【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的差額，上標(biāo)s表示社會(huì)最優(yōu)的情形。將（4）式分別對(duì)、和求導(dǎo)，得到社會(huì)福利最大化的一階條件為：求導(dǎo)時(shí)應(yīng)注意到（1）和（2）式所示的關(guān)系。 （5） （6） （7） （8）（9）其中等號(hào)在內(nèi)點(diǎn)解時(shí)嚴(yán)格成立。運(yùn)用（5）式，（6）和（7）可以化簡(jiǎn)為： （10） （11）（8）和（9）可以化簡(jiǎn)為： （12） （13）顯然，如果，故（10）和（11）式必須取等號(hào)，社會(huì)最優(yōu)的節(jié)目質(zhì)量為正。類似地，可以證明，如果，（12）和（13）式必須取等號(hào)，社會(huì)最優(yōu)的廣告水平；如果，社會(huì)最優(yōu)的廣告水平為。由于在社會(huì)最優(yōu)時(shí)，（5）式可以寫為，并且滿足，所以社會(huì)最優(yōu)要求兩個(gè)平臺(tái)收取相同的收視費(fèi)用，即。兩個(gè)平臺(tái)是對(duì)稱的，所以收視費(fèi)用一定相同，以減少觀眾的總轉(zhuǎn)換成本。因?yàn)?，所以。從?0）和（11）式（取等號(hào)）可以解出，經(jīng)驗(yàn)證二階條件成立，所以社會(huì)最優(yōu)的節(jié)目質(zhì)量為。我們將社會(huì)最優(yōu)的廣告數(shù)量、節(jié)目質(zhì)量和收視費(fèi)用總結(jié)成下面的命題。命題1：當(dāng)時(shí)，社會(huì)最優(yōu)的廣告數(shù)量為；當(dāng)時(shí)，社會(huì)最優(yōu)的廣告數(shù)量為。社會(huì)最優(yōu)的節(jié)目質(zhì)量為，收視費(fèi)用滿足。注意到社會(huì)最優(yōu)的節(jié)目質(zhì)量只與觀眾總數(shù)N以及節(jié)目制作成本參數(shù)μ有關(guān)，且與前者正相關(guān)，與后者負(fù)相關(guān)。這是因?yàn)?，在我們的模型中，?jié)目質(zhì)量的邊際成本為，它只與節(jié)目質(zhì)量本身和節(jié)目制作成本參數(shù)有關(guān)，而社會(huì)最優(yōu)時(shí)收視費(fèi)用差額為零，兩個(gè)平臺(tái)提供的廣告數(shù)量相等，每個(gè)平臺(tái)的觀眾數(shù)量為N/2，節(jié)目質(zhì)量提高給一個(gè)觀眾帶來的邊際收益為1，所以節(jié)目質(zhì)量的邊際收益（為N/2）只與觀眾總數(shù)有關(guān)。社會(huì)最優(yōu)的廣告數(shù)量由廣告數(shù)量的變動(dòng)給社會(huì)帶來的邊際成本和邊際收益相等決定?？紤]廣告數(shù)量增加的效應(yīng)。此時(shí)觀眾收看廣告的干擾成本增加了，這是廣告數(shù)量增加的邊際成本。更多的廠商做廣告誘發(fā)了觀眾購買更多的產(chǎn)品，從而增加了廠商的總利潤(rùn)（不考慮廣告費(fèi)用，因?yàn)閺V告費(fèi)用不影響社會(huì)福利），這是廣告數(shù)量增加的邊際收益。顯然，越大，邊際成本越大；和越大，邊際收益越大。從而，最優(yōu)廣告數(shù)量與呈負(fù)相關(guān)，與和呈正相關(guān)。注意到邊際成本與邊際收益都與觀眾總數(shù)成比例，因此最優(yōu)廣告數(shù)量與觀眾總數(shù)無關(guān)。另外，因?yàn)樯鐣?huì)最優(yōu)時(shí)兩個(gè)平臺(tái)的觀眾人數(shù)相等，觀眾的總轉(zhuǎn)換成本與廣告數(shù)量的多少無關(guān)，因此社會(huì)最優(yōu)的廣告數(shù)量與轉(zhuǎn)換成本參數(shù)無關(guān)。社會(huì)最優(yōu)的收視費(fèi)差額為零?