【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 AB ABD? ? ? ? ? ? ? ? ?cm； ∴小紅的連衣裙掛在曬衣架后總長(zhǎng)度 122cm＞曬衣架高度 AH=120cm． 點(diǎn)評(píng)：這是一道幾何應(yīng)用題，體現(xiàn)了新課標(biāo)理念：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并服務(wù)于生 活。背景情境的設(shè)置具有普遍性和公平性。涉及到知識(shí)點(diǎn)有：平行線的判定、等腰三角形的性質(zhì)或三角形相似、銳角三角函數(shù)等。題目設(shè)置由易到難，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的考察，以及由理論到實(shí)踐的原則，比較全面地考察了學(xué)生對(duì)幾何基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況和對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力。題目平實(shí)、新穎、綜合性強(qiáng)。 （ 2022 湖北黃石 ， 22， 8 分） 如圖（ 9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽(yáng)能熱水器：先安裝支架 AB 和 CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在 AD 上．為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定： AD 與水平線夾角為 1，且在水平線上的的射影 AF 為 1． 4m． 現(xiàn)已測(cè)量出屋頂斜面與水平面夾角為 2，并已知 tan 1＝ 1． 082，tan 2＝ 0． 412．如果安裝工人已確定支架 AB 高為 25cm，求支架 CD 的高（結(jié)果精確到 1cm） ？ 【解析】 如圖所示， 過(guò) A 作 AE∥ BC 交 CD 于點(diǎn) E，則所求 CD 轉(zhuǎn)化為 CE＋ DE，而 CE＝AB＝ 25cm，只要求出 DE，而 DE＝ DF－ EF， 分別在 Rt△ DAF 與 Rt△ EAF 中表示出 DF與 EF． 【答案】如圖所示，過(guò) A 作 AE∥ BC 交 CD 于點(diǎn) E，則∠ EAF＝∠ CBG＝ θ2， 且 EC＝ AB＝ 25cm ????????? 2 分 Rt△ DAF 中：∠ DAF＝ θ1， DF＝ AFtanθ1 ??? 1Fθ2θ1EDCBA分 Rt△ EAF 中：∠ EAF＝ θ2， EF＝ AFtanθ2 ∴ DE＝ DF－ EF＝ AF(tanθ1－ tanθ2) 又∵ AF＝ 140cm， tanθ1＝ 1． 082， tanθ2＝ 0． 412 ∴ DE＝ 140 (1． 082－ 0． 412)＝ 93． 8 ∴ DC＝ DE＋ EC＝ 93． 8＋ 25＝ 118． 8 cm≈ 119cm 答：支架 DC 的高應(yīng)為 119cm． 【點(diǎn)評(píng)】 本題著重考查了解直角三角形的應(yīng)用，難點(diǎn)在于作出輔助線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中及線段和差． （ 2022年四川省德陽(yáng)市，第 6題、 3分．）某時(shí)刻海上點(diǎn) P處有一客輪，測(cè)得燈塔 A位于客輪 P的北偏東 30176。方向，且相距 20海里 .客輪以 60海里 /小時(shí)的速度沿北偏西 60176。方向航行 32 小時(shí)到達(dá) B處，那么 tan∠ ABP= C. 55 D. 552 【解析】 如圖 6 所示，根據(jù)題意可知∠ APB=90176。．且 AP=20, PB=60 23 =40. 所以 tan∠ABP= 20 140 2PAPB ??,故選 D． 