【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 RRLRLRLDA ?????111021???????? ????????? ?RLRL 10 21 gg臨界腔，非穩(wěn)腔；穩(wěn)定腔；或 10 0 ,1 0,0 10212121212121????gggggggggggg? 只適用于簡(jiǎn)單的共軸球面鏡腔 (直腔 ) 要求掌握： 給定 R1,R2， 根據(jù)穩(wěn)定條件，確定使諧振腔 處于穩(wěn)定的腔長(zhǎng)允許值范圍 穩(wěn)定判據(jù)另一表達(dá)式 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 任意傍軸光線均可在腔內(nèi)往返無(wú)限多次而不致橫向逸出，而且經(jīng)兩次往返即可自行閉合。 沿軸線方向行進(jìn)的光線能往返無(wú)限次而不逸出腔外，且往返一次即實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)并。但所有非軸線方向行進(jìn)的光線在經(jīng)有限次往返后，必然逸出腔外。 通過(guò)公共中心的光線能在腔內(nèi)往返無(wú)限多次，而所有不通過(guò)公共中心的光線在腔內(nèi)往返有限次后必然橫向逸出腔外。 平行平面腔 對(duì)稱共焦腔 共心腔 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 大多數(shù)臨界腔，其性質(zhì)介于穩(wěn)定腔和非穩(wěn)腔之間。平行平面腔和共心腔這一類腔稱為 介穩(wěn)腔 ；對(duì)稱共焦腔（本屬于臨界腔 g1=g2=0），其中任意傍軸光線均可在腔內(nèi)往返無(wú)限多次而不致橫向逸出，而且經(jīng)兩次往返即可自行閉合。在這種意義上，共焦腔屬于 穩(wěn)定腔 。 整個(gè)穩(wěn)定球面腔的模式理論可建立在 共焦腔 振蕩模理論的基礎(chǔ)上。 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 167。 開腔模式的物理概念和衍射理論分析方法 Q：在沒有側(cè)面邊界的區(qū)域中，是否存在著電磁場(chǎng)的本征值，即不隨時(shí)間變化的 穩(wěn)定場(chǎng)分布 ，若存在，如何求場(chǎng)分布？ 激光介質(zhì)對(duì)光的放大和損耗；鏡面對(duì)光的 衍射 作用（損耗） 考慮理想情況，損耗主要由衍射作用貢獻(xiàn) ，介質(zhì)沒有放大作用，則光在兩鏡之間傳輸會(huì)因衍射作用而越來(lái)越弱。可以期預(yù)，經(jīng)過(guò)有限次往返后，光場(chǎng)的分布不再受衍射的影響。在腔內(nèi)往返一次后能 “ 再現(xiàn) ” 出發(fā)時(shí)的場(chǎng)分布。此穩(wěn)態(tài)場(chǎng)經(jīng)一次往返后，唯一可能變化的是鏡面上各點(diǎn)的場(chǎng)振幅按同樣的比例衰減，各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后。 定義開腔鏡面上經(jīng)過(guò)一次往返能再現(xiàn)穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布 自再現(xiàn)?；驒M模 。自再現(xiàn)模一次往返的能量損耗稱為 模的往返損耗 ；一次往返所經(jīng)歷的相移稱為 往返相移 ，為 k?2?—— 模的諧振條件。 一、衍射理論的基本出發(fā)點(diǎn)與自再現(xiàn)概念 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 二、孔闌傳輸線 條件 ?一系列通軸孔徑 ?孔徑開在平行無(wú)限大的 吸收 屏上 ?相鄰孔徑距離等于腔長(zhǎng) L ?孔徑大小等于鏡的大小 ?所有孔徑的大小和形狀都相同 光從一個(gè)孔徑傳播到另一個(gè)孔徑等效于光在開腔中從一個(gè)反射鏡面到另一個(gè)鏡面。在通過(guò)每一個(gè)孔闌時(shí)光將發(fā)生衍射，射到孔的范圍以外的光將被屏吸收（對(duì)應(yīng)于損耗） 開腔模式形成的定性解釋 模擬開腔中自再現(xiàn)模的形成過(guò)程 橫模產(chǎn)生的物理原因 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 過(guò)程 ：一均勻平面波垂直入射到第一個(gè)孔闌時(shí)，波的強(qiáng)度均勻分布在孔面上。通過(guò)孔闌時(shí)光將發(fā)生衍射，射到孔的范圍之外的光將被屏吸收（對(duì)應(yīng)損耗）。