有限元及其分析---第1章緒論(編輯修改稿)
2025-04-15 17:30 本頁面
【文章內容簡介】 通常加權余量法是采用控制微分方程式 L(x)=0在其解的附近，可假設 L(x)=R(x),此余量函數 R（ x）是一個非零的函數，若將余量函數乘以一個符合邊界條件的加權函數 w(x),再對整個系統積分并令為零： ? ?~n i VRwVi 00d ???? Galerkin 方法 在 Galerkin方法中，選擇的加權函數 wi為試函數（如取為形函數 N，wi=Ni ） pE I vx ?? 39。39。39。39。)(LpE I vx ?? 39。39。39。39。)(R? ?~ni xp)( E I v 39。 39。 39。 39。 39。wL i 00d0 ????? 以三角函數為試探函數求 ci ? 以冪級數為試探函數求 ci ? 以形函數為試探函數求 ci 例 .受均布外載荷簡支梁的 Galerkin加權殘值法求解 44?d 0dvR EI px? ? ?代入控制方程得殘差 ? ? 1 πs in xv x c l?由 Galerkin加權殘值方程分析可得 ， 1 1 1( , ) d 0w R c ?? ? ? ??414πd si nπsi n d 0dlxcx lEI q xlx?????????????????求解上式可得 515π πs in s in d 0lxxc E I q xll?? ???????41 402 π1 c o sπ πd c o s2 πl(wèi)lxlxlc E I x qll????41 54πl(wèi)cqEI? ? ?41 5π 4 πsi n si nπx l xv x c ql EI l??例 .受均布外載荷簡支梁的 Galerkin加權殘值法求解 解：用 冪級數法求解 ,位移試函數 44?d 0dvR EI px? ? ?代入控制方程得殘差 ? ? ? ?1v x c x l x??由 Galerkin加權殘值方程分析可得 ， 1 1 1( , ) d 0w R c ?? ? ? ??? 最小二乘法 在最下二乘法中，選擇的加權函數 wi為余量函數 R對試探函數的各項系數 ci的偏微分，下式所示： iiRwc???? ?~n ixpvEIc pvEILi1 0d)()(0 ???????? ???????? ? 0d1 0d)( 0 20 2 ??????? ?????? ?? xcR~nixc pvEI LiLi因此也是對余量函數的平方取最小值。最小二乘法的名稱由此得來。 ? 以三角函數為試探函數求 ci ? 以冪級數為試探函數求 ci ? 以形函數為試探函數求 ci 受均布外載荷簡支梁的殘值最小二乘法求解 ? ? 1 πs in xv x c l?2 11( ) dE r r R c ,?????將其代入到控制方程，則一定存在殘差，取權函數為 1，則殘差平方的積分為 由最小二乘法有 10E rrc? ??由上式可以解出與用伽遼金加權殘值法相同的結果。 41054πl(wèi)cpEI?? 配點法 ? 在配點法（ Collocation Method）中，選擇的加權函數 wi為脈沖函數，其意義為當坐標 x落在指定的位置上時，加權函數值為 1，在其他位置加權函數值為 0。 ? ?ii xxδw ??? 函數降階與試探函數 ? 在 Galerkin方法的應用 在 Galerkin方法應用時，若試探函數為形函數，雖然程序是正確的，卻解不出答案。這是因為試探函數為三次方的函數，微分四次方之后當然無法解出答案。在本節(jié)中將介紹如何以變分法的方法將控制方程降階，再結合形函數解出答案。從這個范例可以清楚知道，在使用 RayleighRitz或 Galerkin方法導證剛度矩陣時 ,盡量將方程降階 ,以便使用簡單的試探函數。 ? 與 RayleighRitz方法的比較 ? RayleighRitz方法中，使用能量方程式 ，而現在則使用降階的Galerkin方法，從比較可知， RayleighRitz方法使用能量方程式，而 Galerkin方法則使用控制微分方程式，降階之后兩者實際是相同的。 有限元的特點 ? 有限元法經過幾十年
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