【文章內(nèi)容簡介】 及整除的基本規(guī)律（如被 3 整除的特點）。當然，如果將二張卡片組 成的所有數(shù)都寫出來，再一個一個地分析，也可以做出來。但這樣做是不可取的。 有大、中、小三個正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別是 6 米、 3 米、2 米。把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個水池的水面分別升高了 6厘米和 4厘米。如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 【解法】把碎石沉沒在水中，水面升高所增加的體積，就等于所沉入的碎石的體積。 因此，沉入水池中的碎石的體積是 3 米 3 米 米＝ 米 3 而沉入小水池中的碎石的體積是 2 米 2 米 米＝ 米 3 這兩堆碎石的體積一共是 米 3＋ 米 3＝ 米 3。 把它們都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的體積也就是 米 3。而大水池的底面積是 6 米 6 米＝ 36 米 2。 所以水面升高了： 厘米厘米＝米＝＝米米 1817136 0736 23 ? 答：大水池的水面升高了 18171 厘米。 在一個圓圈上有幾十個孔（不到 100 個），如圖 44。小明像玩跳棋那樣，從 A 孔出發(fā)沿著逆時針方向，每隔幾個孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔。他先試著每隔 2 孔跳一步，結(jié) 果只能跳到B 孔。他又試著每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔。最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔。你知道這個圓圈上共有多少個孔嗎？ 【解法】設(shè)想圓圈上的孔已按下面方式編了號； A 孔編號為 1，然后沿逆時針方向順次編號為 2， 3， 4， ……B 孔的編號就是圓圈上的孔數(shù)。 我們先看每隔 2 孔跳一步時，小明跳在哪些孔上？很容易看出應在 1， 4， 7， 10， …… 上。也就是說，小明跳到的孔上的編號是 3 的倍數(shù)加 1。按題意，小明最后跳到 B 孔，因此總孔數(shù)是 3 的倍數(shù)加 1。 同樣道理，每隔 4 孔跳一步最后跳到 B 孔，就意味著總孔數(shù)是 5的倍 數(shù)加 1；而每隔 6 孔跳一步最后跳回到 A，就意味著總孔數(shù)是 7的倍數(shù)。 如果將孔數(shù)減 1，那么得數(shù)是 3 的倍數(shù)也是 5 的倍數(shù)，因而是 15的倍數(shù)。這個 15 的倍數(shù)加上 1 就等于孔數(shù)，而且能被 7 整除。注意15 被 7 除余 1，所以 156 被 7 除余 6， 15 的 6 倍加 1 正好被 7 整除。我們還可以看出， 15 的其他（小于 7 的）倍數(shù)加 1 都不能被 7 整除，而 157＝ 105 已經(jīng)大于 100， 7 以上的倍數(shù)都不必考慮。因此，總孔數(shù)只能是 156＋ l＝ 91。 北京大學附屬小學 sun 老師 第 11 頁 答：圓圈上共有 91 個孔。 【分析與討論】這道題其實是下面一類問題的特殊情形。一般的問題是 ：有一個未知整數(shù)，只知道它被某幾個整數(shù)除后所得的余數(shù)，求這個整數(shù)。中國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中，已經(jīng)有解決這類問題的一般方法了。這個方法在國際上被普遍稱為“中國余數(shù)定理”。華羅庚教授曾為高小初中學生寫過一本小冊子《從孫子的“神奇妙算”談起》，深入淺出地介紹了解決這個問題的巧妙方法，還由此引伸出其他一些很有趣的問題，極富啟發(fā)性。這本小冊子已被選入《華羅庚科普著作選集》（上海教育出版社），有興趣的同學可以讀讀。 試將 1， 2， 3， 4， 5， 6，7 分別填入圖 45 的方框中，每個數(shù)字只用一次： 使得這三個數(shù) 中任意兩個都互質(zhì)。其中一個三位數(shù)已填好，它是 714。 【解法】我們知道，如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 1，那末這兩個數(shù)就叫做互質(zhì)數(shù)。 