由于衍射發(fā)生在鏡的邊緣附近，當(dāng)波到第二個(gè)孔時(shí)，邊緣部分的強(qiáng)度比中心小，且已不是等相位面。通過(guò)等二個(gè)孔時(shí)波束又將發(fā)生衍射， ??每經(jīng)一個(gè)孔，波的振幅和相位分布發(fā)生一次變化 ，但是波束受到衍射的影響越來(lái)越小。當(dāng)通過(guò)足夠多的孔闌后，鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布不再發(fā)生變化。 —— 自再現(xiàn)模 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) ?不是任何形態(tài)的電磁場(chǎng)都能在開腔中長(zhǎng)期存在，只有不受衍射影響的場(chǎng)分布才能最終穩(wěn)定下來(lái)。 ?自在現(xiàn)模的形成與初始入射波的形狀無(wú)關(guān)，任何初始入射波也能形成自在現(xiàn)模。 ?自在現(xiàn)模的形成過(guò)程可理解 光的相干性 。 如果在第一孔面上的光是非相干的，由于衍射，第二個(gè)孔面上任一點(diǎn)的波應(yīng)該看作是第一個(gè)孔面上個(gè)所有各點(diǎn)發(fā)出的子波的疊加（惠更斯 菲涅耳原理），即在第二個(gè)孔面上各點(diǎn)波的相位有關(guān)聯(lián)，經(jīng)過(guò)足夠多的衍射后，光束橫截面上各點(diǎn)的相位關(guān)聯(lián)越密，空間相干性越強(qiáng)。 在開腔中，從非相干的自發(fā)輻射發(fā)展成空間相干性極好的激光，正是由于衍射的作用 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 三、惠更斯 菲涅爾衍射原理及基爾霍夫衍射積分 FresnelKirchoft衍射積分：若知光波場(chǎng)在其所到任意空間曲面上的振幅和相位分布 ， 可求出該光場(chǎng)在其他任意處的振幅和相位分布 。 ? ? ? ? ? ? sdeyxuikyxuiks???????????? c o s1,4,S曲面上光場(chǎng)分布函數(shù) 各子波源發(fā)出的球面波 傾斜因子 ｋ為波矢的模； ρ 為源點(diǎn)u(x’ ,y’ )與觀察點(diǎn) u(x,y) 之間連線的長(zhǎng)度； θ 為 Ｓ 面上點(diǎn) (x’ ,y’ )處法線 ｎ 與上述連線的夾角； ｄｓ ′為Ｓ 面上點(diǎn) (x’ ,y’ )處的面積元 ， 積分沿整個(gè) Ｓ 面進(jìn)行 。 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) U1(x1, y1) U3(x3,y3) Uj+1(xj+1, yj+1) Uj(xj, yj) M1 M2 U2(x2, y2) 場(chǎng) 分布 不變 －再現(xiàn) ? 自再現(xiàn)條件 ? ? ? ?yxUyxU jj ,1,1 ???往返次數(shù)足夠多時(shí) ,除表示振幅衰減和相移的常數(shù)因子外 , Uj+1能再現(xiàn) Uj ? ?y,xuj ?? ? ?y,xu j ???1? ? P(x,y) P’ 四、 自再現(xiàn)模概念 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) ?衍射積分公式 ?自再現(xiàn)概念 光腔中的衍射場(chǎng)自洽積分方程 L 光腔中的衍射場(chǎng)自洽積分方程 ? ? ? ? ? ? sdeyxuikyxu iks???????? ????cos1,4, 12? ? ? ? ? ? sdeyxuikyxu iksjj ???????? ?? ?????c os1,4, 11…….. …….. ? 自再現(xiàn)模 積分方程 ? ? ? ? ? ? sdeyxVikyxVik????????????? c o s1,4,開腔中不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布函數(shù) 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) ?自再現(xiàn)模積分方程 (自洽積分方程） ? ? ? ? ? ? sdeyxVikyxV ik ????? ??? ?? ??? c o s1,4,? ? LLyxL 2c o s11c o s, ??????????? ? ? ? ? ? sdeyxVLiyxV yxyxik ?????? ?????? ,,? ? ? ?yxyxikeLiyxyxK ?????? ,, ??? ? ? ? ? ? sdyxVyxyxKyxV ??????? ?? ,,其中 － 積分方程的核 ? 