【文章內(nèi)容簡介】 F=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；②設(shè)AG=x，表示出GF、BG，根據(jù)點E是BC的中點求出BE、EF，從而得到GE的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如圖1所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90176。，∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90176。，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=90176。，=45176。；（2）①證明：如圖2所示：∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，E為BC的中點，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：設(shè)AG=x，則GF=x，BG=6﹣x，∵正方形邊長為6，E為BC的中點，∴CE=EF=BE=6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根據(jù)勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即線段AG的長為2．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．　15．（2016春?召陵區(qū)期中）如圖①，在正方形ABCD中，F(xiàn)是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且BF=EF．（1）求證：BF=DF；（2）求證：∠DFE=90176。；（3）如果把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖②），當(dāng)∠ABC=50176。時，∠DFE=　50　度．【分析】（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對角線平分一組對角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“邊角邊”證明即可；（2）易證∠FBE=∠FEB，又因為∠FBE=∠FDC，所以可證明∠FEB=∠FDC，進(jìn)而可證明∠DFE=90176。；（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CBF=∠CDF，根據(jù)等邊對等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得解．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45176。，∵在△BCF和△DCF中，∴△BCF≌△DCF（SAS）；∴BF=DF；（2）證明：∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB，又∵∠FBE=∠FDC，∴∠FEB=∠FDC，又∵∠DGF=∠EGC，∴∠DFG=∠ECG=90176。，即∠DFE=90176。；（3）證明：由（1）知，△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵EE=FB，∴∠CBF=∠E，∵∠DGF=∠EGC（對頂角相等），∴180176。﹣∠DGF﹣∠CDF=180176。﹣∠EGC﹣∠E，即∠DFE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DFE=∠ABC=50176。，故答案為：50．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出∠BCF=∠DCF是解題的關(guān)鍵．　16．（2015秋?泗縣期中）已知正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于O．①如圖1，若E是AC上的點，過A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求證：OE=OF②如圖2，若點E在AC的延長線上，AG⊥EB交EB的延長線于G，AG延長DB延長線于點F，其它條件不變，OE=OF還成立嗎？【分析】①由正方形的性質(zhì)得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90176。，由角的互余關(guān)系得出∠OBE=∠OAF，由ASA證明△BOE≌△AOF，得出對應(yīng)邊相等即可；②由正方形的性質(zhì)得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90176。，由角的互余關(guān)系得出∠OBE=∠OAF，由ASA證明△BOE≌△AOF，得出對應(yīng)邊相等即可．【解答】①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90176。，∴∠OEB+∠OBE=90176。，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90176。，∴∠OEB+∠OAF=90176。，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF；②解：OE=OF還成立；理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90176。，∴∠OEB+∠OBE=90176。，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90176。，∴∠OEB+∠OAF=90176。，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．　17．（2016春?邳州市期中）如圖，點P是菱形ABCD中對角線AC上的一點，且PE=PB．（1）求證：PE=PD；（2）求證：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80176。，連接DE，試求∠PDE的度數(shù)，并說明理由．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS證明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性質(zhì)得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；（3）由四邊形內(nèi)角和定理得出∠DPE=100176。，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，在△DCP和△BCP中，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）證明：∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC=∠PBC，∴∠PDC=∠PEB；（3）解：如圖所示：∠PDE=40176。；理由如下：在四邊形DPEC中，∵∠DPE=360176。﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）=360176。﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）=360176。﹣（180176。+80176。）=100176。，∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40176。．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．　18．（2016春?昆山市期中）如圖，正方形ABCD中，AB=1，點P是BC邊上的任意一點（異于端點B、C），連接AP，過B、D兩點作BE⊥AP于點E，DF⊥AP于點F．（1）求證：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周長為，求EF的長．