【文章內(nèi)容簡介】 以下關(guān)于矩陣 A 的敘述正確的是 ( ) A． ATA 是 ss 對稱矩 B． ATA=AAT C． (ATA)T =AAT D． AAT是 ss 對稱矩陣 5．設(shè) ? 1， ? 2， ? 3， ? 4， ? 5 是四維向量，則 ( ) A． ? l， ? 2， ? 3， ? 4， ? 5 一定線性無關(guān) B． ? l， ? 2， ? 3， ? 4， ? 5 一定線性相關(guān) C． ? 5 一定可以由 ? 1， ? 2， ? 3， ? 4 線性表出 D． ? 1 一定可以由 ? 2， ? 3， ? 4， ? 5 線性表出 6．設(shè) A 是 n 階方陣，若對任意的 n 維向量 X 均滿足 AX=0，則 ( )A． A=0 B． A=EC．秩 (A)=n D． 0秩 (A)n 7．設(shè)矩陣 A 與 B 相似，則以下結(jié)論 不正確 ． ． ． 的是 ( ) 浙 02198 線性代數(shù) 試卷 第 11頁（共 54頁） A．秩 (A)=秩 (B) B． A 與 B 等價 C． A 與 B 有相同的特征值 D． A 與 B 的特征向量一定相同 8．設(shè) 1? ， 2? ， 3? 為矩陣 A=??????????200540093 的 三個特征值，則1? 2? 3? =( )A． 10 B． 20C． 24 D． 30 9．二次型 f(x1， x2， x3)= 323121232221 222 xxxxxxxxx ????? 的秩為 ( )A． 1 B． 2C． 3 D． 4 10．設(shè) A， B 是正定矩陣，則 ( ) A． AB 一定是正定矩陣 B． A+B 一定是正定矩陣 C． (AB)T一定是正定矩陣 D． AB 一定是負(fù)定矩陣 二、填空題 (本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分 ) 11．設(shè) A= ???????? 11 01， k 為正整數(shù)，則 Ak= ． 12．設(shè) 2 階可逆矩陣 A 的逆矩陣 A1= ???????? 43 21 ，則矩陣 A=__________． 13．設(shè)同階方陣 A， B 的行列式分 別 為 3， 5，則 det（ AB） =_________. 14．設(shè)向量 ? =(6, 2, 0, 4), ? =（ 3， 1， 5， 7），向量 ? 滿足 2? +? =3? ,則 ? =____________. 15．實(shí)數(shù)向量空間 V={(x1, x2, …, xn)|3 x1+ x2+…+ xn =0}的維數(shù)是 _______． 16．矩陣 A=????????????????541420713032的秩 =___________. 17．設(shè) 21??, 是齊次線性方程組 Ax=0 的兩個解，則 A（ 3 21 7??? ） =_________. 18．設(shè)方陣 A 有一個特征值為 0，則 det(A3)=__________. 19．設(shè) P 為正交矩陣，若（ Px, Py） =8, 則（ x, y） =_________. 20．設(shè) f(x1， x2， x3)= 3121232221 2224 xxxtxxxx ???? 是正定二次型，則 t 滿足 _____. 三、計(jì)算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分） 21．計(jì)算行列式bacc2c2b2cabb2a2a2cba?????? 22．判斷矩陣 A=??????????????7600650000320014是否可逆，若可逆，求其逆矩陣． 23．求向量組 1? =(1， 2， 1， 2), 2? =(2， 5， 6， 5), 3? =(3， 1， 1， 1), 4? =(1， 2， 7， 3)的一個最大線性無關(guān)組，并將其余向量通過該最大線性無關(guān)組表示出來． 浙 02198 線性代數(shù) 試卷 第 12頁（共 54頁） 24．求齊次線性方程組???????????????????03204230532432143214321xxxxxxxxxxxx 的一個基礎(chǔ)解系及其結(jié)構(gòu)解． 25．求矩陣 A=????????????? 3142281232 的特征值和特征向量． 26．寫出下列二次型的矩陣，并判斷其是否是正定二次型． f(x1， x2， x3)= 3231212221 6223 xxxxxxxx ???? 四、證明題 (本大題共 1 小題， 6 分 ) 27．設(shè)方陣 A 滿足 (A+E)2=E，且 B 與 A 相似，證明： B2+2B=0． 全國 2022 年 4 月高等教育自學(xué)考試 說明： AT表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣， A*表示矩陣 A 的伴隨矩陣， E 是單位矩陣， |A|表示方陣 A 的行列式。 ，正確的是（ ） A. 2 0 0 1 0 020 0 1 0 2 1? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?B. 1 2 3 3 6 934 5 6 4 5 6? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?C. 105 1002??????? D. 1 2 0 1 2 00 3 5 0 3 5??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? A= 1 0 02 2 03 4 0??????，那么矩陣 A 的列向量組的秩為（ ） 1? =（ 1， 4） ， 2? =（ 1， 2） ， 3? =（ 3， 8），若有常數(shù) a,b使 a 1? b 2? 3? =0,則 （ ） =1,b=2 =1,b=2 =1,b=2 =1,b=2 1? =（ 1， 2， 0）， 2 ? =（ 2， 4， 0） ， 3? =（ 3， 6， 0）， 4 ? =（ 4， 9， 0）的極大線性無關(guān)組為（ ） A. 1? ， 4? B. 1? ， 3? C. 1? ， 2? D. 2? ， 3? 