北京市門頭溝區(qū)20xx年3月高三年級綜合練習數(shù)學試卷理解析版(編輯修改稿)
2025-05-01 03:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，則t1+t2=42，t1t2=8，所以|AB|=|t1t2|=(t1+t2)24t1t2═8．利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義可得．本題考查了簡單曲線的極坐標方程，屬中檔題．13. 已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x+4y)的最值．甲、乙兩位同學分別給出了兩種不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4xy+4yx+8≥18乙：z=(x+2y)(2x+4y)≥22xy?28xy=16①你認為甲、乙兩人解法正確的是______．②請你給出一個類似的利用基本不等式求最值的問題，使甲、乙的解法都正確．【答案】甲【解析】解：①甲正確，乙解法中兩次不等式中取等的條件不相同；②已知x，y∈R+，求z=(a+b)(1a+1b)的最小值．甲：z=(a+b)(1a+1b)=1+ba+ab+1≥4，乙：z=(a+b)(1a+1b)≥2ab?21a?1b=4．故填甲．乙解法中兩次不等式取等條件不同，故乙錯誤．本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，屬中檔題．14. 一半徑為4m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(按逆時針方向)3圈，當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時開始計時，即從圖中點P0開始計算時間．(Ⅰ)當t=5秒時點P離水面的高度______；(Ⅱ)將點P距離水面的高度h(單位：m)表示為時間t(單位：s)的函數(shù)，則此函數(shù)表達式為______．【答案】23+2 h(t)=4sin(π10tπ6)+2【解析】解：(Ⅰ)t=5秒時，水輪轉(zhuǎn)過角度為32π605=π2，在Rt△MOP0中，MP0=1，∴∠MOP0=π6；在，Rt△AON中，∠AON=π3，∴AN=4sinπ3=23，此時點A(P)離開水面的高度為23+2；(Ⅱ)由題意可知，ω=32π60=π10，設(shè)角φ(π2φ0)是以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角，由條件得h(t)=4sin(π10t+φ)+2，其中(π2φ0)；將t=0，h(0)=0代入，得4sinφ+2=0，∴φ=π6；∴所求函數(shù)的解析式為h(t)=4sin(π10tπ6)+2．故答案為：(Ⅰ)23+2，(Ⅱ)h(t)=4sin(π10tπ6)+2．(Ⅰ)根據(jù)題意，利用直角三角形的邊角關(guān)系，即可求出5秒后點P離開水面的距離；(Ⅱ)由題意求出ω的值，然后結(jié)合t=0時z=0求出φ的值，求得函數(shù)的解析式．本題考查了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與應(yīng)用問題，理解函數(shù)解析式中參數(shù)的物理意義，是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共6小題，）15. 在△ABC中，且滿足已知(2ac)cosB=bcosC．(1)求∠B的大??；(l)若△ABC的面積為3，a+c=6，求△ABC的周長．【答案】解：(1)△ABC中，(2ac)cosB=bcosC，由正弦定理可得(2sinAsinC)cosB=sinBcosC，整理可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA，又A為三角形內(nèi)角，sinA0，所以cosB=12，由B為三角形內(nèi)角，可得B=60°；(2)由△ABC的面積為3，即12acsinB=3，所以ac=23sin60°=4，又a+c=6，由余弦定理得b2=a2+c22accosB=(a+c)22ac2accos60°=363ac=3634=24，所以b=26，∴△ABC的周長為a+b+c=6+26．【解析】(1)根據(jù)題意利用正弦定理，再進行三角恒等變換求得cosB的值，從而求出B的值；(2)由△ABC的面積公式，利用余弦定理求得b的值，再求△ABC的周長．本題考查了三角形的正弦、余弦定理和面積公式應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換，以及化簡運算能力，是中檔題．16. 在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”(簡稱“創(chuàng)城”)活動中，教委對本區(qū)A，B，C，D四所高中校按各校人數(shù)分層抽樣調(diào)查，將調(diào)查情況進行整理后制成如表：學校ABCD抽查人數(shù)50151025“創(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)4010915(注：參與率是指：一所學校“創(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值)假設(shè)每名高中學生是否參與“創(chuàng)城”活動是相互獨立的．(Ⅰ)若該區(qū)共2000名高中學生，估計A學校參與“創(chuàng)城”活動的人數(shù)；(Ⅱ)在隨機抽查的100名高中學生中，從A，C兩學校抽出的高中學生中各隨機抽取1名學生，求恰有1人參與“創(chuàng)城”活動的概率；(Ⅲ)若將表中的參與率視為概率，從A學校高中學生中隨機抽取3人，求這3人參與“創(chuàng)城”活動人數(shù)的分布列及數(shù)學期望．【答案】解：(Ⅰ)該區(qū)共2000名高中學生，由分層抽樣性質(zhì)估計A學校參與“創(chuàng)城”活動的人數(shù)為：2000501004050=800．(Ⅱ)設(shè)事件A表示“抽取A校高中學生，且這名學生參與‘創(chuàng)城’活動”，事件C表示“抽取C校高中學生，且這名學生參與‘創(chuàng)城’活動”，則從A，C兩學校抽出的高中學生中各隨機抽取1名學生，恰有1人參與“創(chuàng)城”活動的概率：P=P(AC+AC)=P(A)P(C)+P(A)P(C)=45110+15910=1350．(Ⅲ)將表中的參與率視為概率，從A學校高中學生中隨機抽取3人，這3人參與“創(chuàng)城”活動人數(shù)X～B(3,45)，P(X=0)=C30(15)3=1125，P(X=1)=C31(45)(15)2=12125，
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