物理競賽分類匯編萬有引力定律(教師版)匯總(編輯修改稿)
2025-05-04 23:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (16 ) 其中 （17）是衛(wèi)星矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積，，得 (18)又因為衛(wèi)星運行一周掃過的橢圓的面積為 (19) 所以衛(wèi)星沿軌道運動的周期 (20)由(18)、(19)、(20) 式得 (21)代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 s (約15小時46分) (22)注：，由開普勒第三定律，繞地球運行的兩亇衛(wèi)星的周期T與T0之比的平方等于它們的軌道半長軸a與a0之比的立方，即 若是衛(wèi)星繞地球沿圓軌道運動的軌道半徑，則有 得 從而得 代入有關(guān)數(shù)據(jù)便可求得(22)式. 4. 在繞月圓形軌道上，根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律有 (23)這里是衛(wèi)星繞月軌道半徑，是月球質(zhì)量. 由(23)式和(9)式，可得 (24)代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 (25) （29屆）三、（23分）設(shè)想在地球赤道平面內(nèi)有一垂直于地面延伸到太空的輕質(zhì)電梯，電梯頂端可超過地球的同步衛(wèi)星高度（從地心算起）延伸到太空深處。這種所謂的太空電梯可用于低成本地發(fā)射繞地人造衛(wèi)星，其發(fā)射方法是將衛(wèi)星通過太空電梯勻速地提升到某高度，然后啟動推進裝置將衛(wèi)星從太空電梯發(fā)射出去。設(shè)在某次發(fā)射時，衛(wèi)星在太空電梯中極其緩慢地勻速上升，（脫離時衛(wèi)星相對于太空電梯上脫離處的速度可視為零）而進入太空。（1）論證衛(wèi)星脫落后不會撞擊地面。（2）如果衛(wèi)星脫落后能再次和太空電梯相遇，即可在它們相遇時回收該衛(wèi)星。討論該衛(wèi)星從脫落時刻起，在0~12小時及12~24小時兩個時間段內(nèi)被太空該電梯回收的可能性。如果太空電梯地點位于東經(jīng)110度處，在太空電梯上離地心距離為處有一衛(wèi)星從電梯脫落（脫落時衛(wèi)星相對于太空電梯上脫落處的速度可視為零），脫落后該衛(wèi)星軌道剛好能和赤道某處相切，而使衛(wèi)星在該點著地，試求衛(wèi)星著地點的經(jīng)度。提示：此問要用數(shù)值方法求解高次方程。已知：地球質(zhì)量，半徑的球體；引力恒量；地球自轉(zhuǎn)周期小時；假設(shè)衛(wèi)星與太空電梯脫落后只受地球引力作用。解：1.R，衛(wèi)星的機械能為負值. 由開普勒第一定律可推知，此衛(wèi)星的運動軌道為橢圓（或圓），地心為橢圓的一個焦點(或圓的圓心)，因此脫離點必為衛(wèi)星橢圓軌道的遠地點（或近地點）；設(shè)近地點（或遠地點）離地心的距離為，(1)，根據(jù)機械能守恒定律有 （2） 由（1）和（2）式解得(3)可見該點為近地點,而脫離處為遠地點.【（3）式結(jié)果亦可由關(guān)系式：直接求得】同步衛(wèi)星的軌道半徑滿足 (4)由(3)和(4)式并代入數(shù)據(jù)得 (5)可見近地點到地心的距離大于地球半徑，因此衛(wèi)星不會撞擊地球.，從遠地點可求出該常量為(6)設(shè)和分別為衛(wèi)星橢圓軌道的半長軸和半短軸，由橢圓的幾何關(guān)系有 (7) (8)衛(wèi)星運動的周期為(9)代人相關(guān)數(shù)值可求出（10）衛(wèi)星剛脫離太空電梯時恰好處于遠地點，根據(jù)開普勒第二定律可知此時刻衛(wèi)星具有最小角速度，其后的一周期內(nèi)其角速度都應不比該值小，所以衛(wèi)星始終不比太空電梯轉(zhuǎn)動得慢；換言之，（約14小時），衛(wèi)星到達近地點，而此時太空電梯已轉(zhuǎn)過此點，；而在衛(wèi)星脫落后1224小時內(nèi)衛(wèi)星將完成兩個多周期的運動，同時太空電梯完成一個運動周期，所以在1224小時內(nèi)二者必相遇，從而可以實現(xiàn)衛(wèi)星回收.， （11）此式可化為 (12) 這是關(guān)于的四次方程，用數(shù)值方法求解可得 （13）【，則有和由上兩式聯(lián)立可得到方程其中除外其余各量均已知, 因此這是關(guān)于的五次
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