【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ???? ???????? ????F S F a SFS （ 2）當(dāng) 時(shí)，表示穿出閉合閉曲面 S的通量線少于穿入的通量線，閉曲面 S內(nèi)必有匯聚通量線的 負(fù)通量源 （例如，匯聚靜電場(chǎng)力線的負(fù)電荷）； 討論： （ 1）當(dāng) 時(shí)，表示穿出閉合閉曲面 S的通量線多于穿入的通量線，閉曲面 S內(nèi)必有發(fā)出通量線的 正通量源 （例如，發(fā)出靜電場(chǎng)力線的正電荷）； （ 3）當(dāng) 時(shí)，表示穿出和穿入閉合閉曲面 S的通量線相等，閉曲面 S無(wú)通量源。 0? ?0? ?0? ? 看出在有限空間區(qū)域內(nèi)，穿過(guò)閉曲面的通量與閉曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源存在相依關(guān)系（例如，高斯定理 ）。 ● 矢量場(chǎng)的環(huán)量 有向曲線 —— 其大小為 ，方向沿 的切線方向 的曲線。 dS oq???? ESl l ldllddt l?lata 有向曲線元 —— 有向曲線 上的微分有向曲線元 （見(jiàn)圖 ）。 看出 矢量場(chǎng)沿有向曲線的線積分稱為矢量場(chǎng)沿該有向曲線的環(huán)量。 矢量場(chǎng) F沿開(kāi)曲線和閉曲線切線方向上有向曲線 疊加后的環(huán)量 dl 討論： （ 1）當(dāng) 時(shí)， ，表示 F與 取向相同，沿閉曲線周線上形成 正環(huán)量源 ； 0? ? dl0? ?? ?? ?d ad bsl??? ? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?? ??? ? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?? ????FlFl 看出在有限空間區(qū)域內(nèi)，沿閉曲線的環(huán)量與閉曲線所界定曲面產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源存在相依關(guān)系（例如，安培環(huán)路定理 ）。 d ol I???? Bl （ 2）當(dāng) 時(shí)， ，表示 F與 取向相反，沿閉曲線周線上形成 負(fù)環(huán)量源 ； 0? ? ??? dl （ 3）當(dāng) 時(shí)， ，表示 F與 正交，沿閉曲線周線上不存在環(huán)量源。 0? ?2?? ? dl 場(chǎng)點(diǎn)性質(zhì) 場(chǎng) 點(diǎn) 性質(zhì)是指場(chǎng)在 某點(diǎn)鄰域 的空間變化率。 場(chǎng)域性質(zhì)只能揭示場(chǎng)在有限區(qū)域內(nèi)場(chǎng)與源的相依關(guān)系，當(dāng)場(chǎng)源分布發(fā)生變化時(shí)不會(huì)影響它們的關(guān)系。為了揭示有限區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)場(chǎng)的物理性質(zhì)，可以采用取極限的方法，將范圍縮小至該點(diǎn)，考查該點(diǎn)的場(chǎng)點(diǎn)性質(zhì)。 1．標(biāo)量場(chǎng)的梯度 引入方向?qū)?shù)描述標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)在其鄰域內(nèi)沿各個(gè)方向的變化規(guī)律，如圖 。 圖 方向?qū)?shù) ● 標(biāo)量場(chǎng)方向?qū)?shù)的定義 設(shè)標(biāo)量場(chǎng) 中由定點(diǎn) 引出的射線 上有一動(dòng)點(diǎn) P，相距為 ，當(dāng) P沿 趨近 時(shí)， 在 處沿 的方向?qū)?shù)定義為如下比值的極限 ? ?uP 0Pl?? ?uPll 0P0P l? ? ? ? ? ?00 0l im 1 . 3 7lu P u Pu pll ???? ? ??????????????????????????? 看出 標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上對(duì)距離的變化率 。 在標(biāo)量場(chǎng)中給定點(diǎn)可以發(fā)出無(wú)限多個(gè)射線，不同方向的變化率是不相同的，方向?qū)?shù)具有不確定性。但在無(wú)限多個(gè)方向中必定只存在 一個(gè) 具有最大變化率的方向?qū)?shù)。 ● 標(biāo)量場(chǎng)梯度的定義 設(shè)標(biāo)量場(chǎng) u在點(diǎn) P變化率最大時(shí)的方向?qū)? ，該變化率最大的方向用單位矢量 表示，則 u在 P的梯度定義為一個(gè)矢量式 ? ?m axu l? ?la? ? ? ?m a xg r a d 1 .3 8l uu l?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???a 看出 標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的梯度是一個(gè)矢量，其大小為具有最大變化率的方向?qū)?shù)，其方向?yàn)樽兓首畲蟮姆较?。 圖 ， 分解為三個(gè)投影分量 、 和 ，有 ul??ux?? uy??uz??● 梯度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式 ? ?c o s c o s c o s 1 . 3 9 au u x u y u z u u ual x l y l z l x y z??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由幾何關(guān)系知 ， 和 。 c o sxl ?? ?? c o syl ?? ?? c o szl ?? ??圖 方向?qū)?shù)的直角分量 圖 和 的點(diǎn)積。其中， 為任意方向射線 l上的單位矢量， 為與 u有關(guān)的 固定矢量，表示為 mGlala mG由式 ()得 ? ?? ? bl x y zm x y zc os c os c osu u ux y z? ? ??? ? ? ???????????????????????? ? ?? ? ? ?????????????????????????????? ? ?a a a aG a a a? ?? ?mc os ,m l x y z x y zmlu u uc os c os c osx y zu u uc os c os c osx y zul? ? ?? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ????? ? ???? ? ??? ? ? ?? ? ??????G a a a a a a aG G a 討論： （ 1）當(dāng)矢量 旋向矢量 時(shí)， 是 的模，標(biāo)量場(chǎng) u有最大變化率， 就是標(biāo)量場(chǎng) u的梯度，由式（ ）知，梯度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為 ? ?m a x0m l mul??????????， ，G a Gl mGmG mG （ 2）當(dāng)矢量 旋至與矢量 垂直時(shí) ，標(biāo)量場(chǎng) u在垂直于矢量 的方向無(wú)變化，是等值面所在位置。 ? ?m i n02ml ul? ??????????， ，Gal mGmG? ?g r a d 1 . 4 0x y zu u uu x y z? ? ?? ? ? ????????????????????????????? ? ?a a a 圖 、梯度和等值面的關(guān)系。由圖看出梯度具有如下特性： （ 1）標(biāo)量場(chǎng) u的梯度 gradu是一個(gè)矢量場(chǎng)，稱為梯度場(chǎng)； （ 2）標(biāo)量場(chǎng) u在給定點(diǎn) P沿 方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影（如圖 ）； （ 3）梯度方向的方向?qū)?shù) 為正值，梯度總是指向標(biāo)量函數(shù) u增大最快的方向； m a xmul??? ?????? G （ 4）標(biāo)量場(chǎng) u在點(diǎn) P的梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，即在等值面的法線方向，標(biāo)量場(chǎng)變化最快。 l引入矢性微分算符