【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 程和流線方程。解：跡線微分方程為 即 以上兩式積分得 兩式相減得 即 將 ,代入得 故過(guò)（2,1）點(diǎn)的軌跡方程為 流線的微分方程為 即 消去,兩邊積分得 或者 以 ,代入得積分常數(shù) 故在,通過(guò)（2，1）點(diǎn)的流線方程為 【】已知流動(dòng)的速度分布為 其中為常數(shù)。（1）試求流線方程，并繪制流線圖；（2）判斷流動(dòng)是否有旋，若無(wú)旋，則求速度勢(shì)并繪制等勢(shì)線。 解：對(duì)于二維流動(dòng)的流線微分方程為 即 消去 得 積分 得 或者 若取一系列不同的數(shù)值，可得到流線族—雙曲線族，它們的漸近 線為如圖 有關(guān)流線的指向，可由流速分布來(lái)確定。 對(duì)于 , 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 對(duì)于 , 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 據(jù)此可畫(huà)出流線的方向 判別流動(dòng)是否有旋，只要判別是否為零， 所以流動(dòng)是有旋的，不存在速度勢(shì)?！尽恳欢S流動(dòng)的速度分布為 其中A、B、C、D為常數(shù)。（1）A、B、C、D間呈何種關(guān)系時(shí)流動(dòng)才無(wú)旋； （2）求此時(shí)流動(dòng)的速度勢(shì)。 解：（1）該流動(dòng)要成為實(shí)際流動(dòng)時(shí)，須滿足， 即 或者 得 該流動(dòng)無(wú)旋時(shí)，須滿足， 即 或者，得 （2）滿足以上條件時(shí)，速度分布為 積分得 由于 故 因此速度勢(shì) 【】設(shè)有粘性流體經(jīng)過(guò)一平板的表面。已知平板近旁的速度分布為 （為常數(shù)，y為至平板的距離） 試求平板上的變形速率及應(yīng)力。 解：流體微團(tuán)單位長(zhǎng)度沿方向的直線變形速率為 ,現(xiàn) （為軸方向） 故 同理沿方向直線變形速率為 沿方向直線變形速度為 在平面上的角變形速率 在平面上的角變形速率 在平面上的角變形速率 牛頓流體的本構(gòu)關(guān)系為（即變形和應(yīng)力之間關(guān)系） 故在平板上， 而 【】設(shè)不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的3個(gè)速度分量為 其中為常數(shù)。試證明這一流動(dòng)的流線為const，const兩曲面的交線。 解：由流線的微分方程 得 即 積分（）得 積分（）得 即證明了流線為曲面常數(shù)與曲面常數(shù)的交線?！尽恳阎矫媪鲃?dòng)的速度場(chǎng)為。求t=1時(shí)的流線方程，并畫(huà)出區(qū)間穿過(guò)x軸的4條流線圖形。 解：流線的微分方程為 時(shí)的流線為 或者 即 積分得 為流線方程 設(shè) 時(shí)可畫(huà)出穿過(guò)軸的4條流線【】已知不可壓縮流體平面流動(dòng)，在y方向的速度分量為。 試求速度在x方向的分量。 解：此平面流動(dòng)必須滿足對(duì)于二維流動(dòng)即 以代入 故 故 【】求兩平行板間，流體的單寬流量。已知速度分布為。 式中y=0為中心線，為平板所在位置，為常數(shù)。 解：如圖，由，平板間的速度分布為拋物線分布。 通過(guò)截面的體積流量為 則平板間的流量 【】下列兩個(gè)流動(dòng)，哪個(gè)有旋？哪個(gè)無(wú)旋？哪個(gè)有角變形？哪個(gè)無(wú)角變形？ （1）， （2）， 式中、是常數(shù)。 解：（1）判別流動(dòng)是否有旋，只有判別是否等于零。 所以 流動(dòng)為有旋流動(dòng)。 角變形 所以流動(dòng)無(wú)角變形。 (2) 故流動(dòng)為無(wú)旋 同理 【】已知平面流動(dòng)的速度分布。試確定流動(dòng)： （1）是否滿足連續(xù)性方程；（2）是否有旋；（3）如存在速度勢(shì)和流函數(shù)， 求出和。 解：（1）由是否為零 得 故滿足連續(xù)性方程 （2）由二維流動(dòng)的 得 故流動(dòng)有旋 （3）此流場(chǎng)為不可壓縮流動(dòng)的有旋二維流動(dòng)，存在流函數(shù) 而速度勢(shì)不存在 積分得 故 ， 因此 （常數(shù)可以作為零）【】已知速度勢(shì)為：（1）；（2），求其流函數(shù)。