【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）將代入化簡(jiǎn)得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）當(dāng)a≥1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)y39。＞0，所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增x∈（1，a）時(shí)y39。＜0，所以函數(shù)在（1，a）上單調(diào)遞減促銷(xiāo)費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）當(dāng)a＜1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在（0，1）上單調(diào)遞增在[0，a]上單調(diào)遞增，所以x=a時(shí)，函數(shù)有最大值．即促銷(xiāo)費(fèi)用投入a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入1萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大；當(dāng)a＜1時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入a萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（注：當(dāng)a≥1時(shí)，也可：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．　5．（2016?河西區(qū)二模）某公司生產(chǎn)甲，乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品利潤(rùn)300元，每桶乙產(chǎn)品利潤(rùn)400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過(guò)12千克．那么該公司每天如何生產(chǎn)獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（作出圖象）【分析】根據(jù)題設(shè)中的條件可設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，根據(jù)題設(shè)條件得出線性約束條件以及目標(biāo)函數(shù)求出利潤(rùn)的最大值即可．【解答】解：設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為x桶，y桶，利潤(rùn)為z元?jiǎng)t根據(jù)題意可得，z=300x+400y作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示作直線L：3x+4y=0，然后把直線向可行域平移，由可得x=y=4，此時(shí)z最大z=2800．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用線性規(guī)劃知識(shí)求利潤(rùn)的最大值，這是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的一個(gè)重要運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出目標(biāo)函數(shù)及約束條件．　6．（2016?南通模擬）某生物探測(cè)器在水中逆流行進(jìn)時(shí)，所消耗的能量為E=cvnT，其中v為進(jìn)行時(shí)相對(duì)于水的速度，T為行進(jìn)時(shí)的時(shí)間（單位：h），c為常數(shù)，n為能量次級(jí)數(shù)，如果水的速度為4km/h，該生物探測(cè)器在水中逆流行進(jìn)200km．（1）求T關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式；（2）①當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為2時(shí)，求探測(cè)器消耗的最少能量；②當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為3時(shí)，試確定v的大小，使該探測(cè)器消耗的能量最少．【分析】（1）分別求出探測(cè)器相對(duì)于河岸的速度，建立條件即可即可求T關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式；（2）①當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為2時(shí)，利用分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解．②當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為3時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．【解答】解：（1）由題意得，該探測(cè)器相對(duì)于河岸的速度為，又該探測(cè)器相對(duì)于河岸的速度比相對(duì)于水的速度小于4km/h，即為v﹣4，則=v﹣4，即T=，（v＞4）；（2）①當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為2時(shí)，由（1）知，v＞4，E=200c=200c=200c?[（v﹣4）++8]≥200c[2+8]=3200c，當(dāng)且僅當(dāng)v﹣4=，即v=8km/h時(shí)取等號(hào)，②當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為3時(shí)，由（1）知，E=200c?，v＞4，則E′=200c?，由E′=0，解得v=6，即當(dāng)v＜6時(shí)，E′＜0，當(dāng)v＞6時(shí)，E′＞0，即當(dāng)v=6時(shí)，函數(shù)E取得最小值為E=21600C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，以及利用基本不等式和導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．　7．（2016?閔行區(qū)一模）某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路ll2，海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段．為開(kāi)發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道AB，且直線AB與曲線MPN有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P（即直線與曲線相切），如圖所示．若曲線段MPN是函數(shù)圖象的一段，點(diǎn)M到ll2的距離分別為8千米和1千米，點(diǎn)N到l2的距離為10千米，點(diǎn)P到l2的距離為2千米．以ll2分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．