適用任何對(duì)稱光腔（平行平面，共焦，一般球面鏡腔） ? 求出 V(x,y) 開腔振蕩模的場(chǎng)分布 求解積分方程 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 五、自再現(xiàn)模積分方程的解法 其它穩(wěn)定球面鏡腔可通過(guò)“等價(jià)”對(duì)稱共焦腔求得 2. 數(shù)值解 (數(shù)值迭代法 ) 2a2a2a2a... …... 振幅 相位 1. 解析解： －對(duì)稱共焦腔才能得到解析解 精確解 近似 方形鏡 共焦腔 長(zhǎng)橢球函數(shù) 厄米～高斯函數(shù) 圓形鏡 共焦腔 超橢球函數(shù) 拉蓋爾～高斯函數(shù) 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 例：平行平面腔模的迭代解法 ?平行平面腔的優(yōu)點(diǎn)：光束方向性好（發(fā)散角?。?、模體積大、比較容易獲得單橫模 ?缺點(diǎn)：調(diào)整精度要求極高，與穩(wěn)定腔比較，損耗也比較大 ?平行平面腔振蕩模所滿足的自再現(xiàn)積分方程至今尚得不到精確的解析解 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 利用迭代公式，直接進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。 首先，假定在某鏡面上存在一個(gè)初始場(chǎng)分布 u1，將其代入上式，計(jì)算 u2， u3, u4等。反復(fù)運(yùn)算足夠多次后，判斷能否滿足下式 39。1 dsKuuSjj ????...1,1121?????jjjjuuuu??如果直接數(shù)值計(jì)算得到了這種穩(wěn)定的場(chǎng)分布，則可認(rèn)為找到了腔的一個(gè)自在現(xiàn)?；驒M模。 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 2a2a2a2a以對(duì)稱 條形腔 為例，看看平行平面腔自再現(xiàn)模的形成過(guò)程。 求解問(wèn)題：初始入射波函數(shù) u1如何選擇？ u1?1，即認(rèn)為整個(gè)鏡面為等相位面，鏡面上各點(diǎn)波的振幅均為 1。 振幅 相位 將 u1代入 迭代 得到 u2，然后使 ?u2?=1，將其在代入方程求得 u3… . 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 根據(jù)初始分布，經(jīng)第一次及第 300次渡越后得到的振幅和相位分布。 300次渡越后形成自再現(xiàn)模。此穩(wěn)態(tài)場(chǎng)的分布特點(diǎn)：鏡面中心處振幅最大，從中心到邊緣振幅慢慢降低，整個(gè)鏡面上的場(chǎng)分布具有偶對(duì)稱性。 —— 此特征的橫模為腔的最低階偶對(duì)稱模或基模。（ TEM00） 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 六、自再現(xiàn)模積分方程的解的物理意義 1. 本征函數(shù)形式 ? ? ? ? ? ?y,ximnmn mney,xAy,xV ??? ?y,xAmn － 鏡面上 振幅分布 ? ?y,xmn? － 鏡面上 場(chǎng)的相位分布 ? ? ? ? ? ? sdey,xVLiy,xV y,x,y,xik ???? ????? ???本征值 本征函數(shù) ? ?y,xV mn － 鏡面上 場(chǎng)分布函數(shù) (本征函數(shù) 橫模 ) 一般球面鏡腔得不到解析解，唯有對(duì)稱共焦腔有精確解 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) mnimnmn e ???? ?2. 本征值 ? － 復(fù)常數(shù) ? 與 ?d有關(guān) ?d －光場(chǎng)在腔中渡越一次的相對(duì)功率損耗－ 單程損耗 －傳輸因子 設(shè) ? ????ijjjj eueuuu???? ?? 111??? ie ??單程模振幅的衰減 相移 222212111mnm n jm n jm n jd euuu?? ? ?????? ????mn?－ 量度自再現(xiàn)模的單程損耗 , 不同橫模有不同的 ?d。 ??mn ? ? ? 模的單程損耗 ? 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 3. 單程相移 ? mn－自再現(xiàn)模在腔內(nèi)渡越一次的總相移 ??????11a r gua r gua r gmnjjmn????? ?jji uue???? 11 ?? ???