【文章內容簡介】 景，也應該能夠發(fā)揮關鍵性的作用，同時也必將對這種技術在我國的推廣和應用起到有力的學位論文 7 推動作用。 本文研究的主要內容 本文首先從數(shù)據(jù)壓縮和圖象編碼技術的基本原理出發(fā)，對小波變換圖象壓縮理論和算法進行了較為系統(tǒng)的研究和一定程度的理解。在此基礎上，詳細分析和闡述了 JPEG2020 圖 象壓縮標準的編碼流程及其核心算法 EBCOT，然后結根據(jù) EBCOT 算法的缺點，提出通過圖象幀間預測的方法，并在實際中進行仿真實驗，結果表明，優(yōu)化后的方法能有效提高編碼效率。 本文主要內容如下： 第二章介紹圖象編碼的基本方法、小波理論和 JPEG2020 原理、組織結構和主要特性； 第三章詳細分析 JPEG2020 的編碼基本框架，通過對其核心算法 EBCOT 深入研究，提出基于圖象幀間預測的優(yōu)化方法； 第四章對討論的內容進行上機實驗并得出結論。 2 圖象編碼理論基礎 圖象編碼的基本方法 圖象壓縮編 碼的過程可以概括為變換、量化、編碼三個步驟。即原始圖象經映射變換后得到變換系數(shù)，變換系數(shù)經過量化，輸出量化后的數(shù)據(jù)，量化得到的數(shù)據(jù)經過編碼后得到更為緊湊的碼流，從而得到壓縮的圖象數(shù)據(jù)，圖象的解碼過程與編碼過程相似，只是執(zhí)行相反的操作即可。 圖象壓縮編碼的研究至今已經有了幾十年的發(fā)展歷程。圖象壓縮編碼技術的研究一直循著兩條主線索不斷展開：一是對圖象信源特性的不斷認識；二是對人類視覺系統(tǒng)特性的不斷認識。對兩方面的不斷深入研究，推動著圖象壓縮編碼技術的進步。 經典的圖象壓縮編碼方法基于 Shannon 信息論 ，其中最基本的熵編碼、預測編碼和變換編碼理論就產生發(fā)展與 20 世紀五六十年代并且影響至今，在目前已知的圖象壓縮編碼的國際標準中，仍然被普遍使用。 熵編碼的基本原理是給出現(xiàn)概率較大的符號分配短碼字，給出現(xiàn)概率較小的符號分配一個長碼字，這樣是最終的平均碼長最短。一個經過精心設計的熵編碼器，其輸出的平均碼長可以接近信源的信息熵，即碼長的下限。常用的熵編碼有霍夫曼編碼 (Huffman coding)、游程編碼 (RLC， runlength coding)與算術編碼(arithmetic coding)等。 預 測編碼是對統(tǒng)計冗余進行壓縮，圖象數(shù)據(jù)中相鄰像素之間存在很強的相關性，去除相關性可以大大簡化圖象的數(shù)據(jù)表示。一個像素可以由與其相鄰并且己經編碼的像素進行預測，最后編碼傳輸?shù)臄?shù)據(jù)是量化后的差值，在此基礎上人們提出了以差分脈沖編碼調制 (DPCM)為代表的各種預測編碼方法。 學位論文 8 變換編碼的基本思想是通過變換來消除圖象中存在的高度相關性，首先對空域作線性變換得到一組變換系數(shù)，然后對這組系數(shù)進行量化、編碼和傳輸。典型的變換有離散余弦變換 (DCT)、 KL 變換等。 小波變換編碼是近年來隨著小波分析的研究提出的一種具 有很好發(fā)展前景的圖象編碼方法，它是在數(shù)學界和工程界共同研究數(shù)據(jù)表示技術的過程中發(fā)展起來的。小波變換用于圖象編碼的基本思想就是把圖象進行多分辨率分解，分解成不同空間、不同頻率的子圖象，然后再對子圖象進行系數(shù)編碼。小波變換繼承并發(fā)展了傅里葉變換，小波變換具有很好的時頻或空頻局部特性，特別適合按照人眼視覺系統(tǒng)特性設計圖象編碼方案，也非常有利于圖象信號的分層傳輸。因此，基于小波變換的圖象壓縮方案在靜態(tài)和動態(tài)圖象壓縮領域得到廣泛的應用，小波變換編碼正在逐漸被 JPEG20 MPEG4 等國際圖象編碼標準所采納，己經 成為當前圖象、視頻壓縮的研究熱點。 