基于模擬退火算法的旅行商問題求解(編輯修改稿)
2025-04-21 12:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (s)，其中cost(s)為評價(jià)函數(shù)；(5)若t′0則接受s′作為新的當(dāng)前解，否則以概率exp(t′/T)接受s′作為新的當(dāng)前解；(6)如果滿足終止條件則輸出當(dāng)前解作為最優(yōu)解，結(jié)束程序。終止條件通常取為連續(xù)若干個(gè)新解都沒有被接受時(shí)終止算法；(7)T逐漸減少，且T趨于0，然后轉(zhuǎn)第2步運(yùn)算。 關(guān)鍵技術(shù)（1）新解的產(chǎn)生和接受模擬退火算法新解的產(chǎn)生和接受可分為如下4個(gè)步驟：①由一個(gè)函數(shù)從當(dāng)前解產(chǎn)生一個(gè)位于解空間的新解。為便于后續(xù)的計(jì)算和接受，減少算法耗時(shí)，常選擇由當(dāng)前新解經(jīng)過簡單地變換即可產(chǎn)生新解的方法，如對構(gòu)成新解的全部或部分元素進(jìn)行置換、互換等。產(chǎn)生新解的變換方法決定了當(dāng)前新解的鄰域結(jié)構(gòu)，因而對冷卻進(jìn)度表的選取有一定的影響。②計(jì)算與新解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)差。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)差僅由變換部分產(chǎn)生，所以目標(biāo)函數(shù)差的計(jì)算最好按增量計(jì)算。事實(shí)表明，對大多數(shù)應(yīng)用而言，這是計(jì)算目標(biāo)函數(shù)差的最快方法。③判斷新解是否被接受。判斷的依據(jù)是一個(gè)接受準(zhǔn)則，最常用的接受準(zhǔn)則是Metropo1is準(zhǔn)則：若t′0則接受S′作為新的當(dāng)前解S，否則以概率exp(t′/T)接受S′作為新的當(dāng)前解S。④當(dāng)新解被確定接受時(shí)，用新解代替當(dāng)前解。這只需將當(dāng)前解中對應(yīng)于產(chǎn)生新解時(shí)的變換部分予以實(shí)現(xiàn)，同時(shí)修正目標(biāo)函數(shù)值即可。此時(shí)，當(dāng)前解實(shí)現(xiàn)了一次迭代，可在此基礎(chǔ)上開始下一輪試驗(yàn)。而當(dāng)新解被判定為舍棄時(shí)，則在原當(dāng)前解的基礎(chǔ)上繼續(xù)下一輪試驗(yàn)。模擬退火算法與初始值無關(guān)，算法求得的解與初始解狀態(tài)S(是算法迭代的起點(diǎn))無關(guān)；模擬退火算法具有漸近收斂性，已在理論上被證明是一種以概率收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法；模擬退火算法具有并行性。（2）參數(shù)控制問題模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛，可以求解NP完全問題，但其參數(shù)難以控制，其主要問題有以下3點(diǎn)[7]：①溫度T的初始值設(shè)置。溫度T的初始值設(shè)置是影響模擬退火算法全局搜索性能的重要因素之一。初始溫度高，則搜索到全局最優(yōu)解的可能性大，但因此要花費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間；反之，則可節(jié)約計(jì)算時(shí)間，但全局搜索性能可能受到影響。實(shí)際應(yīng)用過程中，初始溫度一般需要依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行若干次調(diào)整。②溫度衰減函數(shù)的選取。衰減函數(shù)用于控制溫度的退火速度，一個(gè)常用的函數(shù)為： 式中是一個(gè)非常接近于1的常數(shù)，t為降溫的次數(shù)。③馬爾可夫鏈長度L的選取。通常的原則是：在衰減參數(shù)T的衰減函數(shù)已選定的前提下，L的選取應(yīng)遵循在控制參數(shù)的每一取值上都能恢復(fù)準(zhǔn)平衡的原則。 小結(jié) 本章而要的介紹了旅行商問題與模擬退火算法，首先對旅行商問題做了描述并舉例其應(yīng)用，然后介紹了模擬退火算法的來源，重點(diǎn)介紹了模擬退火算法的基本思想和關(guān)鍵技術(shù)。通過本章的分析，使我們理解了模擬退火算法的基本原理并且知道了TSP問題的數(shù)學(xué)描述，為下面將該算法其應(yīng)用于旅行商問題做了準(zhǔn)備。