已經(jīng)填好的三位數(shù) 714 是個合數(shù)，它的質(zhì)因數(shù)分解是 714＝ 23717。 使得這三個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)。其中一個三位數(shù)已填好，它是714。 由此可以看出，要使最下面方框中的數(shù)與 714 互質(zhì)，在剩下未填的數(shù)字 2， 3， 5， 6 中只能選 5，也就是說，第三行的一位數(shù)只能填 5。 現(xiàn)在來討論第二行的三個方框中應該怎樣填 2， 3， 6 這三個數(shù)字。 因為任意兩個偶數(shù)都有公約 數(shù) 2，因此不互質(zhì)。而 714 是偶數(shù)，所以第二行的三位數(shù)不能是偶數(shù)，也就是說， 2 和 6 不能填在個位上，因此個位數(shù)只能是 3。這樣一來，第二行的三位數(shù)只能是 263 或 623。但是 623 能被 7 整除，所以 623 與 714 不互質(zhì)。 最后來看 263 這個數(shù)。通過檢驗可知： 714 的質(zhì)因數(shù) 2， 3， 7 和17 都不是 263 的因數(shù)，所以 714 與 263 這兩個數(shù)互質(zhì)。顯然， 263 與5 也互質(zhì)。因此， 714， 263 和 5 這一個數(shù)兩兩互質(zhì)。 答：填法是： 圖 47 是一張道路圖， 每段路上的數(shù)字是小王走這段路所需的分鐘數(shù)。請問小王從 A 出發(fā)走到 B，最快需要幾分鐘？ 【解法 1】 為敘述方便，我們把每個路口都標上字母，如圖 4圖 49 所示 首先我們將道路圖逐步簡化。 從 A 出發(fā)經(jīng)過 C 到 B 的路線都要經(jīng)過 DC 和 GC。面從 A 到 C有兩條路線可走： ADC 需時間 14＋ 13＝ 27（分鐘）； AGC 需時間 15＋ 11＝ 26（分鐘）。我們不會走前一條路線，所以可將 DC 這段路抹去。但要注意， AD 不能抹去，因為從 A 到 B 還有別的路線（例如AHB）經(jīng)過 AD，需要進一步分析。 由 G 到 E 也有兩條路線可走： CCE 需 16 分鐘， GIE 也是 16 分北京大學附屬小學 sun 老師 第 12 頁 鐘。我們可以選擇其中的任一條路線 ，例如選擇前一條，抹掉 GIE。（也可以選擇后一條而抹掉 CE。但不能抹掉 GC，因為還有別的路線經(jīng)過它。）這樣，道路圖被簡化成圖 49 的形狀。 在圖 49 中，從 A 到 F 有兩條路線，經(jīng)過 H 的一條需 14＋ 6＋ 17＝ 37（分鐘），經(jīng)過 G 的一條需 15＋ 11＋ 10＝ 36（分鐘），我們又可以將前一條路線抹掉（圖 50）。 圖 50 中，從 C 到 B 也有兩條路線，比較它們需要的時間，又可將經(jīng)過 E 的一條路線抹掉。最后，剩下一條最省時間的路線（圖 51），它需要 15＋ 11＋ 10＋ 12＝ 48（分鐘）。 答：最快需要 48 分鐘。 【解法 2】 要抓住關(guān)鍵點 C。從 A 到 B 的道路如果經(jīng)過 C 點，那么，從 A 到 C 的道路中選一條最省時間的，即 AGC；從 C 到 B 的道路中也選一條最省時間的，即 CFB。因而從 A 到 B 經(jīng)過 C 的所有道路中最省時間的就是這兩條道路接起來的，即 AGCFB。它的總時間是 48 分鐘。 剩下的只要比較從 A 到 B 而不經(jīng)過 C 點的道路與道路 AGCFB，看那個更省時間。 不經(jīng)過 C 點的道路只有兩條： ① ADHFB，它需要 49 分鐘；② AGIEB，它也需要 49 分鐘。 所以，從 A 到 B 最快需要 48 分鐘。 【分析與討論】上面的簡化過和并不需要逐一 畫圖，只要在原圖上將準備抹掉的路段打上記號，就能很快找出需時最短的路線來。即使更復雜的道路圖，也很容易得到簡化。圖 52 是稍為復雜一些的道路圖，圖中數(shù)字意義與本題相同。請同學們試用上面的逐步簡化方法求出從 A 到 B 的最短時間。 本題在應用數(shù)學中有個專門的名稱，叫做“最短路線問題”。最短路線問題在交通運輸、計劃規(guī)劃等許多方面都有廣泛的應用。在實際問題中，道路圖往往很復雜，要找出從 A 到 B 的所有路線是很困難的。因此，象上面這樣的間化方法，就十分必要了。 梯形 ABCD 的中位線 EF 長 15 厘米（見圖 53）， ∠ ABC=∠ AEF=90176。， G 是 EF 上的一點。如果三角形 ABG 的面積是梯形 ABCD 面積的 1/5，那么 EG 的長是幾厘米？ ［解］梯形 ABCD 的面積等于 EFAB，而三用形 ABC 的面積等于（ 1/2） EGAB，因此三角形 ABG 和梯形 ABCD 的面積比等于（ 1/2） EG 與 EF 的比。 由題目的條件，三角形ABG 的面積是梯形 ABCD 的面積的 1/5，或者說 EG 是 EF 的 2/5。因為 EF 長 15 厘米 .EG 的長就是 15 厘米 2/5＝ 6 厘米 答： EG 長 6 厘米。 [分析與討論］ 在本題中，假設(shè)∠ ABC＝ ∠ AEG=90176。，這個條 件其實是多余的。只是考慮到小學同學可能還沒有學過有關(guān)中位線的性質(zhì)，才加上這個條件的。有興趣的同學可以考慮一下，如果去掉這個條件，這一題應該怎樣做？ 有三堆砝碼，第一堆中每個法碼重 3 克，第二堆中每個砝碼重 5克，第三堆中每個砝碼重 7 克。請你取最少個數(shù)的砝碼，使它們的總重量為 130 克寫出的取法：需要多少個砝碼？其中 3 克、 5 克和 7 克的砝碼各有幾個？ 北京大學附屬小學 sun 老師 第 13 頁 [解法 ] 為廠使問題簡化，我們首先分析一下這三排砝碼之間的關(guān)系。很明顯，一個 3 克的破碼加上一個 7 克的砝碼正好等于兩個 5克的砝碼（都是 10 兌）。因此，如果用一個 3 克的砝碼和一個 7 克的砝碼去替換兩個 5 克的砝碼，砝碼的個數(shù)及總重量都保持不變。這樣一來，我們就可以把 5 克砝碼兩個兩個地換掉，直到只剩一個 5 克的砝碼或者沒有 5 克砝碼為止。 這樣就將問題歸結(jié)為下面兩種情形： 一、所取的砝碼中沒有 5 克砝碼。很明顯，為了使所取的砝碼個數(shù)盡量少，應該盡可能少取 3 克砝碼，而 130 克減去 3 克砝碼的總重量應該是 7 無的倍數(shù)。計算一下就可以知道，取 0 個、 1 個、 2 個、 3個、 4 個、 5 個 3 克砝碼，所余下的重量都不是 7 克的倍數(shù) 。面如果取 6 個 3 克砝碼，則 1303 克 6=112 克 =7 克 16。于是可以取 16 個7 克砝碼和 6 個 3 個克砝碼，總共 22 個砝碼， 二、所取的砝碼中有一個 5 克的。那么 3 克和 7 克砝碼的總重最是 130 克 5 克 =125 克、和第一種情形類似，可以算出應取 2 個 3 克砝碼和 17 個 7 克砝碼，這樣總共有 17+2+1=20 個 砝碼。 比較上面兩種情形，我們得知最少也取 20 個砝碼。取法可以就象后十種情形那樣； 2 個 3 克的， 1 個 5 克的， 17 個 7 克的；當然也可以用兩個 5 克砝碼換掉一個 3 克和 1 個 7 克的砝碼， 例如可以取5 個 5 克的和 15 個 7 克的。 答：最少要取 20 個砝碼，取法如上述。 [分 析和討論 ] 在這個問題中，有三個數(shù)（即三種砝碼的個數(shù)）是可以變的。上面的解法實質(zhì)上是先固定一個數(shù)（ 5 克砝碼的個數(shù)）、那么只剩下的個數(shù)在變， 就比較容易處理了。如果三個數(shù)都在變，就會變得很亂，即使是找到一種只需 20 個砝碼的取法，也很難說清楚為什么這就是最少的。 如果同學們還想冉做一個這樣的習題，那么不妨算一下，在本題的條件下，至多可以取多少個砝碼？怎樣??？ 有 5 塊圓形的花圃，它們的直徑分別是 3 米、 4 米、 5 米、 8 米、9 米；請將這 5 塊花圃分成兩組，分別交給兩個班管便兩班所管 理的面積盡可能接近。 [解 法 ]我們知道，每個圓的面積等于直徑的平方乘以（π /4）。現(xiàn)在要把 5 個圓分組， 兩組的總面積累盡可能接近或者說；兩組總面積的比盡可能接近！由于每個圓面積都有因子（π / 4）。而我們關(guān)心的只是面積的比，所以不把這個共同的因索都去掉，而把問題簡化為：將 5 個圓公成兩組，使兩組圓的直徑的個方和盡可能接近。 5 個圓的直徑的平方分別是： 9， 16， 25， 64， 81。 這 5 個數(shù)的和是 195。由于 195 是奇數(shù)，所以不可能把這 5 個數(shù)分成兩組，使它們的和相等。另一方面 .81+16=97， 9+25+24=98 天者僅相差 1，這 當是我樣期望的最佳分配了。 答：應該把直徑 4 米和 9 米的兩個花圃交給一個班管理，其余三個花圃交給另一個班管理。 [分析與討論 ]這個題目和“華羅庚金杯”賽第一屆初賽第 18 題屬于同一類型。 做這個題目時，如果先每花圃的面積、再根據(jù)面積來分組，計算量就太大了。將這個因數(shù)去掉，只考慮直徑的平方，就使問題大大簡化。 一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)