散亂數(shù)據(jù)的可視化完整(編輯修改稿)
2025-05-29 08:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的這種基函數(shù)的形式往往是 hk(x,y)=h(dk)，這里的 dk表示由點(diǎn) (x,y)至第 k個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離。一般來說，這種方法不具有多項(xiàng)式精度，但只要稍加改進(jìn)，即可獲得具有多項(xiàng)式精度的插值公式 式中， qk(x,y)是一個(gè)多項(xiàng)式基，其階次小于 m。 上式中的系數(shù) ak,bk應(yīng)滿足下面的聯(lián)立方程組 ( , ) ( 1 , , )KQ x y k n? （ ）式中的 n個(gè)方程式滿足了插值要求，而（ ）式中的 m個(gè)方程式則保證了多項(xiàng)式精度。二式中共有 m+n個(gè)未知數(shù)，同時(shí)存在 m+n個(gè)方程式，聯(lián)立求解，即可得出待定系數(shù)。 下面介紹兩種主要的徑向基函數(shù)插值法 。 (MQ)方法 Multiquadric 方法是由 1971年提出來的。它是最早提出并且應(yīng)用最為成功的一種徑向基函數(shù)插值法。它采用的插值函數(shù)為 以單自變量簡單情況為例，如圖 ，設(shè)對應(yīng)于 x=xi的點(diǎn)，有值 f(xi)。那么這種單自變量情況下的插值函數(shù)為 從理論上說， n可以與給定點(diǎn)的數(shù)目不等， ai也可以有任意值，但為了求解方便，令 n等于給定點(diǎn)的數(shù)目， Xj則等于各給定點(diǎn)的 x坐標(biāo)值。此時(shí)，如將各 Xi點(diǎn)的值 fi帶入上式，則可得一組聯(lián)立方程 求解此組聯(lián)立方程，即可得出 aj。圖 n=6時(shí)的結(jié)果。圖中，不僅表示出 F(x)，而且用虛線表示出 F(x)的各分量。值得注意的是，構(gòu)成各分量的絕對值函數(shù)均在各 Xj處有斜率變化。 如果用雙曲線函數(shù)代替絕對值函數(shù)，那么，同樣的點(diǎn)也可以用連續(xù)可微曲線來進(jìn)行插值，這時(shí)，插值函數(shù)為 式中 表示任意常數(shù)。圖 時(shí)的插值結(jié)果。大量的計(jì)算表明，如果相對于數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離， 的最值過大，則會(huì)導(dǎo)致病態(tài)的系數(shù)矩陣，影響了求解。在大多數(shù)情況下， 取值小些則結(jié)果較好。 ?2 1???? 以上的插值公式很容易推廣到雙自變量的情況，此時(shí)有 如果將 n個(gè)點(diǎn) (xk,yk)的值 fk代入上式，即可得到一組聯(lián)立方程 求解此聯(lián)立方程，即可求出系數(shù) aj(j=1,2,…,n) 的值。 如令 Qj表示任意的二次基函數(shù)， aj表示系數(shù)， fj表示給定點(diǎn)的值。則可將 ()式改寫為 其矩陣形式為 其解為 薄板樣條法 就是用此方法求出的散亂點(diǎn)的插值函數(shù)使下面這一泛函表達(dá)式具有最小值 I(F)表示受限于插值點(diǎn)的無限彈性薄板的彎曲能量。因此，這一方法的實(shí)質(zhì)從力學(xué)觀點(diǎn)看是使插值函數(shù)所代表的彈性薄板受限于插值點(diǎn)，并且具有最小的彎曲能量。這是一個(gè)泛函求極值的問題。這一變分問題的解即為我們所需要插值函數(shù)，具有式 ()和 ()的形式，其基函數(shù)具有hk(x,y)=h(dk)=dk2logdk 的形式。 那么，插值后，任意一點(diǎn) p的值為 （ ） 由于其基本原理與求解偏微分方程的有限元方法相同，因而被稱為散亂點(diǎn)插值的 有限元方法 。在給出具有雙自變量的散亂點(diǎn)和函數(shù)值，然后先求出二維平面上散亂點(diǎn)的凸包，并進(jìn)行三角剖分，形成一系列的三角形，然后構(gòu)成一系列的面片，使其插值于都有點(diǎn)和對應(yīng)的函數(shù)值。 本節(jié)將主要討論在生成二維點(diǎn)集的三角剖分之后，如何構(gòu)造插值于各點(diǎn)函數(shù)的面片問題。一種最簡單的方法是，構(gòu)造出插值于各點(diǎn)函數(shù)的平面三角面片，這在各個(gè)三角面片之間只能是 C0連續(xù)，不能滿足要求。因而需要討論如何利用高階多項(xiàng)式進(jìn)行插值，且在各面片具有 C1連續(xù)的插值方法。 (克拉夫 托赫爾 )插值法 如果用一個(gè)三次曲面片對一個(gè)三角形的頂點(diǎn)進(jìn)行插值，該三次曲面片可表示為一個(gè)雙自變量的三次多項(xiàng)式，即 該式中共有 10個(gè)待定的系數(shù)。 如圖 (a)所示，設(shè) A,B,C是三角形的 3個(gè)頂點(diǎn)，將 3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)值代入上式，可得出 3個(gè)關(guān)系式。如果可以得出 3個(gè)頂點(diǎn)處相對于 x和 y的偏導(dǎo)數(shù)，并將其代入上式，則又可得到 6個(gè)關(guān)系式。為了使相鄰的曲面片光滑連接，那么共享一條邊的二個(gè)面片，在與該邊正交的方向上的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該相同，這樣又可以建立 3個(gè)關(guān)系式。于是我們有了 12個(gè)關(guān)系
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1