解：（1）在極坐標(biāo)系中當(dāng) 即 因此 故 得 （2）當(dāng)時(shí)將直角坐標(biāo)表達(dá)式化為極坐標(biāo)形式因此 故 得 【】有一平面流場(chǎng)，設(shè)流體不可壓縮，x方向的速度分量為（1） 已知邊界條件為，求；（2） 求這個(gè)平面流動(dòng)的流函數(shù)。解：（1）由不可壓縮流體應(yīng)滿足即 故 （2） 即 ， 得 【】已知平面勢(shì)流的速度勢(shì)，求流函數(shù)以及通過(guò)（0,0）及（1,2） 兩點(diǎn)連線的體積流量。解：由于 由于 ， 故流函數(shù)為 （取絕對(duì)值）第4章 理想流體動(dòng)力學(xué)選擇題【】 如圖等直徑水管，A—A為過(guò)流斷面，B—B為水平面，4為面上各點(diǎn)，各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)有以下關(guān)系：（）；（）；（）；（）。 解：對(duì)于恒定漸變流過(guò)流斷面上的動(dòng)壓強(qiáng)按靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律，即 ，故在同一過(guò)流斷面上滿足 （）【】 伯努利方程中表示（）單位重量流體具有的機(jī)械能；（）單位質(zhì)量流體具有的機(jī)械能；（）單位體積流體具有的機(jī)械能；（）通過(guò)過(guò)流斷面流體的總機(jī)械能。解：伯努利方程表示單位重量流體所具有的位置勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和或者是總機(jī)械能。故 （）【】 水平放置的漸擴(kuò)管，如忽略水頭損失，斷面形心的壓強(qiáng)，有以下關(guān)系：（）；（）；（）；（）不定。解：水平放置的漸擴(kuò)管由于斷面1和2形心高度不變，但因此 （）【】 粘性流體總水頭線沿程的變化是：（）沿程下降；（）沿程上升；（）保持水平；（）前三種情況都有可能。解：粘性流體由于沿程有能量損失，因此總水頭線沿程總是下降的 （）【】 粘性流體測(cè)壓管水頭線沿程的變化是：（）沿程下降；（）沿程上升；（）保持水平；（）前三種情況都有可能。解：粘性流體測(cè)壓管水頭線表示單位重量流體所具有的勢(shì)能，因此沿程的變化是不一定的。 （）計(jì)算題【】 如圖，設(shè)一虹吸管a=2m,h=6m,d=15cm。試求：（1）管內(nèi)的流量；（2）管內(nèi)最高點(diǎn)S的壓強(qiáng)；（3）若h不變，點(diǎn)S繼續(xù)升高（即a增大，而上端管口始終浸入水內(nèi)），問(wèn)使吸虹管內(nèi)的水不能連續(xù)流動(dòng)的a值為多大。解：(1)以水箱底面為基準(zhǔn)，對(duì)自由液面上的點(diǎn)1和虹吸管下端出口處2建立12流線伯努利方程，則 其中 ， 則 管內(nèi)體積流量 (2)以管口2處為基準(zhǔn)，對(duì)自由液面1處及管內(nèi)最高點(diǎn)列1流 線伯努利方程。則 其中 , 即9 807 即點(diǎn)的真空壓強(qiáng) (3)當(dāng)不變，點(diǎn)增大時(shí)，當(dāng)點(diǎn)的壓強(qiáng)等于水的汽化壓強(qiáng)時(shí)， 此時(shí)點(diǎn)發(fā)生水的汽化，管內(nèi)的流動(dòng)即中止。查表，在常溫下（15 ℃）水的汽化壓強(qiáng)為1 697（絕對(duì)壓強(qiáng)）以管口2為基準(zhǔn)，列點(diǎn)的伯努利方程， 其中 ，， （大氣絕對(duì)壓強(qiáng)） 即 本題要注意的是伯努利方程中兩邊的壓強(qiáng)計(jì)示方式要相同，由于為絕對(duì)壓強(qiáng)，因此出口處也要絕對(duì)壓強(qiáng)?！尽?如圖，兩個(gè)緊靠的水箱逐級(jí)放水，放水孔的截面積分別為A1與A2，試問(wèn)h1與h2成什么關(guān)系時(shí)流動(dòng)處于恒定狀態(tài)，這時(shí)需在左邊水箱補(bǔ)充多大的流量。解：以右箱出口處4為基準(zhǔn)，對(duì)右箱自由液面3到出口處4列流線伯努利方程 其中 ， 則 以左箱出口處2為基準(zhǔn)，對(duì)左箱自由液面1到出口處2列流線伯 努利方程 其中 ， ， 故 當(dāng)流動(dòng)處于恒定流動(dòng)時(shí)，應(yīng)有右箱出口處的流量和左水箱流入右 水箱的流量及補(bǔ)充入左水量的流量均相等，即 即 或者 且左水箱需補(bǔ)充的流量為 本題要注意的是左水箱的水僅是流入右水箱，而不能從14直接列一條流線?！