【文章內(nèi)容簡介】 知識 ， 讀懂范例的應(yīng)用；其次 ， 根據(jù)介紹的新知識、新方法進(jìn)行運(yùn)用 ， 并與范例的運(yùn)用進(jìn)行比較、防止出錯． 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 例 2 【 2022 常州 】 如圖 Z8 － 4 ① ， 在四邊形 A B C D 中 ， 如果對角線 AC 和 BD 相交并且相等 ， 那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形． ( 1) ① 在 “ 平行四邊 形、矩形、菱形 ” 中 ， __ __ __ __ 一定是等角線四邊形 ( 填寫圖形名稱 ) ； 圖 Z8 － 4 矩形 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 例 2 【 2022 常州 】 如圖 Z8 － 4 ① ， 在四邊形 A B C D 中 ， 如果對角線 AC 和 BD 相交并且相等 ， 那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形． ② 若 M 、 N 、 P 、 Q 分別是等角線四邊形 A B C D 四邊 AB 、 BC 、CD 、 DA 的中點(diǎn) ， 當(dāng)對角線 AC 和 BD 還需要滿足 ________ 時 ， 四邊形 M N P Q 是正方形； 圖 Z8 － 4 垂直 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 解： ② 理由如下： 如圖 ， ∵ M 、 N 、 P 、 Q 分別是等角線四邊形 A B C D 四邊 AB 、 BC 、 CD 、DA 的中點(diǎn) ， AC ＝ BD ， ∴ MN ＝12AC ＝ PQ ， NP ＝12BD ＝ QM ， ∴ 等角線四邊形 A B C D 的四邊中點(diǎn)連線圍成的四邊形 M N P Q 是菱形 ， 當(dāng) AC ⊥ BD 時 ， ∵ MN ∥ AC ， MQ ∥ BD ， ∴∠ N M Q 是直角 ， ∴ 四邊形 M N P Q 是正方形． 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 ( 2) 如圖 ② ， 已知 △ AB C 中 ， ∠ A B C ＝ 90 176。 ， AB ＝ 4 ， BC ＝ 3 ，D 為平面內(nèi)一點(diǎn)． ① 若四邊形 A B CD 是等角線四邊形 ， 且 AD ＝ BD ， 則四邊形AB CD 的面積是 ________ ； ② 設(shè)點(diǎn) E 是以 C 為圓心 ， 1 為半徑的圓上的動點(diǎn) ， 若四邊形AB E D 是等角線四邊形 ， 寫出四邊形 A B E D 面積的最大值 ， 并說明理由． 圖 Z8 － 4 2 21 ＋ 3 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 解： ( 2) ① 理由如下： ∵∠ A B C ＝ 90 176。 ， AB ＝ 4 ， BC ＝ 3 ， ∴ AC ＝ 5. 如圖 ， 作 DE ⊥ AB ， 垂足為 E. ∵ AD ＝ BD ＝ AC ＝ 5 ， ∴ AE ＝ BE ＝12AB ＝ 2 ， ∴ DE ＝ DB2－ BE2＝ 52－ 22＝ 21 ， ∴ S △ADE＝12A E D E ＝12 2 21 ＝ 21 ， S 梯形D E B C＝12( D E ＋ B C ) B E ＝12 ( 21＋ 3) 2 ＝ 21 ＋ 3 ， ∴ 四邊形 A B C D 的面積是 S △A D E＋ S 梯形D E B C＝ 2 21 ＋ 3 ； 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 ② 設(shè) AE 與 BD 相交于點(diǎn) Q ， 連接 CE ， 過點(diǎn) D 作 DH ⊥ AE ， 垂足為 H ， 過點(diǎn) B 作 BG ⊥ AE ， 垂足為 G ， 則 DH ≤ DQ ， BG ≤ B Q . 因?yàn)樗倪呅?A B E D 是等角線四邊形 ， 所以 AE ＝ B D. 所以四邊形 A B E D 面積為 S四邊形A B ED＝ S△A BE＋ S△ADE ＝12AE G B ＋12AE DH ＝12AE ( G B ＋ DH) ≤12AE ( B Q ＋ DQ) ＝12AE B D ， 當(dāng)且僅當(dāng) G 、 H 重合 ( B G ＝ BQ 且 DH ＝ DQ ) 時 ， 即 BD ⊥ AE 時 ， 取等號． 而 AE ＝ BD ， 所以 S四邊形A BED≤12AE2， 即線段 AE 最大時 ， 四邊形 A B E D 面積最大． 而 AE ≤ AC ＋ CE ＝ 5 ＋ 1 ＝ 6 ， 當(dāng)且僅當(dāng) A 、 C 、 E 三點(diǎn)共線時 ， 取等號． 故四邊形 A B E D 面積最大值為12AEm a x2＝12 62＝ 18. 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 |針對訓(xùn)練 | 1 ． 