【文章內容簡介】 ???????? ??????????????????????? ???nnn 321323232l i m 132 ? 解 ： 例 2 中取32?a，32??r，可知原式 =5232132????????? （ 2） 342323131121211lim ?????????????????????? nnn?? 例 3．求nnnnn 3223lim 11 ?????? 解： 分子、分母用 n3 除之， 原式 = 31322323lim ????????????????? nnn 或分子分母用 13?n 除之，原式 331)32()32(311lim1??????? nnn （注：主要用當 1?r 時， 0lim ??? nn r） 13 例 4． 設 l 是正整數，求 ? ????? ?nkn lkk11lim 解： 例如 2?l 時， ? ?)2( 1)1)(1( 1...64 153 142 131 1211 ????????????????? nnnnkknk ?????? ???????????????? )211()1111(...)6141()5131()4121()311(21 nnnn ?????? ?????? 211121121 nn ? ? ?????? ???? 11111 kkllkk? ? ??? ?????? ??????????? nk lnnllkk11111211111 ?? 因此原式 ?????? ???? ll 12111 ? 特列： （ 1） ? ????? ??nkn kk1 111lim ? ?1?l （ 2） ? ????? ??????? ???nkn kk1 432112121lim ? ?2?l 二、用兩個重要公式 例 1． 求nn xxx 2c os4c os2c oslim ??? 解： 當 0?x ，原式 1? 當 0?x 時，原式nnnnnn xxxxx2s i n22c os4c os2c os2s i n2l i m ???? nnnnnn xxxxx2s i n22s i n2c o s4c o s2c o s2l i m 111???????? ?? nnnnnn xxxxxx2s i n2s i nl i m2s i n2s i nl i m ??????? xxsin? 14 例 2．求 xx xx ?????? ???? 11lim 解一： ? ?? ? 211111l i m/1 /1l i m11l i m ???????? ???????? ??????? ???????? ????????? ?? eeexxxxxxxxxxxxxxx 解二： 21221121l i m11l i m ??????? ???????? ?????? ??????? ?????? ?????????? ?? exxx x xxxxx 例 3． ? ? xx x 2cot0 coslim? ? ? xxx x 22s in2c os20 sin1lim ?? ? ? ?? ?? ? ? ?2c oss in120 22s in1lim ???? ??? xxx x21??e 三、用夾逼定理求極限 例 1．求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解： 令nnx n 2 12654321 ???? ?， 12 25432 ??? n nyn ?， 則 nn yx ??0 ，于是12 10 2 ???? nyxx nnn 由夾逼定理可知： 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 例 2．求 ???? ??nkn knnk1 2lim 口訣（ 14） :n 項相加先合并；不行估計上下界。 解： ?? ??????????? ??? nk nnnknn knnn n1 222 12121 ?? 而 ? ?? ?212121l i m221l i m2 ???????????? nnnnnnnnn? ? ? 211121l i m121l i m 22 ??? ???? ??? ???? nn nnnn n nn ? 15 由夾逼定理可知 ???? ???nkx knnk1 2 21lim 例 3．求 ???xx dttx 0 sin1lim 解： ? ? 2s ins in01 ?? ?? ? ??? tdtdttkk? 設 ? ??? 1??? nxn ，則 ? ? ? ?12s i ns i ns i n2 1000 ????? ??? ? ndttdttdttn nxn ?? 于是， ? ? ? ??? nndttxn n x 12s in112 0 ???? ? ? ??? 212lim ???? n nn?， ? ??? 212lim ???? nnn， 由夾逼定理可知，?2sin1lim 0 ????? xx dttx 四、用定積分定義求數列的極限 例 1．求 ???? ?nkn knn1 22lim 分析：如果還想用夾逼定理中的方法來考慮 ?? ?????nk nnkn nnn n1 222222221 而 21lim222 ???? nnnn， 11lim 22 2 ???? n nn 由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮 解： ???????? ?????????nknnknnknknn1 21 22 111l i ml i m 401a rc t a n110 2 ????? ? xxdx 例 2．求 ???? ?nknknnk1 1sinlim? 16 解： ?????????? nknknk nknknnknkn 111 s i n11s i ns i n11 ???? 而??? 2s i ns i n1l im 101 ?? ????? x dxnkn nkn ??? 2s i n11l i ms i n11l i m 11 ????????????? ??? ?? ??????nknnkn nknn nnkn 由夾逼定理可知，??21sinlim1??????nknknnk 五、用洛必達法則求極限 1．00型和??型 例 1．求nnnn 1sin1sin1lim3??? 解：離散型不能直接用洛必達法則，故考慮 3030 s i nl i ms i n s i nl i m x xxx xx xx ?? ?? 等價無窮小代換 616s inlim3 c os1lim 020 ???? ?? xxx x xx ?61?原式 例 2．求10102limxexx?? 解：若直接用00型洛必達法則 1，則得12109130 5lim102lim 22xexex xxxx???? ??????? （不好辦了，分母 x 的次數反而增加） 為了避免分子求導數的復雜性，我們先用變量替換，令 tx ?21 于是ttttxx ettexe 551010 limlimlim2?????????? ?? ?????? ??型 0!5lim5lim 4 ?????????? tttt eet ? 口訣（ 15）：變量替換第一寶；由繁化簡常找它。 例 3．設函數 )(xf 連續(xù)， 0)0( ?f ，求????? xxx dttxfxdttftx000 )()()(lim 17 解：原式?? ???? xx xx duufxdtttfdttfx00 00 )()()(lim （分母作變量替換 utx ?? ） ??????? xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim （用洛必達法則，分子、分母各求導數） （用積分中值定理） )()( )(lim )0( 0 xxfxf xfx ?? ?? ? ??（ ? 在 0 和 x 之間） 21)0()0( )0( ??? ff f 2． ??? 型和 0 ?? 型 例 1．求 ???????? ?? 2220 c ossin1lim x xxx 解：原式xx xxxx 22 2220 s in c oss inlim ??? ? 42202sin41limxxxx??? 30 42c o s2s in442limxxxxx??? 30 24sin41limxxxx??? 20 6 4cos1lim x xx ?? ? x xx 12 4sin4lim0?? 34? 例 2．設 0?a ， 0?b 常數。求???????? ???? xxx bax11lim 解：原式tbatxxba tttxxx????????? 011l i m11l i m 令 ?????? 型00 用洛必達法則 ? ?bbaa ttt lnlnlim0 ?? ?? ba lnln ?? baln? 3． 1? 型， 00 型和 0? 型 這類都是 ? ? )()(lim xgxf 形式可化為 ? ?)(ln)(lim xfxge 而 ? ?)(ln)(lim xfxg 都是 0 ?? 型，按 2 的情形處理 例 1．求 xx x 2sin0lim?? 解：令 xxy 2sin? ， xxy lnsinln 2? 18 021l i m1lnl i mlnl i mlns i nl i mlnl i m302020200?????? ??????????xxxxxxxxyxxxxx 1lim 00 ??? ?? eyx 例 2．設 0?a ， 0?b 常數，求 nnnnba ???????? ??? 2lim 解：先考慮xxxxba?????????? ???? 2lim11它是 1? 型 令xxx bay?????????? ?? 211，???????? ????????