；谄脚_(tái)的對(duì)稱性，在社會(huì)最優(yōu)時(shí)，兩個(gè)平臺(tái)的節(jié)目質(zhì)量和廣告數(shù)量都相等，為了減少觀眾的轉(zhuǎn)換成本，最優(yōu)收視費(fèi)差額必然為零。五． 免費(fèi)平臺(tái)競(jìng)爭(zhēng)本部分我們討論傳統(tǒng)的免費(fèi)電視臺(tái)之間的平臺(tái)競(jìng)爭(zhēng)。因?yàn)槊赓M(fèi)平臺(tái)不能向消費(fèi)者收取收視費(fèi)（），平臺(tái)唯一的收入來源就是廣告收入。兩個(gè)電視平臺(tái)之間相互競(jìng)爭(zhēng)觀眾，形成平臺(tái)競(jìng)爭(zhēng)。這個(gè)競(jìng)爭(zhēng)過程可以用一個(gè)三階段的博弈來描述。平臺(tái)1和平臺(tái)廠商和觀眾是參與人。第一個(gè)階段，兩個(gè)平臺(tái)同時(shí)決定節(jié)目的質(zhì)量。第二個(gè)階段，兩個(gè)平臺(tái)同時(shí)決定廣告數(shù)量。第三個(gè)階段，廠商根據(jù)平臺(tái)確定的廣告水平以及平臺(tái)吸引的觀眾人數(shù)決定是否在平臺(tái)上投放廣告；同時(shí)觀眾根據(jù)平臺(tái)的節(jié)目質(zhì)量以及廣告數(shù)量決定收看哪個(gè)平臺(tái)的節(jié)目：這樣也就內(nèi)生地決定了均衡的廣告費(fèi)用。廣告對(duì)觀眾強(qiáng)加了一個(gè)負(fù)的外部性，觀眾對(duì)所在的平臺(tái)具有正的外部性。我們需要求出均衡的廣告數(shù)量和節(jié)目質(zhì)量（），上標(biāo)f表示免費(fèi)平臺(tái)競(jìng)爭(zhēng)的情形。我們用逆向歸納法求解這個(gè)博弈。第三階段，在廣告數(shù)量和節(jié)目質(zhì)量給定的情況下，（1）式（令）和（2）式是第三階段均衡的結(jié)果。第二階段，平臺(tái)選擇廣告數(shù)量最大化利潤(rùn)。平臺(tái)的利潤(rùn)函數(shù)為，其中表示平臺(tái)的觀眾人數(shù)。利潤(rùn)最大化的一階條件為：， （14）其中等號(hào)在內(nèi)點(diǎn)解時(shí)成立。當(dāng)時(shí)。由（3）式，，因此，只要平臺(tái)i的收視觀眾人數(shù)為正，就有，從而平臺(tái)i選擇的廣告數(shù)量必為正，也就是說（14）式必須取等號(hào)。取等號(hào)的（14）式可以等價(jià)地寫為： （15） （16）注意到是的函數(shù)，從（15）和（16）中，我們可以解出和，并且。如果，從（15）和（16）中可以求得，其中由決定。并且容易驗(yàn)證二階條件成立。定義，則，所以可以由唯一地確定。我們上面的分析假設(shè)了。下面我們證明在均衡時(shí)的確有。為此考慮博弈的第一階段。第一階段，平臺(tái)決定節(jié)目的質(zhì)量使利潤(rùn)最大化，一階條件為： （17） （18）（15）和（16）式兩端分別對(duì)求導(dǎo)并注意到和，得到 （19） （20）因?yàn)?，所以從?9）和（20）中我們可以得到。又因?yàn)槌闪ⅲ浴，F(xiàn)在重新考察（17）和（18）： （17） （18）因?yàn)?，結(jié)合（17）和（18）的形式，均衡時(shí)一定有，即均衡的節(jié)目質(zhì)量為， （21）平臺(tái)收取的廣告費(fèi)用為。我們把免費(fèi)電視平臺(tái)選擇的均衡廣告數(shù)量和節(jié)目質(zhì)量分別總結(jié)在下面的命題2和命題3中。命題2：均衡時(shí)免費(fèi)電視平臺(tái)一定會(huì)播放廣告，每個(gè)平臺(tái)的廣告數(shù)量相同，由決定。它與廣告給觀眾的干擾程度負(fù)相關(guān)，與平臺(tái)之間的轉(zhuǎn)換成本正相關(guān)。證明：我們只需證明命題的后半部分。這可以從函數(shù)的凹性直接得到?！