所以pq1+qp1≡1(modpq)36．證明：因為(m,n)=1 由Euler定理知：m(n)≡1(modn) n(m)≡1(modm) 所以m(n)+n(m)≡(m(n)modn)+ (n(m)modn)≡1+0≡1(modn) 同理有：m(n)+n(m) ≡1(modm) 又[m,n]=mn 所以m(n)+n(m) ≡1(modmn)1．（1）解：因為（3，7）=1 | 2 故原同余式有解 又3x≡1（mod7） 所以 特解x0`≡5（mod7） 同余式3x≡2（mod7）的一個特解x0≡2* x0`=2*5≡3（mod7） 所有解為：x≡3（mod7） （3）解：因為（17，21）=1 | 14 故原同余式有解 又17x≡1（mod21） 所以 特解x0`≡5（mod21） 同余式17x≡14（mod21）的一個特解x0≡14* x0`=14*5≡7（mod21） 所有解為：x≡7（mod21）2．（1）解：因為（127，1012）=1 | 833 故原同余式有解 又127x≡1（mod1012） 所以 特解x0`≡255（mod1012） 同余式127x≡833（mod1012）的一個特解x0≡833* x0`=833*255≡907（mod1012） 所有解為：x≡907（mod1012）3．7．（1）解：因為（5，14）=1 由Euler定理知，同余方程5x≡3（mod14）的解為： x≡5(14)1*3≡9（mod14） （2）解：因為（4，15）=1 由Euler定理知，同余方程4x≡7（mod15）的解為： x≡4(15)1*7≡13（mod15） （3）解：因為（3，16）=1 由Euler定理知，同余方程3x≡5（mod16）的解為： x≡3(16)1*5≡7（mod16）11．證明：由中國剩余定理知方程解為： x≡a1M1M1`+ a2M2M2`+……+ akMkMk`（mod m） 因為mi兩兩互素，又中國剩余定理知：MiMi`≡1（mod mi） 又Mi=m/mi 所以（m，Mi）≡1（mod mi） 所以MiMi`=Mi(mi)≡（mod mi） 代入方程解為x≡a1 M1(m1)+ a2 M2(m2)+……+ ak Mk(mk)(mod m) 得證。12．（1）解：由方程組得：3x+3y≡2(mod7) 6x+6y≡4(mod7) x+y≡4(mod7) X≡5(mod 7) y≡5 (mod 7) （2）解：由方程組得：2x+6y≡2(mod7) 2xy≡2(mod7) 6x+8y≡4(mod7) xy≡4(mod7) X≡6(mod 7) y≡3 (mod 7)13．14． 21000000≡562（mod1309）15．（1）解：等價同余式組為： 23x≡1（mod4） 23x≡1（mod5） 23x≡1（mod7） 所以 x≡3（mod4） x≡2（mod5） x≡4（mod7） 所以x≡3*35*3 + 2*28*2 + 4*20*6≡67（mod140） （2）解：等價同余式組為： 17x≡1（mod4） 17x≡1（mod5） 17x≡1（mod7） 17x≡1（mod11） 所以 x≡1（mod4） x≡2（mod5） x≡3（mod7） x≡7（mod11） 所以x≡1*385*1 + 2*308*2 + (3)*220*5 + 7*140*7 ≡557（mod1540）19．解：3x14+4x13+2x11+x9+x6+x3+12x2+x≡0（mod7） 左邊=(x7x)( 3x7+4x6+2x4+x2+3x+4)+ x6+2x5+2x2+15x2+5x 所以原同余式可化簡為：x6+2x5+2x2+15x2+5x≡0（mod7） 直接驗算得解為：x≡0（mod7） x≡6（mod7）20．解：f`(x) ≡ 4x3+7（mod243） 直接驗算的同余式f（x）≡0(mod3)有一解：x1≡1（mod3） f`(x1) ≡4*13*7=1(mod3) f`(x1)1≡1(mod3) 所以t1≡f（x1）*( f