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD=AB，證出∠DAF=∠ABE，由AAS證明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知條件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．【解答】（1）證明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA=∠AEB=90176。，∠ABE+∠BAE=90176。，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB，∠DAB=90176。=∠DAF+∠BAE，∴∠DAF=∠ABE，在△ADF和△BAE中，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；（2）解：設(shè)DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周長為，AD=1，∴DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，∴a﹣b=，即EF=．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出a與b的關(guān)系式是解決問題（2）的關(guān)鍵．　19．（2015春?繁昌縣期中）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD的交點為O，以O(shè)為端點引兩條互相垂直的射線OM、ON，分別交邊AB、BC于點E、F．（1）求證：0E=OF；（2）若正方形的邊長為4，求EF的最小值．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠EAO=∠FBO=45176。，OA=OB，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角邊角”證明△AOE和△BOF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（2）根據(jù)等腰直角三角形△EOF，當(dāng)OE最小時，再根據(jù)勾股定理得出EF的最小值．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90176。，∠EAO=∠FBO=45176。，∴∠AOE+∠BOE=90176。，∵OE⊥OF，∴∠BOF+∠BOE=90176。，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE與△BOF中，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF；（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，當(dāng)OE最小時，EF的值最小，∵OA=OB，OE⊥AB，∴點E是AB的中點，∴OE=AB，∵AB=4，∴OE=2，∴EF=，即EF的最小值是2．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量．正確作出輔助線是關(guān)鍵．　20．（2016春?江寧區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AD上任意一點，BE的垂直平分線FG交對角AC于點F．求證：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45176。，由SAS證明△BAF≌△DAF，得出對應(yīng)邊相等即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BF=EF，證出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性質(zhì)證出∠ABF=∠FED，由鄰補(bǔ)角關(guān)系得出∠FED+∠FEA=180176。，證出∠ABF+∠FEA=180176。，由四邊形內(nèi)角和得出∠BAE+∠BFE=180176。，求出∠BFE=90176。即可．【解答】證明：如圖所示：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45176。，∠BAE=90176。，在△BAF和△DAF中，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分線FG交對角AC于點F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180176。，∴∠ABF+∠FEA=180176。，∴∠BAE+∠BFE=180176。，∴∠BFE=90176。，∴BF⊥FE．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．　21．（2015春?臺州校級期中）已知：如圖所示，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90176。，M是AC上任一點，O是BD的中點，連接MO，并延長MO到N，使NO=MO，連接BN與ND．（1）判斷四邊形BNDM的形狀，并證明；（2）若M是AC的中點，則四邊形BNDM的形狀又如何？說明理由．【分析】（1）由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得出結(jié)論；（2）由直角三角形斜邊上1的中線性質(zhì)得出BM=AC，DM=AC，得出BM=DM，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：四邊形BNDM是平行四邊形，理由如下：∵O是BD的中點，∴OB=OD，∵NO=MO，∴四邊形BNDM是平行四邊形；（2）解：四邊形BNDM是菱形；理由如下：∵∠ABC=∠ADC=90176。，M是AC的中點，∴BM=AC，DM=AC，∴BM=DM，∴四邊形BNDM是菱形．【點評】本題考查了平行四邊形的判定方法、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、菱形的判定方法；熟練掌握平行四邊形和菱形的判定方法，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．　22．（2016春?柘城縣期中）如圖，在△ABC中，O是邊AC上的一動點，過點O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．（1）求證：OE=OF；（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？【分析】（1）根據(jù)MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：對角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．【解答】（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，∴OE=OC，OC=OF，∴OE=OF．（2）解：當(dāng)O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，∵AO=CO，OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，∴∠ECF=90176。，∴四邊形AECF是矩形．【點評】此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是掌握有一個角為直角的平行四邊形是矩形．　23．（2015春?北京校級期中）（1）如圖矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，過點D作DP∥OC，且DP=OC，連接CP，判斷四邊形CODP的形狀并說明理由．（2）如果題目中的矩形變?yōu)榱庑危Y(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？說明