尽?如圖，水從密閉容器中恒定出流，經(jīng)一變截面管而流入大氣中，已知H=7m,= ,A1=A3=50cm2，A2=100cm2，A4=25cm2，若不計(jì)流動(dòng)損失，試求：（1）各截面上的流速、流經(jīng)管路的體積流量；（2）各截面上的總水頭。解：（1）以管口4為基準(zhǔn)，從密閉容器自由液面上0點(diǎn)到變截面管出口處4列0－4流線伯努利方程， 其中 ， 即 由連續(xù)性原理，由于 故 又 由于 故 由于 故 流經(jīng)管路的體積流量（2）以管口為基準(zhǔn)，該處總水頭等于，由于不計(jì)粘性損失，因此各截面上總水頭均等于?！尽?如圖，在水箱側(cè)壁同一鉛垂線上開(kāi)了上下兩個(gè)小孔，若兩股射流在O點(diǎn)相交,試證明。解： 列容器自由液面0至小孔1及2流線的伯努利方程，可得到小孔處出流速度。此公式稱托里拆利公式（Toricelli），它在形式上與初始速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)一樣，這是不考慮流體粘性的結(jié)果。 由 公式，分別算出流體下落距離所需的時(shí)間，其中 經(jīng)過(guò)及時(shí)間后，兩孔射流在某處相交，它們的水平距離相等， 即 ，其中 ， 因此 即 【】 如圖， Venturi管A處的直徑d1=20cm，B處的直徑d2=2cm。當(dāng)閥門(mén)D關(guān)閉，閥門(mén)C開(kāi)啟時(shí)測(cè)得U型壓力計(jì)中水銀柱的差h=8mm，求此時(shí)Venturi管內(nèi)的流量。又若將閥門(mén)C關(guān)閉，閥門(mén)D開(kāi)啟，利用管中的射流將真空容器內(nèi)的壓強(qiáng)減至100mm（水銀柱）時(shí)，管內(nèi)的流量應(yīng)為多大。解：由于本題流體是空氣，因此忽略其重力。從A至B兩過(guò)流斷面列總流伯努利方程 因此 （） 若，處的截面面積各為及，由連續(xù)方程 得 將上式代入（）式 得 則文丘里管中的流量 倘若閥門(mén)C關(guān)閉，閥門(mén)D開(kāi)啟時(shí)，真空容器內(nèi)的壓強(qiáng)減至水 銀柱時(shí)， 則 即 此時(shí)流量 【】 如圖，一呈上大下小的圓錐形狀的儲(chǔ)水池，底部有一泄流管，直徑d=，流量因數(shù)μ＝，容器內(nèi)初始水深h=3m，水面直徑D=60m，水面直徑為48m，求此過(guò)程所需時(shí)間。解：本題按小孔出流，設(shè)某時(shí)刻時(shí)，水面已降至處， 則由托里拆利公式，泄流管處的出流速度為 儲(chǔ)水池錐度為，因此當(dāng)水面降至處時(shí)，水面的直徑為 由連續(xù)方程 在時(shí)間內(nèi)流出的水量等于液面下降的水量 故 由于 故 本題從總的過(guò)程是非恒定流，若應(yīng)用非恒定流的伯努利方程很復(fù)雜，為此將整個(gè)過(guò)程微分，每個(gè)微分時(shí)間內(nèi)作為恒定流來(lái)處理，然后應(yīng)用積分的方法來(lái)求解。【】 如圖，水箱通過(guò)寬B=，高H=，閘門(mén)開(kāi)口的頂端距水面h=。試計(jì)算（1）閘門(mén)開(kāi)口的理論流量；（2）將開(kāi)口作為小孔處理時(shí)所引起的百分誤差。 解：（1）由圖 由于，故本題應(yīng)按大孔出流來(lái)處理，將大孔口，沿水平 方向分割成許多小孔，然后對(duì)于每一小孔按Torricelli定理 出流速度，小孔面積 理論出流量為 總出流量 （2）當(dāng)按小孔出流處理時(shí)， 出流量 兩者引起的相對(duì)誤差為 【】 今想利用水箱A中水的流動(dòng)來(lái)吸出水槽B中的水。水箱及管道各部分的截面積及速度如圖所示。試求（1）使最小截面處壓強(qiáng)低于大氣壓的條件；（2）從水槽B中把水吸出的條件。（在此假定,以及與水箱A中流出的流量相比，從B中吸出的流量為小量。）解：（1）在及的假定下，本題可看作小孔出流由Torricelli定理 以處為基準(zhǔn)，對(duì)水箱自由液面及最小截面建立總流伯努利方程 其中 ， 故 要使最小截面處壓強(qiáng)低于大氣壓即為負(fù)值必須使 由連續(xù)方程 得 故 得此時(shí)的條件應(yīng)為 （2）若從水槽中吸出水時(shí)，需具備的條件為或者將 代入即 或者 ，由于 將上述不等式代入 得 【】 如圖，一消防