小波理論基礎 近年來多媒體數(shù)據(jù)壓縮方法一直是研究的熱點，而享有數(shù)學“顯微鏡”美稱的小波變換 (WT, Wavelet Transform)，以其多尺度時間 — 頻率分辨的能力，一直備受關注。它能有效地在時 /頻域內表征圖象中的非平穩(wěn)信號，為多分辨率分析與子帶分解技術提供了一個統(tǒng)一的理論框架。通過選取適合的小波基，將圖象信號分解成不同分辨率、不同方向的子帶，并使能量集中在低頻子帶，特別適合按照人類視覺系統(tǒng)特性設計圖象壓縮編碼方案，也非常有利于圖象的分層傳輸；另一方面，由于它 能有效克服傅立葉變換的所產生的方塊效應及蚊式噪聲。因此，基于小波分解的圖象壓縮技術越來越受到人們的關注。 小波函數(shù) 小波變換是一種窗口大小 (即窗口面積 )固定但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。 首先給出小波函數(shù)的數(shù)學定義： 定義：滿足條件： ? ? 2?cd??? ??????? ? ??? ???????????? （ 2－ 1） 的平方的可積函數(shù) ??t? （既 ? ? ? ?2 ,tL? ? ?? ??）可稱為基本小波或母函數(shù) (Mother Wavelet Function )。令 1abtbaa ?? ???? ???? ?????????????? （ 2－ 2） 其中 a、 b 為實數(shù)，而且 a ? 0，稱為由母函數(shù) ? 生成的依賴于參數(shù) a、 b 的連續(xù)小波，設 ? ? ? ?2 ,f t L? ?? ??，定義其小波變換 為： 學位論文 9 ? ? ? ?1,f ab tbw a b f f t dtaa??????????? ? ? ? ????? ?????? （ 2－ 3） 由上面的定義可見，連續(xù)的小波 ??abt? 的作用與 Gabor 變換中的函數(shù) ? ? itg t e ?? ??相類似。參數(shù) b 與參數(shù) ? 都起著平移作用。本質的不同是參數(shù) a 與參數(shù) ? ，后者的變化不改變“窗口” ??gt的 大小與形狀，而前者的變化不僅僅改變連續(xù)小波的頻譜結構，而 ??abt? 的寬度則越來越小，這就滿足了信號頻率高時相應的窗口應該小，因而它的時間域上的分辨率亦高的要求。 離散小波變換 在連續(xù)小波變換中，伸縮參數(shù)和平移參數(shù)連續(xù)取值，連續(xù)小波變換主要用于理論分析，在實際應用中離散小波變換更適用于計算機的處理。離散小波的定義可以由下面式子表示： ? ? ? ?00 2, 0 0 0001 mm mmnmmt nb at a a t nbaa? ? ?? ????? ? ????? ?????? （ 2－ 4） 相應的離散小波變換可 以由下面的式子定義： ? ? ? ? ? ? ? ?22, 0 , 0 0 0,mm mm n m nf a f t t d t a f t a t n b d t? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ?? （ 2－ 5） 多分辨分析 (MRA) MRA 的概念最早是由 Meyer 和 Mallat 引入的，后來又由 Mallat 創(chuàng)造性地將 MRA 理論用于小波分解與重構的算法構造上。多分辨分析的思想方法為：先從 2L 的某個子空間出發(fā)，建立這個子空間的基底，然后利用極其簡單的變換，再把基底擴充到 2L 中去。從而得到空間 2L 的基底。首先引入 MRA 的定 義： 空間 2()LR中的多分辨分析是指 2()LR中滿足如下條件的一個空間序列? ?j jZV ? ： (1) 一致單調形： 10VV????? ? ? ??? ； (2) 漸進完全性： ? ? ? ?20,jjj Z j ZV V L R????； (3) 伸縮性規(guī)則性： ? ? ? ? 