浙 02198 線性代數(shù) 試卷 第 13頁（共 54頁） ，是初等矩陣的為（ ） A. 1110 1 00 0 1??????B. 2 0 00 2 00 0 2?????? C. 1 0 80 1 00 0 1?????? D. 1 0 80 1 80 0 1?????? A、 B 均為 n 階可逆矩陣 ，且 C=??????0BA0，則 C1 是（ ） A. 11B00A????????B. 110BA0????????C. 110AB0???????? D. 11A00B???????? A 為 3階矩陣， A 的秩 r(A)=3，則矩陣 A*的秩 r(A*)=（ ） ? =3 是可逆矩陣 A的一個特征值，則矩陣 114???????A有一個特征值等于（ ） A. 43? B. 34?4 3 A= 1 0 02 1 23 1 2???????，則 A 的對應(yīng)于特征值 ? =0 的特征向量為（ ） A.（ 0， 0， 0） TB.（ 0， 2， 1） TC.（ 1， 0， 1） T D.（ 0， 1， 1） T （ ） A. 1223??????B. 3336????????C. 0331??????? D. 1001???????? 二、填空題（本大題共 10 小題，每題 2 分，共 20 分） 1 1 11 2 31 4 9= A= 112231?????????， B=（ 1， 2， 3），則 BA= ___________. 3 0 4 01 1 1 10 1 0 05 3 2 2??中第 4 行各元素的代數(shù)余子式之和為 ___________. A， B 為 n 階方陣，且 AB=E， A1B=B1A=E，則 A2+B2=___________. ? =（ 1， 2， 3， 4），則 ? 的單位化向量為 ___________. 3 階方陣 A 的行列式 |A|=12，則 |A3|=___________. 3 維向量 ? =（ 1， 3， 3）， ? =（ 1， 0， 1）則 ? +3? =___________. n 階矩陣 A 的各行元素之和均為 0，且 A 的秩為 n1，則齊次線性方程組 Ax=0 的通解為 ___________. 1， 2，…， n 是 n 階矩陣 A 的 n 個特征值，則矩陣 A 的行列式 |A|=___________. 浙 02198 線性代數(shù) 試卷 第 14頁（共 54頁） f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩為 ___________. 三、計(jì)算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分） 矩陣 A= 1 1 12 1 01 0 1???????， B= 1 0 02 1 00 2 1??????，求：（ 1） ATB； （ 2） | ATB |. A= 1 2 32 2 13 4 3??????， B= 2153??????， C= 132031????????，且滿足 AXB=C， 求矩陣 X. 1? =(1,2,1,0)T， 2? =（ 1,1,1,2） T， 3? =（ 3,4,3,4） T， 4? =（ 4,5,6,4） T的秩與一個極大線性無關(guān)組 . 1 2 3 41 2 3 41 3 4x x 3 x x 12 x x x 4 x 2x 4 x 5 x 1? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??是否有解，有解時求出它的解 . 1? =（ 1， 1， 0） T， 2? =（ 1， 0， 1） T， （ 1）用施密特正交化方法將 1? ， 2? 化為正交的 1? ， 2? ；（ 2）求 3? ，使 1? ， 2? ， 3? 兩兩正交 . f= 2221 2 3 1 3x x x 2x x??? ，經(jīng)正交變換 x=Py 化 成了標(biāo)準(zhǔn)形 f= 2212y 2y? ，求所用的正交矩陣 P. 四、證明題（本大題共 6 分） A 為 5 階反對稱矩陣，證明 |A|=0. 全國 2022 年 7 月高等教育自學(xué)考試 1．設(shè) 1 0 13 5 00 4 1A??????????，則 TAA =（ ） A． 49 B． 7C． 7 D． 49 2．設(shè) A 為 3 階方陣，且 4A? ，則 2A??（ ） A． 32 B． 8C． 8 D． 32 3．設(shè) A， B 為 n 階方陣，且 AT=A， BT=B，則下列命題正確的是（ ） A．（ A+B） T=A+BB．（ AB） T=ABC． A2 是對稱矩陣 D． B2+A 是對稱陣 4．設(shè) A， B， X， Y 都是 n 階方陣，則下面等式正確的是（ ） A．若 A2=0，則 A=0B．（ AB） 2=A2B2C．若 AX=AY，則 X=Y D．若 A+X=B，則 X=BA 5．設(shè)矩陣 A=1 1 3 10 2 1 40 0 0 50 0 0 0?????????，則秩（ A） =（ ） A． 1 B． 2C． 3 D． 4 浙 02198 線性代數(shù) 試卷 第 15頁（共 54頁） 6．若方程組 02020kx zx ky zkx y z????? ? ???? ? ??僅有零解，則 k=（ ） A． 2 B． 1C． 0 D． 2 7．實(shí)數(shù)向量空 間 V={（ x1， x2， x3） |x1 +x3=0}的維數(shù)是（ ） A． 0 B． 1C． 2 D． 3 8．若方程組 1 2 323232132( 3 ) ( 4) ( 2)x x xxxxx??? ? ? ?? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ??有無窮多解，則 ? =（ ） A． 1 B． 2C． 3 D． 4 9．設(shè) A= 1000 1 00 0 2????????，則下列矩陣中與 A 相似的是（ ） A． 1 0 00 2 00 0 1????????B． 1 1 00 1 00 0 2????????C． 1000 1 10 0 2???????? D． 1 0 10 2 00 0 1???????? 10．設(shè)實(shí)二次型 221 2 3 2 3( , , )f x x x x x??，則 f（ ） A．正定 B．不定 C．負(fù)定 D．半正定 11．設(shè) A=(1,1,2)T， B=(0,2,3)T,則 |ABT|=______. 12．設(shè)三階矩陣 ? ?1 2 3,A ? ? ?? ，其中 ( 1,2,3)i i? ? 為 A 的列向量，且 |A|=