【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 具體思維方法有兩種：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想 —— 化歸思想，即把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已 知的問(wèn)題 . 考點(diǎn)四、根的判別式 acb 42? 根的判別式的作用： ①定根的個(gè)數(shù)； ②求待定系數(shù)的值； ③應(yīng)用于其它 。 典型例題： 例 若關(guān)于 x 的方程 0122 ??? xkx 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范圍是 。 例 關(guān)于 x 的方程 ? ? 021 2 ???? mmxxm 有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值范圍是 ( ) A. 10 ?? 且mm B. 0?m C. 1?m D. 1?m 例 已知關(guān)于 x 的 方程 ? ? 0222 ???? kxkx (1)求證：無(wú)論 k 取何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根； 8 (2)若等腰 ? ABC 的一邊長(zhǎng)為 1，另兩邊長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根，求 ? ABC 的周長(zhǎng)。 例 已知二次三項(xiàng)式 2)6(9 2 ???? mxmx 是一個(gè)完全平方式，試求 m 的值 . 例 m 為何值時(shí)，方程組??? ?? ?? .3 ,62 22 ymx yx 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解？有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解？ 針對(duì)練習(xí)： ★ 當(dāng) k 時(shí)，關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 92 ??kxx 是完全平方式。 ★ 當(dāng) k 取何值時(shí)，多項(xiàng)式 kxx 243 2 ?? 是一個(gè)完全平方式？這個(gè)完全平方式是什么？ ★ 已知方程 022 ??? mxmx 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 m 的值是 . ★★ k 為何值時(shí)，方程組??? ???? ?? .0124 ,22 yxykxy （ 1）有兩組相等的實(shí)數(shù)解，并求此解； （ 2）有兩組不相等的實(shí)數(shù)解； （ 3）沒(méi)有實(shí)數(shù)解 . ★ ★★ 當(dāng) k 取何值時(shí)，方程 042344 22 ?????? kmmxmxx 的根與 m 均為有理數(shù)？ 考點(diǎn)五、方程類(lèi)問(wèn)題中的“分類(lèi)討論” 典型例題： 例 關(guān)于 x 的方程 ? ? 0321 2 ???? mxxm ⑴有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 m 為 , ⑵只有一個(gè)根，則 m 為 。 例 不解方程，判斷關(guān)于 x 的方程 ? ? 32 22 ????? kkxx 根的情況。 例 如果關(guān)于 x 的方程 022 ??? kxx 及方程 022 ??? kxx 均有實(shí)數(shù)根，問(wèn)這兩方程 是否有相同的根？若有，請(qǐng)求出這相同的根及 k 的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。 考點(diǎn)六、應(yīng)用解答題 ⑴“碰面”問(wèn)題；⑵“復(fù)利率”問(wèn)題；⑶“幾何”問(wèn)題； ⑷“最值”型問(wèn)題；⑸“圖表”類(lèi)問(wèn)題 典型例題： 五羊足球隊(duì)的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯 一次，共碰杯 990 次，問(wèn)晚宴共有多少人出席？ 某小組每人送他人一張照片，全組共送了 90 張，那么這個(gè)小組共多少人？ 北京申奧成功，促進(jìn)了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開(kāi)發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放市場(chǎng)，根據(jù)計(jì)劃，第一年投入資金 600 萬(wàn)元，第二年比第一年減少 31 ，第三年比第二年減少 21 ，該產(chǎn)品第一年收入資金約 400 萬(wàn)元，公司計(jì)劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收回，還要盈利 31 ，要 實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，該產(chǎn)品收入的年平均增長(zhǎng)率約為多少？（結(jié)果精確到 ， ? ） 某商店經(jīng)銷(xiāo)一種銷(xiāo)售成本為每千克 40 元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，若按每千克 50 元銷(xiāo)售，一個(gè)月能售出 500千克，銷(xiāo)售單價(jià)每漲 1 元，月銷(xiāo)售量就減少 10 千克，針對(duì)此回答： （ 1）當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)定為每千克 55 元時(shí)，計(jì)算月銷(xiāo)售量和月銷(xiāo)售利潤(rùn)。 （ 2）商店想在月銷(xiāo)售成本不超過(guò) 10000 元的情況下，使得月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到 8000 元， 銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少？ 將一條長(zhǎng) 20cm 的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度 為周長(zhǎng)作成一個(gè)正方形。 （ 1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于 17cm2，那么這兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為多少？ （ 2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于 12cm2 嗎？若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不 能，請(qǐng)說(shuō)明理由。 （ 3）兩個(gè)正方形的面積之和最小為多少？ A、 B 兩地間的路程為 36 千米 .甲從 A 地，乙從 B 地同時(shí)出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲再走 2 小時(shí) 30 分到達(dá) B 地，乙再走 1 小時(shí) 36 分到達(dá) A 地，求兩人的速度 . 9 考點(diǎn)七、根與系數(shù)的關(guān)系 ⑴前提： 對(duì)于 02 ??? cbxax 而言，當(dāng)滿足① 0?a 、② 0?? 時(shí)， 才能用韋達(dá)定理。 ⑵主要內(nèi)容： acxxabxx ????2121 , ⑶應(yīng)用： 整體代入求值。 典型例題： 例 已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)恰是方程 0782 2 ??? xx 的兩根，則這個(gè)直角三 角形的斜邊是（ ） A. 3 D. 6 例 已知關(guān)于 x 的方程 ? ? 011222 ???? xkxk 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 21,xx ， （ 1）求 k 的取值范圍； （ 2）是否存在實(shí)數(shù) k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出 k 的值；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 例 小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為 1）時(shí)，小明因看錯(cuò) 常數(shù)項(xiàng)，而得到解為 8 和 2，小紅因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，而得到解為 9 和 1。你知道 原來(lái)的方程是什么嗎？其正確解應(yīng)該是多少？ 例 已知 ba? ， 0122 ??? aa ， 0122 ??? bb ，求 ??ba 變式：若 0122 ??? aa ， 0122 ??? bb ，則 abba? 的值為 。 例 已知 ??, 是方程 012 ??? xx 的兩個(gè)根，那么 ?? ?? 34 . 針對(duì)練習(xí)： 解方程組??? ?? ?? )2(5 )1(,322 yxyx 2．已知 472 ??? aa ， 472 ??? bb )( ba? ，求baab?的值。 已知 21,xx 是方程 092 ??? xx 的兩實(shí)數(shù)根，求 6637 22231 ??? xxx 的值。 第十八章 勾 股定理 一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖： 二、主要內(nèi)容： 直角三角形的性質(zhì)與判定小結(jié) （ 1）直角三角形的性質(zhì)： 角的關(guān)系：直角三角形兩銳角互余。 邊的關(guān)系：直角三角形斜邊大于直角邊。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。 邊角關(guān)系：直角三角形中， 30176。的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 （ 2）直角三角形的判定： ①有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。 ②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。 ③兩邊的平方和等于第三邊（最長(zhǎng)的邊）的平方的三角形是直角三角形。 已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，會(huì)求第三邊長(zhǎng)。 設(shè) 直 角 三 角 形 的 兩 直 角 邊 為 a,b, 斜 邊 長(zhǎng) 為 c ， 由 勾 股 定 理 知 道 ： 222 cba ?? 。 變 形 得 ：222222 , bacacbbca ?????? ，因此已知直角三角形的任意兩邊，利用勾股定理可求出第三條邊。 已知一邊和其它兩邊關(guān)系或已知三邊關(guān)系，利用勾股定理列方程。 用勾股定理證明有關(guān)平方關(guān)系，作長(zhǎng)為 n 的線段。 當(dāng)直角三角形中含有 30176。與 45176。角時(shí)，已知一邊，會(huì)求其它的邊： （ 1）含有 30176。的直角 三角形的三邊的比為： 1： 2:3 。 實(shí)際問(wèn)題 （判定直角三角形） 實(shí)際問(wèn)題 （直角三角形邊長(zhǎng)計(jì)算） 勾股定理 勾股定理的逆定理 10 （ 2）含有 45176。