12,jjf t V f t V j Z?? ? ? ? ?； (4) 平移不變性： ? ? ? ?00 ,f x V f x k V j Z? ? ? ? ?； 學位論文 10 (5) Riesz 基存在性：存在 0gV? ，使得 ? ?? ?g x k f z??構成 0V 的 Riesz 基； 對于條件 (5)，可以通過正交化的方法，找到小波變換母函數(shù) ? ? 0xV? ? ，使得 ? ?? ?,x k k Z? ??構成空間 0V 的正交基，并稱 ??x? 為尺度函數(shù) (Scaling Function)。由條件 (4)和 (5)知， ? ?? ?,x k k Z? ??構成閉子空間 jV 的規(guī)范正交基，其中 ? ? ? ?2, 22j jjk x x k???? ? ?,j k Z? 。 (6) 直和性： 11j j jV V W????。 如果 jP 和 jQ 分別表示為空間 jV 和 jW 上的正交算子，那么任意一個函數(shù) ()ft在 ? ?2LR的子空間 jV 和 jW 中的近似表示為： ? ? ,j j k j kkZP f t f ???? ? ?? ， ? ? ,j j k j kkZQ f t f ???? ? ?? ??? .（ 2－ 6） 這時直和性質可用正交投影算子表示為： ? ? ? ? ? ?1j j jP f t P f t Q f t? ?? ???????????? （ 2－ 7） 按照直和性，我們可以得到： 0 1 1 2 2 1 3 3 2 1V V W V W W V W W W? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 2－ 8） 如圖 2－ 1 所示。 小波子空間 ? ?jW j Z?列具有下列性質： (1) ? ? ? ?12 jjjf t W f t k W ?? ? ? ? ,jk Z? ； (2) ? ? ? ? 12jjf t W f t W ?? ? ? jZ? ； (3) 當 j?? ，對任意 ? ?2f L R? 和 jV 一樣，我們希望找出一個確定的函數(shù)? ? 0tW? ? ，使得每個 jZ? ，函數(shù)系 ? ?? ?,jkt? 構成空間 ? ?jW j Z? 的正交規(guī)范基。 圖 2－ 1 尺度空間分解 學位論文 11 若令 jjfV? 代表分辨率為 2 的函數(shù) ? ?2f L R? 的逼近 (即函數(shù) f 的低頻部分或粗糙部分 )而 d 代表逼近的誤差 (即函數(shù) f 的高頻部分或細節(jié)部分 )則意味著存在： 0 1 1 2 2 1 3 3 2 1f f d f d d f d d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? （ 2－ 9） 這表明了任何函 數(shù) ? ?2f L R? 都可以根據(jù)分辨率為 2N? 時 f 的低頻部分和分辨率 ? ?2 j t j N? ?? 下 f 的高頻部分 (“細節(jié)”部分 )完全重構，這恰好是著名 Mallat塔式重構算法的思想。 Mallat 算法 Meyer 于 1986 年創(chuàng)造性地構造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進制伸縮與平移構成 ? ?2LR的規(guī)范正交基，使小波得到了真正的發(fā)展。 1988 年， 在構造正交小波基的同時提出了多分辨分析 (MultiResolution Analysis)的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構造方法以及正交小波變換的快速算法，即 Mallat 算法。 Mallat 算法在小波分析中的地位相當于快速博里葉變換算法在經典傅里葉分析中的地位。 