2 TSP模擬退火算法的實(shí)現(xiàn) TSP是典型的組合優(yōu)化問題，模擬退火算法是一種隨機(jī)性解決組合優(yōu)化方法。將TSP與模擬退火算法相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)對其求解。 TSP算法實(shí)現(xiàn) TSP算法描述 （1）TSP問題的解空間和初始解 TSP的解空間S是遍訪每個(gè)城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合。TSP問題的解空間S可表示為{1,2,…,n}的所有排列的集合，即S = {(c1,c2,…,) | ((c1,c2,…,)為{1,2,…,n}的排列）}，其中每一個(gè)排列Si表示遍訪n個(gè)城市的一個(gè)路徑，ci= j表示在第i次訪問城市j。模擬退火算法的最優(yōu)解與初始狀態(tài)無關(guān)，故初始解為隨機(jī)函數(shù)生成一個(gè){1,2,…,n}的隨機(jī)排列作為S0。（2）目標(biāo)函數(shù) TSP問題的目標(biāo)函數(shù)即為訪問所有城市的路徑總長度，也可稱為代價(jià)函數(shù)： 現(xiàn)在TSP問題的求解就是通過模擬退火算法求出目標(biāo)函數(shù)C(c1,c2,…,)的最小值，相應(yīng)地，s*= (c*1,c*2,…,c*n)即為TSP問題的最優(yōu)解。 （3）新解產(chǎn)生新解的產(chǎn)生對問題的求解非常重要。新解可通過分別或者交替用以下2種方法產(chǎn)生：①二變換法：任選序號u,v(設(shè)uvn)，交換u和v之間的訪問順序，若交換前的解為si= (c1,c2,…,cu,…,cv,…,),交換后的路徑為新路徑，即：si′= (c1,…,cu1,cv,cv1,…,cu+1,cu,cv+1,…,)②三變換法：任選序號u,v和ω(u≤vω)，將u和v之間的路徑插到ω之后訪問，若交換前的解為si= (c1,c2,…,cu,…,cv,…,cω,…,)，交換后的路徑為的新路徑為：si′= (c1,…,cu1,cv+1,…,cω,cu,…,cv,cω+1,…,)（4）目標(biāo)函數(shù)差計(jì)算變換前的解和變換后目標(biāo)函數(shù)的差值：Δc′= c(si′) c(si)（5）Metropolis接受準(zhǔn)則根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的差值和概率exp(ΔC′/T)接受si′作為新的當(dāng)前解si，接受準(zhǔn)則： TSP算法流程 根據(jù)以上對TSP的算法描述，可以寫出用模擬退火算法解TSP問題的流程圖21所示：圖 21 TSP的模擬退火流程 TSP的MATLAB實(shí)現(xiàn) 加載數(shù)據(jù)文件下面是加載數(shù)據(jù)文件的一個(gè)例子：function d = datafile()cities =[,,,...,,,...,。,,,...,,,...]。save cities V6。當(dāng)調(diào)用數(shù)據(jù)文件函數(shù)時(shí)。該數(shù)據(jù)文件的第一列通常是城市數(shù)量，之后兩列為城市的坐標(biāo)。初始化函數(shù)，根據(jù)直角坐標(biāo)生成城市距離矩陣。 計(jì)算總距離的函數(shù)這是一個(gè)城市間計(jì)算距離的函數(shù)，根據(jù)給定路徑計(jì)算該路徑對應(yīng)總路程。function d = distance(inputcities) % DISTANCE% d = DISTANCE(inputcities)按照要求計(jì)算TSP問題中n個(gè)城市的距離。% 輸入?yún)?shù)有兩行和n列，其中n為城市的數(shù)目，列為對應(yīng)城市的坐標(biāo)。 d = 0。 for n = 1 : length(inputcities) if n == length(inputcities) d = d + norm(inputcities(:,n) inputcities(:,1))。 else d = d + norm(inputcities(:,n) inputcities(:,n+1))。 end end TSP問題的成本函數(shù)是城市之間的距離。調(diào)用此函數(shù)將計(jì)算n個(gè)城市之間的距離。 繪制路線的函數(shù)這是一個(gè)繪制路線的函數(shù)，根據(jù)給定的城市坐標(biāo)生成的城市矩陣?yán)L制城市的坐標(biāo)，根據(jù)給定的路線繪制線路
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