踔庇^地，當(dāng)單位廣告帶給觀眾過多的負(fù)效用時(shí)，為了吸引觀眾留在平臺(tái)上，平臺(tái)會(huì)通過減少廣告的數(shù)量來減少對(duì)觀眾的負(fù)外部性，廣告數(shù)量的減少引起了廣告費(fèi)用的上升。如果轉(zhuǎn)換成本減少，均衡的廣告數(shù)量也會(huì)減少，導(dǎo)致廣告費(fèi)用上升。轉(zhuǎn)換成本描述了兩個(gè)平臺(tái)的差異程度。減少，差異度降低，平臺(tái)對(duì)觀眾的競(jìng)爭(zhēng)更加激烈。平臺(tái)通過降低廣告數(shù)量吸引觀眾，因此均衡的廣告數(shù)量下降，廣告費(fèi)用上升。命題3：免費(fèi)平臺(tái)的節(jié)目質(zhì)量與干擾成本負(fù)相關(guān)，與觀眾總數(shù)N正相關(guān)，并且當(dāng)趨于無窮時(shí)，節(jié)目質(zhì)量趨于零。證明：從（21）式很容易看出，觀眾人數(shù)越多，免費(fèi)平臺(tái)的節(jié)目質(zhì)量越高。為了得到免費(fèi)平臺(tái)的節(jié)目質(zhì)量與干擾成本之間的關(guān)系，利用，將（21）式改寫為，從而有，由于我們已經(jīng)假設(shè)，所以，而，所以，節(jié)目質(zhì)量與干擾成本負(fù)相關(guān)。因?yàn)椋覀冇??！鯊碾娨暸_(tái)角度來看，如果（衡量廣告負(fù)效用的參數(shù)）越大，為吸引觀眾留在平臺(tái)上，電視臺(tái)會(huì)降低廣告數(shù)量（由命題2），這會(huì)降低總的廣告收入。以利潤(rùn)最大化為目標(biāo)的電視臺(tái)同時(shí)也會(huì)通過降低節(jié)目質(zhì)量的方式減少成本。六． 付費(fèi)平臺(tái)競(jìng)爭(zhēng)我們接下來分析數(shù)字付費(fèi)電視臺(tái)之間的平臺(tái)競(jìng)爭(zhēng)。付費(fèi)平臺(tái)既可以向廠商收取廣告費(fèi)用，也可以向觀眾收取收視費(fèi)用。我們需要求出均衡的廣告數(shù)量，收視費(fèi)用和節(jié)目質(zhì)量（），上標(biāo)p表示付費(fèi)平臺(tái)競(jìng)爭(zhēng)的情形。付費(fèi)平臺(tái)的競(jìng)爭(zhēng)過程同樣可以用三個(gè)階段的博弈來描述。平臺(tái)1和平臺(tái)廠商和觀眾是參與人。我們把這個(gè)博弈歸納如下：第一階段：兩個(gè)平臺(tái)同時(shí)決定節(jié)目的質(zhì)量。第二階段：兩個(gè)平臺(tái)同時(shí)決定廣告數(shù)量和收視費(fèi)用。第三階段：廠商和觀眾同時(shí)決定他們的行動(dòng)：廠商決定是否投放廣告，觀眾決定收看哪個(gè)平臺(tái)的節(jié)目，由此決定均衡的廣告費(fèi)用。我們用逆向歸納法求解這個(gè)博弈。第三階段，在廣告數(shù)量，收視費(fèi)用和節(jié)目質(zhì)量給定的情況下，（1）式和（2）式的解是第三階段均衡的結(jié)果。第二階段，在節(jié)目質(zhì)量給定的情況下，平臺(tái)選擇廣告數(shù)量和收視費(fèi)用使利潤(rùn)最大化。平臺(tái)的利潤(rùn)函數(shù)為，其中表示平臺(tái)的觀眾人數(shù)。利潤(rùn)最大化的一階條件是：， （22）， （23）注意，我們將（23）式寫成等式，這是因?yàn)槲覀冊(cè)试S為負(fù)值。s為負(fù)表示電視臺(tái)對(duì)觀眾給予一定的補(bǔ)貼。現(xiàn)實(shí)生活中存在這樣的情形。山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院的李長(zhǎng)英教授給我們提供了一個(gè)例子。濟(jì)南電視臺(tái)都市頻道開展了“敲門送驚喜”活動(dòng)，電視臺(tái)的工作人員走進(jìn)小區(qū)，對(duì)正在收看都市頻道的家庭送獎(jiǎng)。由于，從而。利用這一關(guān)系以及（23）式，（22）式可以改寫為： （24）若平臺(tái)的廣告數(shù)量大于零，上式中等號(hào)嚴(yán)格成立。 