【文章內容簡介】 （Ⅱ）利用導數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號成立的條件．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）將代入化簡得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）當a≥1時，x∈（0，1）時y39。＞0，所以函數(shù)在（0，1）上單調遞增x∈（1，a）時y39。＜0，所以函數(shù)在（1，a）上單調遞減促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）當a＜1時，因為函數(shù)在（0，1）上單調遞增在[0，a]上單調遞增，所以x=a時，函數(shù)有最大值．即促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大．綜上，當a≥1時，促銷費用投入1萬元，廠家的利潤最大；當a＜1時，促銷費用投入a萬元，廠家的利潤最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（注：當a≥1時，也可：，當且僅當時，上式取等號）【點評】本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．　5．（2016?河西區(qū)二模）某公司生產(chǎn)甲，乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品利潤300元，每桶乙產(chǎn)品利潤400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．那么該公司每天如何生產(chǎn)獲得利潤最大？最大利潤是多少？（作出圖象）【分析】根據(jù)題設中的條件可設每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，根據(jù)題設條件得出線性約束條件以及目標函數(shù)求出利潤的最大值即可．【解答】解：設分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為x桶，y桶，利潤為z元則根據(jù)題意可得，z=300x+400y作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示作直線L：3x+4y=0，然后把直線向可行域平移，由可得x=y=4，此時z最大z=2800．【點評】本題考查用線性規(guī)劃知識求利潤的最大值，這是簡單線性規(guī)劃的一個重要運用，解題的關鍵是準確求出目標函數(shù)及約束條件．　6．（2016?南通模擬）某生物探測器在水中逆流行進時，所消耗的能量為E=cvnT，其中v為進行時相對于水的速度，T為行進時的時間（單位：h），c為常數(shù)，n為能量次級數(shù)，如果水的速度為4km/h，該生物探測器在水中逆流行進200km．（1）求T關于v的函數(shù)關系式；（2）①當能量次級數(shù)為2時，求探測器消耗的最少能量；②當能量次級數(shù)為3時，試確定v的大小，使該探測器消耗的能量最少．【分析】（1）分別求出探測器相對于河岸的速度，建立條件即可即可求T關于v的函數(shù)關系式；（2）①當能量次級數(shù)為2時，利用分式函數(shù)的性質結合基本不等式進行求解．②當能量次級數(shù)為3時，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可．【解答】解：（1）由題意得，該探測器相對于河岸的速度為，又該探測器相對于河岸的速度比相對于水的速度小于4km/h，即為v﹣4，則=v﹣4，即T=，（v＞4）；（2）①當能量次級數(shù)為2時，由（1）知，v＞4，E=200c=200c=200c?[（v﹣4）++8]≥200c[2+8]=3200c，當且僅當v﹣4=，即v=8km/h時取等號，②當能量次級數(shù)為3時，由（1）知，E=200c?，v＞4，則E′=200c?，由E′=0，解得v=6，即當v＜6時，E′＜0，當v＞6時，E′＞0，即當v=6時，函數(shù)E取得最小值為E=21600C．【點評】本題主要考查函數(shù)的應用問題，以及利用基本不等式和導數(shù)求解函數(shù)的最值，考查學生的運算能力．　7．（2016?閔行區(qū)一模）某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路ll2，海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段．為開發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道AB，且直線AB與曲線MPN有且僅有一個公共點P（即直線與曲線相切），如圖所示．若曲線段MPN是函數(shù)圖象的一段，點M到ll2的距離分別為8千米和1千米，點N到l2的距離為10千米，點P到l2的距離為2千米．以ll2分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系xOy．（1）求曲線段MPN的函數(shù)關系式，并指出其定義域；（2）求直線AB的方程，并求出公路AB的長度（結果精確到1米）．【分析】（1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數(shù)關系式為，可得其定義域；（2）根據(jù)直線和曲線相切，利用判別式△=0進行求解即可．