【答案】 D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵 （ 2022 連云港， 24， 10 分）（本題滿分 10 分）已知 B 港口位于 A 觀測(cè)點(diǎn)北偏東 176。方向，且其到 A 觀測(cè)點(diǎn)正北方向的距離 BD 的長(zhǎng)為 16km。一艘貨輪從 B 港口以 40km/h 的速度沿如圖所示的 BC 方向航行， 15min 后到達(dá) C 處?，F(xiàn)測(cè)得 C 處位于Ａ觀測(cè)點(diǎn)北偏東 176。方向。求此時(shí) 貨輪與 A 觀測(cè)點(diǎn)之間的距離 AC 的長(zhǎng)（精確到 ） . (參考數(shù)據(jù)： 176?！郑?176?！?， 176。≈， 176?！郑?176?！?，2 ≈， 5 ≈) G 東北DA 觀測(cè)點(diǎn)CB 【解析】過(guò)點(diǎn) B 作 AC 的垂線，把所求線段 AC 換為兩線段的差。利用 Rt△ ABH 和 Rt△ BCH求線段 AH、 CH 的長(zhǎng)，利用 AH－ CH 確定 AC 的長(zhǎng)。 【答案】 BC=401560 =10. 在 Rt△ ADB 中， sin∠ DAB= DBAB , 176?！?。 所以 AB= DABDB?sin ≈ =20. DA 觀測(cè)點(diǎn)CBH 如圖，過(guò)點(diǎn) B 作 BH⊥ AC，交 AC 的延長(zhǎng)線于 H。 在 Rt△ AHB 中， ∠ BAH=∠ DAC－ ∠ DAB=176。―37176。=176。 ， tan∠ BAH= BHAH ,= BHAH ,AH =2BH. BH2＋ CH2=AB 2,BH 2+(2BH)2=202,BH=4 5 ,所以 AH=8 5 ， 在 Rt△ AHB 中， BH2＋ CH2=BC 2， CH= 210 80 2 5?? 所以 AC=AH―CH=8 5 ―2 5 ＝ 6 5 ≈. 【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是把方位角放到相應(yīng)的直角三角形中，找到直角三角形利用三角函數(shù)求出線段的長(zhǎng)。 (2022 山東 省 聊城， 22， 8 分）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島 P 處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖），小船從 P 處出發(fā)，沿北偏東 60176。方向劃行 200 米到 A 處，接著向正南方向劃行一段時(shí)間到 B 處 .在 B 處小亮觀測(cè)媽媽所在的 P 處在北偏西 37176。的方向上，這時(shí)小亮與媽媽相距多少米（精確到 1 米）？ 解析：題目相當(dāng)求線段 PB 長(zhǎng)， 需要把圖形轉(zhuǎn)化 為解直角三角形來(lái)解決，過(guò)點(diǎn) P 作 PC⊥ AB 于 C，先解 Rt△ APC，求出 PC 長(zhǎng)，在解 Rt△ PBC 即可求出 PB 長(zhǎng) . 解：過(guò)點(diǎn) P 作 PC⊥ AB 于 C， 在 Rt△ APC 中， AP=200m，∠ ACP=90176。，∠ PAC=60176。 . ∴ PC= 200 sin60176。 =200 23 =100 3 m. ∵在 Rt△ PBC 中， sin37176。 = PBPC ， ∴ PB= ???? inPC 289（ m） 答：小亮與媽媽相距約 289 米 . （ 2022 山東泰安 ， 13， 3 分） 如圖，為測(cè)量某物體 AB 的高度，在 D 點(diǎn)測(cè)得 A 點(diǎn)的仰角為30186。，朝物體 AB方向前進(jìn) 20米到達(dá)點(diǎn) C，再次測(cè)得 A點(diǎn)的仰角為 60186。，則物體的高度為（ ） 3 米 米 3 米 D. 2033 【解析】設(shè) AB 高為 x 米，在 Rt△ ABD中，∠ D=30186。，所以 BD= 3 AB= 3 x，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=60186。