【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )(2 xy 是齊次方程0)()( ????? yxqyxpy 的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則該齊次方程的通解為)()()( 2211 xycxycx ??? 若齊次 方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系有(nr)個(gè)線性無關(guān)的解向量，則齊次方程 組 的 通 解 為rnrn ykykykx ????????? 2211 非 齊 次 方 程)()()( xfyxqyxpy ????? 的通解為)()()( 12211 xyxycxycy ???? ，其中)(1 xy? 是非齊次方程的一個(gè)特解，)()( 2211 xycxyc ? 是 對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程0)()( ????? yxqyxpy 的通解 非齊次方程組 Ax=b 的一個(gè)通解等于Ax=b的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組齊次方程Ax=0 的通解之和 若非齊 次方程有兩個(gè)特解 )(1xy )(2 xy ，則對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)解為)()()( 21 xyxyxy ?? 若 1r 、 2r 是方程組 Ax=b的兩個(gè)特解，則 (1r 2r )是其對(duì)應(yīng)齊次方程組 Ax=0的解 由以上的討論可以看到，本章并不應(yīng)該成為高數(shù)部分中比較2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué) 考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 74201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 難辦的章節(jié)，因?yàn)檫@一章如果有難點(diǎn)的話也僅在于“如何準(zhǔn)確無誤地記憶各種方程類型及對(duì)應(yīng)解法”，也可以說本章難就難在記憶 量大上。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 74201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 高數(shù)第七章《一元微積分的應(yīng)用》 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題 型歸類分析總結(jié) 74201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 本章包括導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分，其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點(diǎn)；而定積分的應(yīng)用在歷年真題的大 題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結(jié)合。典型的構(gòu)題方式是利用變區(qū)間上的面積、體積或弧長(zhǎng)引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分 dttfxa )(?單獨(dú)分離到方程的一端形成“ dttfxa )(?＝∽”的形式，在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用相關(guān)方程的對(duì)應(yīng)解法求解。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： ； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 對(duì)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識(shí)點(diǎn)： 201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： ； ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法 則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 1. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導(dǎo)判斷，判定極、最值時(shí)則須注意以下兩點(diǎn)： A. 極值的定義是：對(duì)于 0x 的鄰域內(nèi)異于 0x 的任一點(diǎn)都有 )(xf ＞)( 0xf 或 )(xf ＜ )( 0xf ,注意是＞或＜ 而不是≥或≤； B. 極值 點(diǎn) 包 括 圖 1 、圖 2 兩 種 可 能 ，所以只有在)(xf 在 0x 處可導(dǎo)且在 0x 處取極值時(shí)才有 0)( ?? xf 。以上兩點(diǎn)都是實(shí)際做題中經(jīng)常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??；2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 2. 討論方程根的情況。這一部分常用定理有零值定理（結(jié)論部分為 0)( ??f ）、洛爾定理（結(jié)論部分為 0)( ???f ）；常用到構(gòu)造輔助函數(shù)法；在作題時(shí)，畫輔助圖會(huì)起到很好的作用，尤其是對(duì)于討論方程根個(gè)數(shù)的題目，結(jié)合函數(shù)圖象會(huì)比較容易判斷。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃 前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 3. 理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件： 函數(shù) )(xf 在 區(qū)間 I 上的 0)( ??? xf ，則 )(xf 在 I 上是凸的；若)(xf 在 I 上的 0)( ??? xf ，則 )( xf 在 I 上是凹的； )(xf 在點(diǎn) 0x 處有 0)( ??xf 且 0)( 0 ??? xf ，則當(dāng) 0)( 0 ??? xf 時(shí) )( 0xf 為極大值，當(dāng) 0)( 0 ??? xf 時(shí) )( 0xf 為極小值。 201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常 用的解題方向： ； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 其中， A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義， )(xf?是 )(xf 的變化率， )(xf? 是 )(xf? 的變化率 。 0)( ??xf 可以說明函數(shù)是增函數(shù)，典型圖像是 ； 0)( ??? xf可以說明函數(shù) )(xf 的變化率在區(qū)間 I上是遞減的，包括以下兩種可能： 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 74201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化 為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 a. 此時(shí) )(xf? 為正，且隨 x 變大而變?。ù笮￡P(guān)系可參考圖 3）； 201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： ； 2. 利用洛必達(dá)法則 ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 b. 此時(shí) )(xf? 為負(fù)，隨 x 變大而變?。ù笮￡P(guān)系可參考圖 3）； 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極 限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮?。?，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 同樣， 0)( ??? xf 也只有兩種對(duì)應(yīng)圖像： 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用 的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 c. 此時(shí) )(xf? 為正，隨著 x 變大而變大；2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 74201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù) 第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 d. 此時(shí) )(xf? 為負(fù)，隨 x 變大而變大。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù) 學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： ； ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 所以，當(dāng) 0)( ??? xf 時(shí)，對(duì)應(yīng) 或 的函數(shù)圖像，是凸的；當(dāng) 0)( ??? xf 時(shí)，對(duì)應(yīng) 或 的函數(shù)圖像，是凹的。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“ 0)( ??xf 且 0)( 0 ??? xf ”，這從圖像上也很容易理解：滿足 0)( ??? xf 的圖像必是凸的，即 或 ，當(dāng)0)( ??xf 且 0)( 0 ??? xf 時(shí)不就一定是 的情況嗎。2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 74201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； 2. 利用洛必達(dá)法則 ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 對(duì)于定積分的應(yīng)用部分，首先需要對(duì)微元法熟練掌握。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識(shí)點(diǎn)之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對(duì)于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習(xí)才能真正體會(huì)其思想。在此結(jié)合函數(shù)圖像與對(duì)應(yīng)的微元法核心式來歸納微元 法的三種常見類型： 201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 742020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： ； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比察堿搗怒曰恰狹功咖檢缺士戶誓凰釬墟鈉乳忱餓芭繃滓薯茫幣蟬怠濃前閹淘筏佯鄰座攝逗基唱濤衷凹僳痕埂廷蒼訟爹填倔堡用萬藤滋鋁茂孽鏡窮奎 1. 薄桶型 . 本例求的是由平面圖型 a≤ x≤b,0≤ y≤ f(x)繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積 dxxxfdv )(2??