【解答】解：（1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數(shù)關系式為，又得，所以定義域為[1，10]．（2）由（1）知P（2，4），設直線方程為y﹣4=k（x﹣2），聯(lián)立方程，得kx2+2（2﹣k）x﹣8=0，由判別式△=0得4（2﹣k）2+32k=4（k+2）2=0，得k=﹣2，即直線AB的方程為y=﹣2x+8，當x=0時，y=8，當y=0時，x=4，即A（0，8），B（4，0），則AB==4≈8944米．【點評】本題考查函數(shù)的應用問題，利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生分析解決問題的能力，確定函數(shù)關系是關鍵．　8．（2016?鎮(zhèn)江一模）某自來水廠的蓄水池存有400噸水，水廠每小時可向蓄水池中注水60噸，同時蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，t小時內供水總量為噸，（0≤t≤24）（1）從供水開始到第幾小時時，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少噸？（2）若蓄水池中水量少于80噸時，就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，請問：在一天的24小時內，有幾小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象．【分析】（1）根據(jù)題意先設t小時后，蓄水池中的存水量為y噸．寫出蓄水池中的存水量的函數(shù)表達式，再利用換元法求此函數(shù)的最小值即得；（2）先由題意得：y≤80時，就會出現(xiàn)供水緊張．由此建立關于x的不等關系，最后解此不等式即得一天中會有多少小時出現(xiàn)這種供水緊張的現(xiàn)象．【解答】解：（1）設t小時后蓄水池中的水量為y噸，則； （3分）令=x；則x2=6t，即y=400+10x2﹣120x=10（x﹣6）2+40；（5分）∴當x=6，即t=6時，ymin=40，即從供水開始到第6小時時，蓄水池水量最少，只有40噸．（8分）（2）依題意400+10x2﹣120x＜80，得x2﹣12x+32＜0（11分）解得，4＜x＜8，即，；即由，所以每天約有8小時供水緊張．（14分）【點評】本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型；（3）利用數(shù)學的方法，得到數(shù)學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數(shù)學模型．屬于基礎題．　9．（2016?江蘇模擬）某公司經(jīng)銷某產(chǎn)品，第x天（1≤x≤30，x∈N*）的銷售價格為p=a+|x﹣20|（a為常數(shù)）（元∕件），第x天的銷售量為q=50﹣|x﹣16|（件），且公司在第18天該產(chǎn)品的銷售收入為2016元．（1）求該公司在第20天該產(chǎn)品的銷售收入是多少？（2）這30天中該公司在哪一天該產(chǎn)品的銷售收入最大？最大收入為多少？【分析】（1）設第x天的銷售收入為Wx，先求出第18天的銷售價格p與銷售量q，得第18天的銷售收入W18=pq=2016，可得a的值，從而求得第20天的銷售收入W20=p20?q20；（2）根據(jù)Wx=pq=（a+|x﹣20|）（50﹣|x﹣16|），去掉絕對值，分別在1≤x≤16時，17≤x≤20時，21≤x≤30時求得函數(shù)Wx的最大值，并通過比較得出，第幾天該公司的銷售收入最大．【解答】解：（1）設第x天的銷售收入為Wx，∵第18天的銷售價格p=a+|18﹣20|=a+|18﹣20|=a+2，銷售量q=50﹣|18﹣16|=48，∴第18天的銷售收入W18=pq=48（a+2）=2016（元），解得：a=40，∴p=40+|x﹣20|，q=50﹣|x﹣16|，∴第20天的銷售收入為W20=p20?q20=4046=1840（元）；（2）設第x天的銷售收入為Wx，當1≤x≤16時，Wx=（60﹣x）（34+x）≤=2209（當且僅當x=13時取等號），∴當x=13時有最大值W13=2209；當17≤x≤20時，Wx=（60﹣x）（56﹣x）=x2﹣116x+3360=（x﹣58）2﹣4，∴當x=17時有最大值W17=1677；當21≤x≤30時，Wx=（x+20）（56﹣x）=﹣x2+36x+1120=﹣（x﹣18）2+1444，∴當x=21時有最大值W21=1435；由于W13＞W(wǎng)21＞W(wǎng)17，所以，第13天該公司的銷售收入最大，最大值為2209元．【點評】本題考查了含有絕對值的函數(shù)模型的應用；含有絕對值的函數(shù)，通常轉化為分段函數(shù)來解答，本題是中檔題目．　10．（2016?閘北區(qū)二模）某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量P萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足P=（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本6（P+）萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為（4+）元/件．（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；（2）促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？