Mallat 算法可以通過調節(jié)尺度因子實施對信號由細到粗的重構，以下給出 Mallat 分解重構算法的相關理論。 設信號函數(shù)為 ??fx，則在尺度 2j 下所平滑信號 2jdAf為： ? ? ? ? ? ? ? ?2,2 , 2 2jjdjjkA f f x x f x x k d x??? ? ?? ?????? （ 2－ 10） 在尺度 2j 下的細節(jié)信號 2jdDf為： ? ? ? ? ? ? ? ?2,2 , 2 2jjdjjkD f f x x f x x k d x??? ? ?? ?????? （ 2－ 11） 信號 ??fx分解的過程是從 12j? 尺度到 2j 的逐步分解的過程，即對信號 ??fx分辨率高到分辨率低的過程，具體是將12jdAf?分解為 2jdAf和 2jdDf，即如下公式： ? ?? ? 122122ddjjkZkZA f h k n A fD f g k n A f???????????? ??? ??????????? （ 2－ 12） 上式是個遞推公式，若設原始信號 ? ? 0f x V? 即 ? ?02df x A f?，則上式的迭代次數(shù)為 1Jj? ? ?? ，即將0d2Af分解為 ? ?? ?022 1, jdd JjA f D f ? ? ??，則： 學位論文 12 ? ?0221jjJd d ds jf x A f A f D f? ??? ? ? ? ????????? （ 2－ 13） 一般情況下 ，取 J＝ 5 或 6 即可。 由 2jdAf和 2jdDf又可重構12jdAf? ? ? ? ?112 2 222jjd d dA f h n k A f g n k D f? ? ? ? ??? ?????? （ 2－ 14） 公式（ 2－ 12）、（ 2－ 14）所示的迭代算法就是一維情形下 Mallat 分解重構算法。 為了將 Mallat 算法應用于圖象壓縮領域，須擴展到二維空間。一個簡單而有效的特殊二維正交表示方法就是二維可分離模型，即將二維圖 象信號的小波變換分解成 x 和 y 兩個方向的一維小波變換，此時二維尺度函數(shù)可以表示兩個一維尺度函數(shù)的乘積： ? ? ? ? ? ?,x y x y? ? ?? 。 令 ??x? 是 ??x? 相對應的一維小波函數(shù)，則對應的二維小波函數(shù)有三個： ? ? ? ? ? ?1 ,x y x y? ? ?? ??????????????? （ 2－ 15） ? ? ? ? ? ?2 ,x y x y? ? ?? ??????????????? （ 2－ 16） ? ? ? ? ? ?3 ,x y x y? ? ?? ??????????????? （ 2－ 17） 與一維小波表示類似，二維圖象信號可以由一個平滑信號和若干細節(jié)信號來表示。二維的小波分解重構算法與一維算法相類似，只是在迭代算法中，每次將12jdAf?分解為四部分（一維是兩個部分）： 1 2 32222,jjjjdA f D f D f D f。具體方法為：首先將 2jdAf的每一行與一維濾波器做運算（相卷積），然后再 將得到的數(shù)據(jù)的每一列于另一個濾波器做運算（相卷積）。 二維的小波分解重構算法如圖 2－ 2 所示。其中 G、 H、 G 、 H 分別為低通、高通濾波器和它們的時序反轉。 嵌入式零樹小波編碼算法（ EZW） 隨著互聯(lián)網的普及和圖象應用范圍的不斷擴大，對圖象的編碼提出了新的要求，即不僅要求具有高的壓縮比，還要求有許多新的功能，如漸進編解碼、從有損壓縮到無損壓縮、感興趣區(qū)域編碼等。嵌入式零樹小波編碼較好地實現(xiàn)了這些思想， 因而奠定了它在圖象編碼中的地位。零樹小波編碼的成功之處在于合理地利用了零值小波系數(shù)具有零樹結構，使得大量的樹結構的零系數(shù)只用一個零樹根符號來表示，從而其編碼效率大大超過了基于 DCT 變換的 JPEG