（1）求曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；（2）求直線AB的方程，并求出公路AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1米）．【分析】（1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式為，可得其定義域；（2）根據(jù)直線和曲線相切，利用判別式△=0進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式為，又得，所以定義域?yàn)閇1，10]．（2）由（1）知P（2，4），設(shè)直線方程為y﹣4=k（x﹣2），聯(lián)立方程，得kx2+2（2﹣k）x﹣8=0，由判別式△=0得4（2﹣k）2+32k=4（k+2）2=0，得k=﹣2，即直線AB的方程為y=﹣2x+8，當(dāng)x=0時(shí)，y=8，當(dāng)y=0時(shí)，x=4，即A（0，8），B（4，0），則AB==4≈8944米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵．　8．（2016?鎮(zhèn)江一模）某自來(lái)水廠的蓄水池存有400噸水，水廠每小時(shí)可向蓄水池中注水60噸，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，t小時(shí)內(nèi)供水總量為噸，（0≤t≤24）（1）從供水開(kāi)始到第幾小時(shí)時(shí)，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少?lài)?？?）若蓄水池中水量少于80噸時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，請(qǐng)問(wèn)：在一天的24小時(shí)內(nèi)，有幾小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象．【分析】（1）根據(jù)題意先設(shè)t小時(shí)后，蓄水池中的存水量為y噸．寫(xiě)出蓄水池中的存水量的函數(shù)表達(dá)式，再利用換元法求此函數(shù)的最小值即得；（2）先由題意得：y≤80時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張．由此建立關(guān)于x的不等關(guān)系，最后解此不等式即得一天中會(huì)有多少小時(shí)出現(xiàn)這種供水緊張的現(xiàn)象．【解答】解：（1）設(shè)t小時(shí)后蓄水池中的水量為y噸，則； （3分）令=x；則x2=6t，即y=400+10x2﹣120x=10（x﹣6）2+40；（5分）∴當(dāng)x=6，即t=6時(shí)，ymin=40，即從供水開(kāi)始到第6小時(shí)時(shí)，蓄水池水量最少，只有40噸．（8分）（2）依題意400+10x2﹣120x＜80，得x2﹣12x+32＜0（11分）解得，4＜x＜8，即，；即由，所以每天約有8小時(shí)供水緊張．（14分）【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于基礎(chǔ)題．　9．（2016?江蘇模擬）某公司經(jīng)銷(xiāo)某產(chǎn)品，第x天（1≤x≤30，x∈N*）的銷(xiāo)售價(jià)格為p=a+|x﹣20|（a為常數(shù)）（元∕件），第x天的銷(xiāo)售量為q=50﹣|x﹣16|（件），且公司在第18天該產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入為2016元．（1）求該公司在第20天該產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入是多少？（2）這30天中該公司在哪一天該產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入最大？最大收入為多少？【分析】（1）設(shè)第x天的銷(xiāo)售收入為Wx，先求出第18天的銷(xiāo)售價(jià)格p與銷(xiāo)售量q，得第18天的銷(xiāo)售收入W18=pq=2016，可得a的值，從而求得第20天的銷(xiāo)售收入W20=p20?q20；（2）根據(jù)Wx=pq=（a+|x﹣20|）（50﹣|x﹣16|），去掉絕對(duì)值，分別在1≤x≤16時(shí)，17≤x≤20時(shí)，21≤x≤30時(shí)求得函數(shù)Wx的最大值，并通過(guò)比較得出，第幾天該公司的銷(xiāo)售收入最大．【解答】解：（1）設(shè)第x天的銷(xiāo)售收入為Wx，∵第18天的銷(xiāo)售價(jià)格p=a+|18﹣20|=a+|18﹣20|=a+2，銷(xiāo)售量q=50﹣|18﹣16|=48，∴第18天的銷(xiāo)售收入W18=pq=48（a+2）=2016（元），解得：a=40，∴p=40+|x﹣20|，q=50﹣|x﹣16|，∴第20天的銷(xiāo)售收入為W20=p20?q20=4046=1840（元）；（2）設(shè)第x天的銷(xiāo)售收入為Wx，當(dāng)1≤x≤16時(shí)，Wx=（60﹣x）（34+x）≤=2209（當(dāng)且僅當(dāng)x=13時(shí)取等號(hào)），∴當(dāng)x=13時(shí)有最大值W13=2209；當(dāng)17≤x≤20時(shí)，Wx=（60﹣x）（56﹣x）=x2﹣116x+3360=（x﹣58）2﹣4，∴當(dāng)x=17時(shí)有最大值W17=1677；當(dāng)21≤x≤30時(shí)，Wx=（x+20）（56﹣x）=﹣x2+36x+1120=﹣（x﹣18）2+1444，∴當(dāng)x=21時(shí)有最大值W21=1435；由于W13＞W(wǎng)21＞W(wǎng)17，所以，第13天該公司的銷(xiāo)售收入最大，最大值為2209元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含有絕對(duì)值的函數(shù)模型的應(yīng)用；含有絕對(duì)值的函數(shù)，通常轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)解答，本題是中檔題目．　10．（2016?閘北區(qū)二模）某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷(xiāo)售量P萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等）與促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元滿(mǎn)足P=（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本6（P+）萬(wàn)元（不含促銷(xiāo)費(fèi)用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為（4+）元/件．（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；（2）促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大？