【文章內容簡介】 ????????????????????????????????????? 10000102121?? （ 3） 初始狀態(tài) ?????????????00)0()0(21xx 末值狀態(tài) ?????????????0)()(21 ?fftxtx DI控制 不受限制 性能指標 ttIRE Dt Df d)(20??（ 4） )(tID本問題的最優(yōu)控制問題是：在數(shù)學模型（ 3）的約束下， 尋求一個控制 ，使電動機從初始狀態(tài)轉移到末值狀態(tài)， 性能指標 E 為最小。 華中科技大學 研究生課程 34 2022/6/23 問題 2 對于問題 1中的直流他勵電動機，如果電動機從初始 )(tID時刻 的靜止狀態(tài)轉過一個角度 又停下，求控制 （ 是受到限制的）， 使得所需時間最短。 00 ?t ? )(tID這也是一個最優(yōu)控制問題： 系統(tǒng)方程為 FDDDm TJIJKxxxx????????????????????????????????????? 10000102121??初始狀態(tài) ?????????????00)0()0(21xx 末值狀態(tài) ?????????????0)()(21 ?fftxtx)(tID maxDI≤ （ 5） 性能指標 ft ttJ f ?? ?0d（ 6） )0(x最優(yōu)控制問題為：在狀態(tài)方程的約束下，尋求最優(yōu)控制 ，將 轉移到 ，使 J 為極小。 maxDI)(tID≤ )( ftx華中科技大學 研究生課程 35 2022/6/23 最優(yōu)控制問題的一般性提法 系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ),( tux,fx ?? 初始狀態(tài)為 )(0tx其中， x 為 n 維狀態(tài)向量； u 為 r 維控制向量； f 為 n 維向量函數(shù)，它是 x 、 u 和 t 的連續(xù)函數(shù)，并且對 x 、 t 連續(xù)可微。 最優(yōu)。其中 是 x 、 u 和 t 的連續(xù)函數(shù) ),( tuxL)( ftxrR?u 尋求在 上的 最優(yōu)控制 或 ，以將系統(tǒng)狀態(tài)從 轉移到 或 的一個集合，并使性能指標 ],[ 0 ftt rRU ??u)( 0tx )( ftxttttJ fttffd),(]),([0??? uxLx?最優(yōu)控制問題就是 求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問題。 華中科技大學 研究生課程 36 2022/6/23 補充：泛函與變分法 一、泛函與變分 泛函的基本定義： )(tx如果對于某個函數(shù)集合 中的每一個函數(shù) ，變量 J 都有一個值與之對應，則稱變量 J 為依賴于函數(shù) 的泛函，記作 ? ?)(tx )(tx? ?)(txJ可見，泛函為標量，可以理解為“函數(shù)的函數(shù)” 例如： ttxxJ d)(][ 30?? （其中， 為在 上連續(xù)可積函數(shù)） )(tx ]3,0[當 時，有 ；當 時，有 。 ttx ?)( ?J tetx ?)( 13 ?? eJ華中科技大學 研究生課程 37 2022/6/23 泛函 如果滿足以下條件時，稱為線性泛函： )]([ tJ x1） ，其中 c 為任意常數(shù)； 2） )]([)]([ tcJtcJ xx ?)]([)]([)]()([ 2121 tJtJttJ xxxx ???)()( 0 tt xx ?對于一個任意小正數(shù) ，總是可以找到 ，當 時，有 就稱泛函 在 處是連續(xù)的。 ? ? ??? )()( 0 tt xx??? )]([)]([ 0 tJtJ xx )]([ tJ x泛函的變分 )(tx所謂泛函 的宗量 的變分是指兩個函數(shù)間的差。 )]([ tJ x)()(δ 0 tt xxx ?? nRtt ?? )(),( 0xx定義：設 是線性賦泛空間 上的連續(xù)泛函，其增量可表示為 ][xJ nR]δ,[]δ,[][]δ[][Δ xxxxxxxx rLJJJ ?????]δ,[ xxr其中， 是關于 的線性連續(xù)泛函， 是關于 的高階無窮小。則 稱為泛函 的變分。 ]δ,[ xxL xδ xδ]δ,[δ xxLJ ? ][xJ華中科技大學 研究生課程 38 2022/6/23 泛函變分的規(guī)則 1） 2121 δδ)δ( LLLL ???2） 122121 δδ)δ( LLLLLL ??3） ttLttL babad],[δd],[δ xxxx ?? ?? ?4） xx δddddδtt ?泛函的變分等于 ? ?0)(???????? xtxJ華中科技大學 研究生課程 39 2022/6/23 0xx ?