，所以 BC= 33 AB= 33 x，因?yàn)?BDBC=CD，所以 3 x 33 x=20，解得 x=10 3 ，即物體的高為 10 3 米 . 【答案】 A. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用， 分別在兩個(gè)直角三角形中，設(shè)出未知數(shù)，由銳角三角函數(shù)把與已知線段在同一條直線上的兩條未知線段表示出來(lái)，然后構(gòu)建方程，解方程即可求出未知線段的長(zhǎng)． （ 2022 四川成都， 17， 8 分） 如圖，在一次測(cè)量活動(dòng)中，小華站在離旗桿底部 (B 處 )6 米的D 處，仰望旗桿頂端 A，測(cè)得仰角為 60176。 ，眼睛離地面的 距離 ED 為 米．試幫助小華求出旗桿 AB的高度． (結(jié)果精 確 到 ， 3 ? ) 解析 ：由題意可知，四邊形 BCED 是矩形，所以 BC=DE，然后在 Rt△ ACE 中，根據(jù) tan∠AEC=ACEC ,可求出 AC的長(zhǎng)。 答案 ：由題意可知，四邊形 BCED 是平行四邊形， 所以 CE=BD=6米， CB=ED= 在 Rt△ ACE中， tan∠ AEC=ACEC 即 tan60176。 = 6AC ∴ AC= 3 6 6??? (米 ) ∴ AB=AC+CB=+=（米） 點(diǎn)評(píng) ：解直角三角形問(wèn)題時(shí)，要選準(zhǔn)三角函數(shù)并加以應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵。 （ 2022 貴州貴陽(yáng)， 19， 10 分）小亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹(shù)夏季洪峰匯成巨瀑時(shí)的落差 .如圖，他利用測(cè)角儀站在 C 點(diǎn)處測(cè)得∠ ACB=68176。 ,再沿 BC方向走 80m到達(dá) D處，測(cè)得 ∠ADC=34176。 ,求 落差 AB.（測(cè)角儀高度 忽略不計(jì)，結(jié)果精確到 1m，可以使用計(jì)算器） 解析： 由已知可得△ ACD 是等腰三角形，故得 AC=CD=80,在 Rt△ ACB 中解直角三角A B C D 第 19題圖 形可求 AB. 解：∵∠ ACB=68176。 , ∠ D=34176。 , ∴ ∠ CAD=68176。 34176。 =34176。 , ∴ ∠ CAD=∠ D, ∴ AC=CD=80. 在 Rt△ ABC中， AB=AC sin68176。 =80 sin68176。 =74, ∴瀑布的落差約為 74m. 點(diǎn)評(píng) ： 解直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用是中考熱點(diǎn)之一 ，解 題 時(shí) ， 首先是根據(jù)題意畫(huà)出圖形（已經(jīng)畫(huà)圖的則需要弄懂圖形所表示的實(shí)際意義 ） ，解直角三角形時(shí)就結(jié)合圖形分清圖形中哪個(gè)是直角三角形， 已知銳 角的對(duì)邊、鄰邊 和 斜邊．此外 還 應(yīng)正確理解俯角、仰角等名詞術(shù)語(yǔ)． （ 2022 浙江麗水， 19， 6 分）學(xué)校校園內(nèi)有一小山坡，經(jīng)測(cè)量，坡角∠ ABC=30176。，斜坡AB 長(zhǎng)為 12 米 .為方便學(xué)生行走，決定開(kāi)挖小山坡，使斜坡 BD 的坡比是 1:3（即為 CD 與BC 的長(zhǎng)度之比）， A， D 兩點(diǎn)處于同一鉛垂線上，求開(kāi)挖后小山坡下降的高度 AD. 【解析】：因?yàn)?AD=ACCD，故欲求 AD，只需先求 AC、 △ ABC，求出 BC，再根據(jù)坡比即可求出 CD. 【解】 ：在 Rt△ ABC 中，∠ ABC=30176。， ∴ AC=21 AB=6， BC=ABcos∠ ABC=12 23 =6 3 . ∵斜坡 BD 的坡比是 1:3，∴ CD=31 BC=2 3 ， ∴ AD=ACCD=62 3 . 