對某一個函數(shù)給出如下定義 ， 若存在實(shí)數(shù) M 0 ， 對于任意的函數(shù)值 y ， 都滿足－ M ≤ y ≤ M ， 則稱這個函數(shù)是有界函數(shù) ， 在所有滿足條件的 M 中 ， 其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值 ， 例 如 ， 圖 Z 8 － 5 中的函數(shù)是有界函數(shù) ， 其邊界值是 1. ( 1) 分別判斷函數(shù) y ＝1x( x 0) 和 y ＝ x ＋ 1( － 4 ≤ x ≤ 2) 是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù) ， 求出其邊界值； ( 2) 若函數(shù) y ＝－ x ＋ 1( a ≤ x ≤ b ， b ＞ a) 的邊界值是 2 ， 且這個函數(shù)的最大值也是 2 ，求 b 的取值范圍； ( 3) 將函數(shù) y ＝ x2( － 1 ≤ x ≤ m ， m ≥ 0 ) 的圖象向下平移 m 個單位 ， 得到的函數(shù)的邊界值是 t. 當(dāng) m 在什么范圍時滿足34≤ t ≤ 1? 圖 Z8 － 5 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 解： ( 1) 根據(jù)有界函數(shù)的定義知 ， 函數(shù) y ＝1x( x 0) 不是有界函數(shù) ， 函 數(shù) y ＝ x ＋ 1( － 4 ＜ x ≤ 2) 是有界函數(shù) ， 邊界值為 3. ( 2) 在 y ＝－ x ＋ 1 中 y 隨 x 的增大而減小 ， 當(dāng) x ＝ a 時 ， y ＝－ a ＋ 1 ＝ 2 ， a ＝－ 1 ， 當(dāng) x ＝ b 時 ， y ＝－ b ＋ 1 ， ?????－ 2 ≤ － b ＋ 1 ＜ 2 ，b ＞ a ，∴ － 1 ＜ b ≤ 3. 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 |針對訓(xùn)練 | 1 ． 對某一個函數(shù)給出如下定義 ， 若存在實(shí)數(shù) M 0 ， 對于任意的函數(shù)值 y ， 都滿足－ M ≤ y ≤ M ， 則稱這個函數(shù)是有界函數(shù) ， 在所有滿足條件的 M 中 ， 其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值 ， 例 如 ， 圖 Z 8 － 5 中的函數(shù)是有界函數(shù) ， 其邊界值是 1. ( 3) 將函數(shù) y ＝ x2( － 1 ≤ x ≤ m ， m ≥ 0 ) 的圖象向下平移 m 個單位 ， 得到的函數(shù)的邊界值是 t. 當(dāng) m 在什么范圍時滿足34≤ t ≤ 1? 圖 Z8 － 5 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 ( 3) 若 m ＞ 1 ， 函數(shù)向下平移 m 個單位后 ， x ＝ 0 時 ， 函數(shù)值小于－ 1 ， 此時函數(shù)的邊界值 t 大于 1 ， 與題意不符 ， 故 m ≤ 1 ， 當(dāng) x ＝－ 1 時 ， y ＝ 1 ， ∴ ( － 1 ，1 ) 是拋物線上的點(diǎn)． 當(dāng) x ＝ 0 時 ， y ＝ 0 ， (0 ， 0 ) 是拋物線上的點(diǎn) ， 當(dāng)拋物線 向下平移 m 個單位時 ， ( － 1 ， 1 ) 的對應(yīng)點(diǎn)為 ( － 1 ， 1 － m) ， (0 ， 0 ) 的對應(yīng)點(diǎn)為 (0 ， － m) ， 34≤ 1 － m ≤ 1 或－ 1 ≤ － m ≤ －34， ∴ 0 ≤ m ≤14或34≤ m ≤ 1. 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 2 ． 【 2022 無錫 】 操作： “ 如圖 Z8 － 6 ① ， P 是平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn) (x 軸上的點(diǎn)除外 ) ， 過點(diǎn) P 作 PC ⊥ x 軸于點(diǎn) C ， 點(diǎn) C 繞點(diǎn) P 逆時針旋轉(zhuǎn) 60 176。 得到點(diǎn) Q. ”我們將此由點(diǎn) P 得到點(diǎn) Q 的操作稱為點(diǎn)的 T 變換． ( 1) 點(diǎn) P ( a ， b ) 經(jīng)過 T 變換后得到的點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ________ ；若點(diǎn) M 經(jīng)過 T變換后得到點(diǎn) N( 6 ， － 3 ) ， 則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 _____ ___ ； ( 2) A 是函數(shù) y ＝32x 圖象上異于原點(diǎn) O 的任意一點(diǎn) ， 經(jīng)過 T 變換后得到點(diǎn) B ； ① 求經(jīng)過點(diǎn) O 、點(diǎn) B 的直線的函數(shù)表達(dá)式； ② 如圖 ② ， 直線 AB 交 y 軸于點(diǎn) D ， 求 △ O AB 的面積與 △ O AD 的面積之比． 圖 Z8 － 6 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問題 解： ( 1) 如圖 ① ， 連接 CQ ， 則 △ P C Q 是等邊三角形 ， ∵ 點(diǎn) P ( a ， b ) ， ∴