注意到，從而，當(dāng)時(shí)，（24）式的左邊為。因此，當(dāng)時(shí)，均衡的廣告數(shù)量為內(nèi)點(diǎn)解，由決定；當(dāng)時(shí)，均衡的廣告數(shù)量為零。從（23）式可以求出：。 （25）從而有。這說明，如果平臺(tái)2的節(jié)目質(zhì)量高于平臺(tái)1的節(jié)目質(zhì)量，平臺(tái)2就會(huì)收取更高的收視費(fèi)用。第一階段，平臺(tái)選擇節(jié)目的質(zhì)量使利潤(rùn)最大化。將和代入（1）式，得到，從而。從（25）式我們看到，從而平臺(tái)1和2的利潤(rùn)分別為。平臺(tái)1和2所選擇的質(zhì)量需要滿足的一階條件分別為， （26）。 （27）從（26）和（27）求得，應(yīng)滿足的二階條件是，本文假設(shè)，所以二階條件成立。數(shù)字付費(fèi)電視提供的節(jié)目質(zhì)量總是小于社會(huì)最優(yōu)水平。在付費(fèi)的情況下，平臺(tái)在做出選擇的時(shí)候不僅會(huì)考慮到觀眾對(duì)廠商的正外部性，也會(huì)考慮到廣告對(duì)觀眾產(chǎn)生的負(fù)外部性，我們發(fā)現(xiàn)即使將這部分負(fù)外部性內(nèi)部化，市場(chǎng)仍然失靈。我們把付費(fèi)平臺(tái)競(jìng)爭(zhēng)的均衡結(jié)果總結(jié)成如下的命題。命題4：在付費(fèi)模式下，如果，平臺(tái)播放廣告，均衡的廣告數(shù)量為，由決定；如果時(shí)，平臺(tái)不播放廣告。付費(fèi)電視平臺(tái)選擇的節(jié)目質(zhì)量為，它總是低于社會(huì)最優(yōu)水平。最后，我們給出均衡時(shí)平臺(tái)的廣告費(fèi)用和收視費(fèi)用。如果，廣告費(fèi)用為，收視費(fèi)用為。如果，廣告數(shù)量為零，收視費(fèi)。七． 從免費(fèi)電視到付費(fèi)電視 我們現(xiàn)在來分析兩個(gè)電視平臺(tái)都從免費(fèi)模式轉(zhuǎn)變?yōu)楦顿M(fèi)模式時(shí)電視臺(tái)提供的廣告數(shù)量、節(jié)目質(zhì)量以及社會(huì)福利會(huì)如何變化，并與社會(huì)最優(yōu)水平進(jìn)行比較。 當(dāng)然，無需拿這兩種模式下的社會(huì)福利與社會(huì)最優(yōu)的社會(huì)福利進(jìn)行比較。(一) 廣告數(shù)量當(dāng)時(shí)，無論是免費(fèi)模式還是付費(fèi)模式，電視臺(tái)都提供相同數(shù)量的廣告，記為（它滿足）。因?yàn)椋?，在免費(fèi)模式下，隨著干擾成本的增加，廣告數(shù)量單調(diào)減少，當(dāng)干擾成本非常大時(shí)廣告數(shù)量趨于零；在付費(fèi)模式下，當(dāng)時(shí)，廣告數(shù)量（由決定）與干擾成本負(fù)相關(guān)；當(dāng)時(shí)，廣告數(shù)量為零。注意到當(dāng)時(shí)。因此，（1）當(dāng)兩個(gè)平臺(tái)的差異較小時(shí)（），當(dāng)很小時(shí)，免費(fèi)模式下電視臺(tái)的廣告數(shù)量隨著的增加而下降的速度快于付費(fèi)模式下，而當(dāng)很大時(shí)，免費(fèi)模式下電視臺(tái)的廣告數(shù)量大于付費(fèi)模式下。因此，免費(fèi)模式下電視臺(tái)的廣告數(shù)量可能大于付費(fèi)模式下也可能小于付費(fèi)模式下；根據(jù)連續(xù)性，在取某一特定值時(shí)兩種模式下電視臺(tái)選擇的廣告數(shù)量相等。（2）當(dāng)兩個(gè)平臺(tái)差異較大時(shí)（），當(dāng)很小時(shí)，免費(fèi)模式下電視臺(tái)的廣告數(shù)量隨著的增加而下降的速度慢于付費(fèi)模式下，而當(dāng)很大時(shí)，