散亂數據的可視化完整(編輯修改稿)
2025-05-29 08:13 本頁面
【文章內容簡介】 的這種基函數的形式往往是 hk(x,y)=h(dk)，這里的 dk表示由點 (x,y)至第 k個數據點的距離。一般來說，這種方法不具有多項式精度，但只要稍加改進，即可獲得具有多項式精度的插值公式 式中， qk(x,y)是一個多項式基，其階次小于 m。 上式中的系數 ak,bk應滿足下面的聯立方程組 ( , ) ( 1 , , )KQ x y k n? （ ）式中的 n個方程式滿足了插值要求，而（ ）式中的 m個方程式則保證了多項式精度。二式中共有 m+n個未知數，同時存在 m+n個方程式，聯立求解，即可得出待定系數。 下面介紹兩種主要的徑向基函數插值法 。 (MQ)方法 Multiquadric 方法是由 1971年提出來的。它是最早提出并且應用最為成功的一種徑向基函數插值法。它采用的插值函數為 以單自變量簡單情況為例，如圖 ，設對應于 x=xi的點，有值 f(xi)。那么這種單自變量情況下的插值函數為 從理論上說， n可以與給定點的數目不等， ai也可以有任意值，但為了求解方便，令 n等于給定點的數目， Xj則等于各給定點的 x坐標值。此時，如將各 Xi點的值 fi帶入上式，則可得一組聯立方程 求解此組聯立方程，即可得出 aj。圖 n=6時的結果。圖中，不僅表示出 F(x)，而且用虛線表示出 F(x)的各分量。值得注意的是，構成各分量的絕對值函數均在各 Xj處有斜率變化。 如果用雙曲線函數代替絕對值函數，那么，同樣的點也可以用連續(xù)可微曲線來進行插值，這時，插值函數為 式中 表示任意常數。圖 時的插值結果。大量的計算表明，如果相對于數據點之間的距離， 的最值過大，則會導致病態(tài)的系數矩陣，影響了求解。在大多數情況下， 取值小些則結果較好。 ?2 1???? 以上的插值公式很容易推廣到雙自變量的情況，此時有 如果將 n個點 (xk,yk)的值 fk代入上式，即可得到一組聯立方程 求解此聯立方程，即可求出系數 aj(j=1,2,…,n) 的值。 如令 Qj表示任意的二次基函數， aj表示系數， fj表示給定點的值。則可將 ()式改寫為 其矩陣形式為 其解為 薄板樣條法 就是用此方法求出的散亂點的插值函數使下面這一泛函表達式具有最小值 I(F)表示受限于插值點的無限彈性薄板的彎曲能量。因此，這一方法的實質從力學觀點看是使插值函數所代表的彈性薄板受限于插值點，并且具有最小的彎曲能量。這是一個泛函求極值的問題。這一變分問題的解即為我們所需要插值函數，具有式 ()和 ()的形式，其基函數具有hk(x,y)=h(dk)=dk2logdk 的形式。 那么，插值后，任意一點 p的值為 （ ） 由于其基本原理與求解偏微分方程的有限元方法相同，因而被稱為散亂點插值的 有限元方法 。在給出具有雙自變量的散亂點和函數值，然后先求出二維平面上散亂點的凸包，并進行三角剖分，形成一系列的三角形，然后構成一系列的面片，使其插值于都有點和對應的函數值。 本節(jié)將主要討論在生成二維點集的三角剖分之后，如何構造插值于各點函數的面片問題。一種最簡單的方法是，構造出插值于各點函數的平面三角面片，這在各個三角面片之間只能是 C0連續(xù)，不能滿足要求。因而需要討論如何利用高階多項式進行插值，且在各面片具有 C1連續(xù)的插值方法。 (克拉夫 托赫爾 )插值法 如果用一個三次曲面片對一個三角形的頂點進行插值，該三次曲面片可表示為一個雙自變量的三次多項式，即 該式中共有 10個待定的系數。 如圖 (a)所示，設 A,B,C是三角形的 3個頂點，將 3個頂點的坐標值代入上式，可得出 3個關系式。如果可以得出 3個頂點處相對于 x和 y的偏導數，并將其代入上式，則又可得到 6個關系式。為了使相鄰的曲面片光滑連接，那么共享一條邊的二個面片，在與該邊正交的方向上的偏導數應該相同，這樣又可以建立 3個關系式。于是我們有了 12個關系
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