【分析】（1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤(rùn)=銷(xiāo)售額﹣產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，y=（4+）p﹣x﹣6（p+），將p=代入化簡(jiǎn)得：y=19﹣﹣x（0≤x≤a）；（Ⅱ）y=22﹣（+x+2）≤22﹣3=10，當(dāng)且僅當(dāng)=x+2，即x=2時(shí)，上式取等號(hào)；當(dāng)a≥2時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入2萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大；y=19﹣﹣x，y′=﹣，∴a＜2時(shí)，函數(shù)在[0，a]上單調(diào)遞增，∴x=a時(shí)，函數(shù)有最大值．即促銷(xiāo)費(fèi)用投入a萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．　11．（2016?松江區(qū)一模）在一次水下考古活動(dòng)中，潛水員需潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè)．其用氧量包含以下三個(gè)方面：①下潛時(shí)，平均速度為每分鐘x米，每分鐘的用氧量為升；②水底作業(yè)需要10分鐘，；③返回水面時(shí)，速度為每分鐘米，；設(shè)潛水員在此次考古活動(dòng)中的總用氧量為y升．（1）將y表示為x的函數(shù)；（1）若x∈[4，8]，求總用氧量y的取值范圍．【分析】（1）通過(guò)速度、時(shí)間與路程之間的關(guān)系可知下潛所需時(shí)間為分鐘、返回所需時(shí)間為分鐘，進(jìn)而列式可得結(jié)論；（2）通過(guò)基本不等式可知及x∈[4，8]可知在[4，6]上單調(diào)遞減、在[6，8]上單調(diào)遞增，比較當(dāng)x=8時(shí)的取值情況即得結(jié)論．【解答】解：（1）依題意，下潛所需時(shí)間為分鐘；返回所需時(shí)間為分鐘，∴，整理得：（x＞0）；（2）由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)即x=6時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閤∈[4，8]，所以在[4，6]上單調(diào)遞減、在[6，8]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=6時(shí)，y取最小值7，又因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí)；當(dāng)x=8時(shí)，所以y的取值范圍是：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．　12．（2016?上海校級(jí)模擬）某公司經(jīng)過(guò)測(cè)算投資x百萬(wàn)元，投資項(xiàng)目A與產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益y之間滿(mǎn)足：y=f（x）=﹣+2x+12，投資項(xiàng)目B產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益y之間滿(mǎn)足：y=h（x）=﹣+4x+1．（1）現(xiàn)公司共有1千萬(wàn)資金可供投資，應(yīng)如何分配資金使得投資收益總額最大？（2）投資邊際效應(yīng)函數(shù)F（x）=f（x+1）﹣f（x），當(dāng)邊際值小于0時(shí)，不建議投資，則應(yīng)如何分配投資？【分析】（1）確定函數(shù)的解析式，利用配方法，得出結(jié)論；（2）利用投資邊際效應(yīng)函數(shù)F（x）=f（x+1）﹣f（x）≥0，解不等式可得結(jié)論．【解答】解：（1），即投資A項(xiàng)目4百萬(wàn)，投資B項(xiàng)目6百萬(wàn)，收益總額最大．（2），解得，投資A項(xiàng)目350萬(wàn)元，同理可得，應(yīng)投資B項(xiàng)目550萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．　13．（2016?普陀區(qū)二模）某企業(yè)參加A項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為1000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元．根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要，從A項(xiàng)目中調(diào)出x人參與B項(xiàng)目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤(rùn)10（a﹣）萬(wàn)元（a＞0），%．（1）若要保證A項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)出多少人參加B項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作？（2）在（1）的條件下，當(dāng)從A項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過(guò)總?cè)藬?shù)的40%時(shí)，才能使得A項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意，列出不等式10（1000﹣x）（1+%）≥101000，求解即可；（2）求出x的范圍，得出不等式10（a﹣ ）x≤10（1000﹣x）（1+%），整理可得a≤++1恒成立，根據(jù)x的范圍，可知在定義域內(nèi)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x=400時(shí)，函數(shù)取得最小值．【解答】解：設(shè)調(diào)出x人參加B項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作（1）由題意得：10（1000﹣x）（1+%）≥101000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè)．（2）由題知，0＜x≤400，從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)為10（a﹣）x萬(wàn)元，從事原來(lái)產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤(rùn)為10（1000﹣x）（1+x）萬(wàn)元，則10（a﹣ ）x≤10（1000﹣x）（1+%）所以ax﹣≤1000+2x﹣x﹣ x2，所以ax≤+1000+x，即a≤++1恒成立，因?yàn)?0＜x≤400，∴++1≥++1=，所以a≤，又a＞0，所以0＜a≤，即a的取值范圍為（0，]． 【點(diǎn)評(píng)】考查了利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題，難點(diǎn)是建立不等式關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值．　14．（2016?山東模擬）已