有限元及其分析---第1章緒論(編輯修改稿)
2025-04-15 17:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 通常加權(quán)余量法是采用控制微分方程式 L(x)=0在其解的附近，可假設(shè) L(x)=R(x),此余量函數(shù) R（ x）是一個(gè)非零的函數(shù)，若將余量函數(shù)乘以一個(gè)符合邊界條件的加權(quán)函數(shù) w(x),再對(duì)整個(gè)系統(tǒng)積分并令為零： ? ?~n i VRwVi 00d ???? Galerkin 方法 在 Galerkin方法中，選擇的加權(quán)函數(shù) wi為試函數(shù)（如取為形函數(shù) N，wi=Ni ） pE I vx ?? 39。39。39。39。)(LpE I vx ?? 39。39。39。39。)(R? ?~ni xp)( E I v 39。 39。 39。 39。 39。wL i 00d0 ????? 以三角函數(shù)為試探函數(shù)求 ci ? 以?xún)缂?jí)數(shù)為試探函數(shù)求 ci ? 以形函數(shù)為試探函數(shù)求 ci 例 .受均布外載荷簡(jiǎn)支梁的 Galerkin加權(quán)殘值法求解 44?d 0dvR EI px? ? ?代入控制方程得殘差 ? ? 1 πs in xv x c l?由 Galerkin加權(quán)殘值方程分析可得 ， 1 1 1( , ) d 0w R c ?? ? ? ??414πd si nπsi n d 0dlxcx lEI q xlx?????????????????求解上式可得 515π πs in s in d 0lxxc E I q xll?? ???????41 402 π1 c o sπ πd c o s2 πl(wèi)lxlxlc E I x qll????41 54πl(wèi)cqEI? ? ?41 5π 4 πsi n si nπx l xv x c ql EI l??例 .受均布外載荷簡(jiǎn)支梁的 Galerkin加權(quán)殘值法求解 解：用 冪級(jí)數(shù)法求解 ,位移試函數(shù) 44?d 0dvR EI px? ? ?代入控制方程得殘差 ? ? ? ?1v x c x l x??由 Galerkin加權(quán)殘值方程分析可得 ， 1 1 1( , ) d 0w R c ?? ? ? ??? 最小二乘法 在最下二乘法中，選擇的加權(quán)函數(shù) wi為余量函數(shù) R對(duì)試探函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù) ci的偏微分，下式所示： iiRwc???? ?~n ixpvEIc pvEILi1 0d)()(0 ???????? ???????? ? 0d1 0d)( 0 20 2 ??????? ?????? ?? xcR~nixc pvEI LiLi因此也是對(duì)余量函數(shù)的平方取最小值。最小二乘法的名稱(chēng)由此得來(lái)。 ? 以三角函數(shù)為試探函數(shù)求 ci ? 以?xún)缂?jí)數(shù)為試探函數(shù)求 ci ? 以形函數(shù)為試探函數(shù)求 ci 受均布外載荷簡(jiǎn)支梁的殘值最小二乘法求解 ? ? 1 πs in xv x c l?2 11( ) dE r r R c ,?????將其代入到控制方程，則一定存在殘差，取權(quán)函數(shù)為 1，則殘差平方的積分為 由最小二乘法有 10E rrc? ??由上式可以解出與用伽遼金加權(quán)殘值法相同的結(jié)果。 41054πl(wèi)cpEI?? 配點(diǎn)法 ? 在配點(diǎn)法（ Collocation Method）中，選擇的加權(quán)函數(shù) wi為脈沖函數(shù)，其意義為當(dāng)坐標(biāo) x落在指定的位置上時(shí)，加權(quán)函數(shù)值為 1，在其他位置加權(quán)函數(shù)值為 0。 ? ?ii xxδw ??? 函數(shù)降階與試探函數(shù) ? 在 Galerkin方法的應(yīng)用 在 Galerkin方法應(yīng)用時(shí)，若試探函數(shù)為形函數(shù)，雖然程序是正確的，卻解不出答案。這是因?yàn)樵囂胶瘮?shù)為三次方的函數(shù)，微分四次方之后當(dāng)然無(wú)法解出答案。在本節(jié)中將介紹如何以變分法的方法將控制方程降階，再結(jié)合形函數(shù)解出答案。從這個(gè)范例可以清楚知道，在使用 RayleighRitz或 Galerkin方法導(dǎo)證剛度矩陣時(shí) ,盡量將方程降階 ,以便使用簡(jiǎn)單的試探函數(shù)。 ? 與 RayleighRitz方法的比較 ? RayleighRitz方法中，使用能量方程式 ，而現(xiàn)在則使用降階的Galerkin方法，從比較可知， RayleighRitz方法使用能量方程式，而 Galerkin方法則使用控制微分方程式，降階之后兩者實(shí)際是相同的。 有限元的特點(diǎn) ? 有限元法經(jīng)過(guò)幾十年
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