的直角三角形的三邊的比為： 2:1:1 。 （ 3）等邊三角形的邊長(zhǎng)為 a ，則高為 23a ，面積為 243a 。 無(wú)論是用勾股定理還是逆定理首先要找最長(zhǎng)邊，同時(shí)注意書(shū)寫(xiě)格式。 記一些常用的勾股數(shù)。如： 3， 4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25； 8， 15， 17； 9， 40， 41 等等。它們同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，仍滿足勾股定理的逆定理。 三、 例題與習(xí)題： 1. 在△ ABC中 ,∠ A=90176。 ,則下列式子中不成立的是（ ） . A. 222 ACABBC ?? B. 222 BCACAB ?? C. 222 ACBCAB ?? D. 222 ABBCAC ?? . 2．已知 ABC△ 的三 邊長(zhǎng)分別為 5， 13， 12，則 ABC△ 的面積為（ ） A． 30 B． 60 C． 78 D．不能確定 3．△ ABC 中，∠ A、∠ B、∠ C 的對(duì)邊分別是 a、 b、 c，下列命題中的假命題是（ ） （ A） 如果∠ C－∠ B=∠ A，則△ ABC 是直角三角形 （ B） 如果 c2= b2— a2，則△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90176。 （ C） 如果（ c＋ a）（ c－ a） =b2，則△ ABC 是直角三角形 （ D） 如果∠ A：∠ B：∠ C=5： 2： 3，則△ ABC 是直角三角形 4. 適合下 列條件的三角形 ABC 中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ） . ① 。51,41,31 ??? cba ② a=b,∠ A=45176。 。③∠ A=32176。 ,∠ B=58176。 。 ④ a=7,b=24,c=25。 ⑤ a=,b=2,c=3. 個(gè) 5． 已知 a、 b、 c 為三個(gè)正整數(shù)，如果 a+b+c=12，那么以 a、 b、 c 為邊能組成的三角形是： ①腰和底不等的 等腰三角形； ② 等邊三角形； ③ 直角三角形； ④ 鈍角三角形．以上符合條件的 正確結(jié)論是 ___________________．（只填序號(hào)） 6．利用圖（ 1）或圖（ 2）兩個(gè)圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱(chēng)為 ，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式是 ． 7．圖 71 是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若 6AC? ， 5BC? ，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為 6 的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖 72 所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”，則這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)是 ． 8．如圖，四邊形 ABCD ， EFGH ， NHMC 都 是正方形，邊長(zhǎng)分別為 a b c， ， ； A B N E F， ， ， ， 五點(diǎn)在同一直線上，則 c? （用含有 ab， 的代數(shù)式表示）． ，梯形 ABCD 中， AB∥ DC，∠ ADC＋∠ BCD＝ 90176。，且 DC＝ 2AB，分別以 DA、 AB、 BC 為邊向梯形外作正方形，其面積分別為 1S 、 2S 、 3S ，則 1S 、 2S 、 3S 之間的關(guān)系是 。 10． 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) ),4( yP 在第一象限內(nèi)，且 OP 與 x 軸正半軸的夾角為 ?60 ，則 y 的值是（ ） A． 334 B． 34 C． 8 D． 2 11． 已知等腰三角形的一條腰長(zhǎng)是 5，底邊長(zhǎng)是 6，則它底邊上的高為 ． 5， 12，則其斜邊上的高為（ ） . A. cm1380 D. cm1360 a 的正三角形 的面積等于 ____________. 14．已知等邊三角形 ABC 的邊長(zhǎng)為 33? ，則 ABC△ 的周長(zhǎng)是 _________，面積是 ___________． 15．如圖，將邊長(zhǎng)為 8cm 的正方形紙片 ABCD 折疊，使點(diǎn) D 落在 BC 邊中點(diǎn) E 處，點(diǎn) A 落在點(diǎn) F 處，折痕為MN，則線段 CN 的長(zhǎng)是（ ）． （ A） 3cm （ B） 4cm （ C） 5cm （ D） 6cm 16．如圖， 矩形 紙片 ABCD 中， AD=9， AB=3，將其折疊， 使點(diǎn) D與點(diǎn) B重合，折痕為 EF，那么折痕 EF 的長(zhǎng)為 ________． 17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， OABC 是正方形，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 (4， 0)，點(diǎn) P 為邊 AB 上一點(diǎn)，∠ CPB＝ 60176。，沿 CP 折疊正方形，折疊后，點(diǎn) B 落在平面內(nèi)點(diǎn) B’處，則 B’點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）． A、 (2， 32 ) B、 (23， 32? ) C、 (