面是關于四棱柱的四個命題：①若有兩個側(cè)面垂直于底面,則該四(編輯修改稿)
2025-05-27 18:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 形的三棱錐是正三棱錐；③一個棱錐可以有兩條側(cè)棱和底面垂直；④一個棱錐可以有兩個側(cè)面和底面垂直；⑤所有側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體，其中正確命題的序號是 ________． 解析： ①正確，正四面體是每個面 都是等邊三角形的四面體，如正方體 ABCDA1B1C1D1中的四面體 ACB1D1； ②錯誤，反例如圖所示，底面△ ABC為等邊三角形，可令AB＝ VB＝ VC＝ BC＝ AC，則△ VBC為等邊三角形，△ VAB和△ VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐； ③錯誤， 如果有兩條側(cè)棱和底面垂直，則它們平行，不可能；④正確，當兩個側(cè)面的公共邊垂直于底面時成立；⑤錯誤，當?shù)酌媸橇庑螘r此說法不成立． 答案： ① ④ 考點二 有關柱、錐、臺、球的計算 如圖所示，正四棱臺 ABCD—A′B′C′D′的高為 17 cm，兩底面的邊長分別為 4 cm和 16 cm，求這個棱臺的側(cè)棱長和斜高． [自主解答 ] 設棱臺兩底面的中心分別是 O′和 O， B′C′、 BC的中點分別是 E′、 E. 連結(jié) O′O， E′E， OB， O′B′， O′E′， OE， 則四邊形 OBB′O′， OEE′O′都是直角梯形． 在正方形 ABCD中， BC＝ 16 cm， 則 OB＝ 8 cm， OE＝ 8 cm. 在正方形 A′B′C′D′中， B′C′＝ 4 cm， 則 O ′ B ′ ＝ 2 2 c m ， O ′ E ′ ＝ 2 c m . 在直角梯形 O ′ O B B ′ 中， B ′ B ＝ O ′ O2＋ ? OB － O ′ B ′ ?2 ＝ 172＋ ? 8 2 － 2 2 ?2＝ 19 c m . 在直角梯形 O ′ O E E ′ 中， E ′ E ＝ O ′ O2＋ ? OE － O ′ E ′ ?2 ＝ 172＋ ? 8 － 2 ?2＝ 5 13 c m ， 所以這個棱臺的側(cè)棱長為 19 c m ，斜高為 5 13 c m . 一個圓臺的母線長為 12 cm，兩底面面積分別為 4π cm2和 25π cm2，求： (1)圓臺的高； (2)截得此圓臺的圓錐的母線長． 解： ( 1) 圓臺的軸截面是等腰梯形， 如圖所示． 由題意，知上底 AD ＝ 4 c m ， 下底 BC ＝ 10 c m ； ∴ O1A ＝ 2 c m ， 下底半徑 OB ＝ 5 c m . 又 ∵ 腰長為 12 c m ， ∴ 高 AM ＝ 122－ ? 5 － 2 ?2＝ 3 15 ( c m ) ． ( 2) 延長 BA 、 CD 相交于點 S ，連接 SO1，則設截得此圓臺的圓錐的母線長為 l， 則由 △ S AO1∽△ S BO ，可得l－ 12l＝25， ∴ l＝ 20( c m ) ． 考點三 截面問題 棱長為 2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖所示，求圖中三角形(正四面體的截面 )的面積． [自主解答 ] 如圖所示，△ ABE為題中的三角形， 由已知得 AB ＝ 2 ， BE ＝ 2 32＝ 3 ， BF ＝23BE ＝2 33， AF ＝ AB2－ BF2＝ 4 －43＝ 83， ∴△ ABE 的面積為 S ＝12 BE AF ＝12 3 83＝ 2 . ∴ 所求的三角形的面積為 2 . 棱長為 a的正四面體 (側(cè)棱長等于底面邊長的正三棱錐 )ABCD的四個頂點均在同一個球面上，則此球的半徑 R＝ ________. 解析： 如圖，設正四面體 ABCD 內(nèi)接于球 O ，由點 D 向底面 A B C作垂線，垂足為 H ，連結(jié) AH ， OA ，則 AH ＝33a ， DH ＝ a2－ ?3
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