答：開(kāi)挖后小山坡下降的高度 AD 為（ 62 3 ）米 . 【點(diǎn)評(píng)】： 把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，再運(yùn)用直角三角形的關(guān)系進(jìn)行求解 ． 利用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn)有三處 , 一是銳角三角函數(shù)關(guān)系式的選擇 , 二是特殊角的三角函數(shù)值的識(shí)記 , 三是計(jì)算是否正確 . （ 2022 湖北隨州， 20,9 分）在一次暑假旅游中，小亮在仙島湖的游船上（ A 處），測(cè)得湖西岸的山峰太婆尖（ C 處）和湖東岸的山峰老君嶺（ D 處）的仰角都是 45176。，游船向東航行100 米后（ B 處），測(cè)得太婆尖、老君嶺的高度為多少米？（ 3 ? ，結(jié)果精確到米）。 解析： 設(shè)太婆尖高 h1 米 ， 老君嶺高 h2 米。 可分別在直角三角形中利用正切值表示出水平線段的長(zhǎng)度，再利用移動(dòng)距離為 AB=100 米，可建立關(guān)于 h h2 的方程組，解這個(gè)方程組求得兩山峰高度。 答 案： 設(shè)太婆尖高 h1 米 ， 老君嶺高 h2 米 ， 依題意 ，有 ????????????10060t a n45t a n10045t a n30t a n2211????hhhh )(50)13(5045tan60tan 1001 ???????? ??h （ 米 ） 3311 0 030t a n45t a n1 0 02 ???? ??h )(50)33(50)13(350 ???????? （米） 答：太婆尖高度為 137米，老君嶺高度為 237米。 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直角三角形的解法。解題的關(guān)鍵是要首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題． （ 2022 浙江省 紹興 ， 19， 8 分 ） 如圖 1，某超市從一樓到二樓的電梯 AB 的長(zhǎng)為 米，按坡角∠ BAC 為 32176。 . （ 1）求一樓與二樓之間的高度 BC（精確到 米）； （ 2）電梯每級(jí)的水平級(jí)寬均是 米，如圖 ，該電梯以每少上升 2 級(jí)的高度運(yùn)行， 10 秒后他上升了多少米（精確到 米）？ 備用數(shù)據(jù)： sin32176。 =， cos32176。 =， tan32176。 =. FE第 20 題圖60 o30 o45o45 oD (老君嶺 )C （ 太婆尖 ）BA 【解析】（ 1） 在 Rt△ ABC 中，已知 ∠ BAC=32176。，斜邊 AB 的長(zhǎng)為 米 ，根據(jù) 銳角三角函數(shù)的定義即可求得一樓與二樓之間的高度 BC． （ 2）先計(jì)算 1 級(jí)電梯的高，再根據(jù) 10 秒鐘電梯上升了 20 級(jí)可 計(jì)算 10 秒后他上升的高度 ． 【答案】 解：（ 1）∵ sin∠ BAC= ABBC ，∴ BC=AB sin32176。 = ≈ 米 . （ 2）∵ tan32176。 = 級(jí)高級(jí)寬 ， ∴級(jí)高 =級(jí)寬 tan32176。 = =， ∵ 10 秒鐘電梯上升了 20 級(jí)，∴小明上升的高度為： 20 米 . 【點(diǎn)評(píng)】 正確地構(gòu)造出直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解，是解決此題的關(guān)鍵 ． （ 2022 四川 省 資陽(yáng) 市 ， 20， 8 分） 小強(qiáng)在教學(xué)樓的點(diǎn) P 處觀察對(duì)面的辦公大樓．為了測(cè)量點(diǎn) P 到對(duì)面辦公大樓上部 AD 的距離，小強(qiáng)測(cè)得辦公大樓頂部點(diǎn) A 的仰角為 45176。，測(cè)得辦公大樓底部點(diǎn) B 的俯角為 60176。，已知辦公