定理 ：設 是在線性賦泛空間 上某個開子集 D 中定義的可微泛函，且在 處達到極值，則泛函 在 處必有 ][xJ][xJnR0xx ?0]δ,[δ 0 ?xxJ泛函的極值 0x][xJ設 是在線性賦泛空間 上某個子集 D 中的線性連續(xù)泛函， ，若在 的某領域內 nRD?0x ? ?nRU ???? xxxxx ,),( 00 ??在 時，均有 DU ?? ),( 0 ?xx][][][Δ 0xxx JJJ ?? ≥ 0 ][][][Δ 0xxx JJJ ?? ≤ 0 或 則稱 在 處達到極大值或極小值。 )(xJ0xx ?華中科技大學 研究生課程 40 2022/6/23 歐拉方程： fft xx ?)(ft定理：設有如下泛函極值問題： 其中， 及 在 上連續(xù)可微， 和 給定， 已知 ， ， ，則極值軌線 滿足如下歐拉方程 dttLJ fttt ??0),(][m in)( xxxx ?),( tL xx ? )(tx ],[ 0 ftt 0t00 )( xx ?t nRt ?)(x )(* tx0dd ?????? xx ?LtL及橫截條件 0)()( 00?????????????????? txLtxLtTftTf?? xx ??注意：滿足歐拉方程是必要條件，不是充分條件。 華中科技大學 研究生課程 41 2022/6/23 2 用變分法求解最優(yōu)控制問題 末值時刻固定、末值狀態(tài)自由情況下的最優(yōu)控制 非線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ),( tux,fx ?? （ 6） 初始狀態(tài) )()( 00 tt tt xx ?? （ 7） 其中， x 為 n 維狀態(tài)向量； u 為 r 維控制向量； f 為 n 維向量函數(shù)。 要求在控制空間中尋求一個最優(yōu)控制向量 ，使以下性能指標 )(tutttJ fttfd),()]([0??? uxLx?（ 8） 沿最優(yōu)軌線 取極小值。 )(tx（ 性能指標如（ 8）式所示的最優(yōu)控制問題，是變分法中的波爾扎問題 ） 華中科技大學 研究生課程 42 2022/6/23 引入拉格朗日乘子 ?????????????)()()()(21ttttn????λ （ 9） 將性能指標（ 8）式改寫為其等價形式 tttttJ Tttff d]}),()[(),({)]([0xuxfλuxLx ????? ??),()(),(),( ttttH T uxfλuxLλux ??定義哈密頓函數(shù) （ 10） 則 tttHtJ Tttff d])(),([)]([0xλλuxx ???? ??ttttHt Tttttfff d)(d),()]([00xλλuxx ??? ??? ?（ 11） 由（ 6）式可知 為零 xux,f ??),( t華中科技大學 研究生課程 43 2022/6/23 （ 12） 對（ 11）式中的第三項進行分部積分，得 tttttHtJ TttttTttffff d)()(d),()]([000xλxλλuxx ??? ???? ?當泛函 J 取極值時，其一次變分等于零。 即 0δ ?J可以變分的量： uuu δ)()( ?? tt xxx δ)()( ?? tt)(δ)()( fff ttt xxx ??不可以變分的量： 0tft )( 0tx )(tλ求出 J 的一次變分并令其為零 0dδδδ)(δ)()(δ)(δ0??????????? ??????????????????????????????? ? tHHttttJTTTttffTfTff xλuuxxxλxx??華中科技大學 研究生課程 44 2022/6/23 將上式改寫成 0dδδ)(δ)()(δ0?????????????????????????? ?????????????? ?? ? tHHtttJTTttfTfff uuxλxxλx?? （ 13） )(δ ftx)(tλ由于 未加限制，可以選擇 使上式中 和 的系數(shù)等于零。于是有 )(tλ xδxλ ???? H?（ 15） （ 14） （ 16） )()( ff tt xλ ??? ?0dδδ0??????? ??? ? tHJTttf uu由于 是任意的變分，根據變分法中的輔助引理，由（ 16）式得 uδ0???uH（ 17） （ 14）式稱為伴隨方程， 為伴隨變量，（ 17）式為控制方程。 )(tλ華中科技大學 研究生課程 45 2022/6/23 幾點說明： 1）實際上，（ 14）式和（ 17）式就是歐拉方程。 λxfxLxλ ??????????? H?（ 18） 因為 0???uH ? 0?????? λufuL（ 19） 如果令 ]),()[(),(),( xuxfλλuxLλux ???? ttttH T簡記成 ][ xfλL ???? TH （ 20） λxfxLλ ????????由歐拉方程得到 0dd ?????? xx ?HtH ? 0)( ???????? λλxfxL ?即 （ 21） 華中科技大學 研究生課程 46 2022/6/23 可見（ 21）式和（ 18）式相同，（ 22）式和（ 19）式相同。因此，（