【分析】（1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤=銷售額﹣產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關系；（2）利用導數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號成立的條件．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，y=（4+）p﹣x﹣6（p+），將p=代入化簡得：y=19﹣﹣x（0≤x≤a）；（Ⅱ）y=22﹣（+x+2）≤22﹣3=10，當且僅當=x+2，即x=2時，上式取等號；當a≥2時，促銷費用投入2萬元時，該公司的利潤最大；y=19﹣﹣x，y′=﹣，∴a＜2時，函數(shù)在[0，a]上單調遞增，∴x=a時，函數(shù)有最大值．即促銷費用投入a萬元時，該公司的利潤最大．【點評】本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．　11．（2016?松江區(qū)一模）在一次水下考古活動中，潛水員需潛入水深為30米的水底進行作業(yè)．其用氧量包含以下三個方面：①下潛時，平均速度為每分鐘x米，每分鐘的用氧量為升；②水底作業(yè)需要10分鐘，；③返回水面時，速度為每分鐘米，；設潛水員在此次考古活動中的總用氧量為y升．（1）將y表示為x的函數(shù)；（1）若x∈[4，8]，求總用氧量y的取值范圍．【分析】（1）通過速度、時間與路程之間的關系可知下潛所需時間為分鐘、返回所需時間為分鐘，進而列式可得結論；（2）通過基本不等式可知及x∈[4，8]可知在[4，6]上單調遞減、在[6，8]上單調遞增，比較當x=8時的取值情況即得結論．【解答】解：（1）依題意，下潛所需時間為分鐘；返回所需時間為分鐘，∴，整理得：（x＞0）；（2）由基本不等式可知，當且僅當即x=6時取等號，因為x∈[4，8]，所以在[4，6]上單調遞減、在[6，8]上單調遞增，所以當x=6時，y取最小值7，又因為當x=4時；當x=8時，所以y的取值范圍是：．【點評】本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．　12．（2016?上海校級模擬）某公司經(jīng)過測算投資x百萬元，投資項目A與產(chǎn)生的經(jīng)濟效益y之間滿足：y=f（x）=﹣+2x+12，投資項目B產(chǎn)生的經(jīng)濟效益y之間滿足：y=h（x）=﹣+4x+1．（1）現(xiàn)公司共有1千萬資金可供投資，應如何分配資金使得投資收益總額最大？（2）投資邊際效應函數(shù)F（x）=f（x+1）﹣f（x），當邊際值小于0時，不建議投資，則應如何分配投資？【分析】（1）確定函數(shù)的解析式，利用配方法，得出結論；（2）利用投資邊際效應函數(shù)F（x）=f（x+1）﹣f（x）≥0，解不等式可得結論．【解答】解：（1），即投資A項目4百萬，投資B項目6百萬，收益總額最大．（2），解得，投資A項目350萬元，同理可得，應投資B項目550萬元．【點評】本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實際中的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．　13．（2016?普陀區(qū)二模）某企業(yè)參加A項目生產(chǎn)的工人為1000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．根據(jù)現(xiàn)實的需要，從A項目中調出x人參與B項目的售后服務工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤10（a﹣）萬元（a＞0），%．（1）若要保證A項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調出多少人參加B項目從事售后服務工作？（2）在（1）的條件下，當從A項目調出的人數(shù)不能超過總人數(shù)的40%時，才能使得A項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意，列出不等式10（1000﹣x）（1+%）≥101000，求解即可；（2）求出x的范圍，得出不等式10（a﹣ ）x≤10（1000﹣x）（1+%），整理可得a≤++1恒成立，根據(jù)x的范圍，可知在定義域內函數(shù)為減函數(shù)，當x=400時，函數(shù)取得最小值．【解答】解：設調出x人參加B項目從事售后服務工作（1）由題意得：10（1000﹣x）（1+%）≥101000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多調整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè)．（2）由題知，0＜x≤400，從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為10（a﹣）x萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為10（1000﹣x）（1+x）萬元，則10（a﹣ ）x≤10（1000﹣x）（1+%）所以ax﹣≤1000+2x﹣x﹣ x2，所以ax≤+1000+x，即a≤++1恒成立，因為 0＜x≤400，∴++1≥++1=，所以a≤，又a＞0，所以0＜a≤，即a的取值范圍為（0，]． 【點評】考查了利用不等式解決實際問題，難點是建立不等式關系，利用函數(shù)單調性求出最值．　14．（2016?山東模擬）已