【文章內容簡介】 ? ? ? ? ? ?XnXnnX 2222 11 ??? ???（ 120） 算術平均值的標準差為 ? ? ? ?1XXn??? （ 121） 在實際工作中，測量次數 n只能是一個有限值，為了不產生誤解，建議用算術平均值 標準差和方差的估計值 與來 代替式（ 121）、 X? ?? X? ? ?2 X?（ 120）中的 與 。 ? ?X? ? ?2? X?4.（ 正態(tài)分布時 ） 測量結果的置信度 由上述可知，可用測量值 的算術平均值 作為數學期望 的估計值，即真值 的近似值。 其分布離散程度可用貝塞爾公式等方法求出的重復性標準差 （標準偏差的估計值）來表征度 iXX? 0XX? ?? x?測量值 與真值 （ 或數學期望 ） 偏差 的置信區(qū)間取為 的若干倍 ， 即： iX 0X ? x???kx ???（ 122） 式中 k—— 置信系數 (或稱置信因子 )， 可看作是描述在某一個置信概率情況下 ， 標準偏差 與誤差限之間的一個系數 。 它的大小不但與概率有關 ，而且與概率分布有關 。 對于正態(tài)分布，根據式 (1— 14)，可得測量 誤差落在某區(qū)間的概率表達式 ?x? ? ?? ? ??? ?????? ????kk x xdexpxx)()( 2)}({22)()(21（ 123） 式中 。 為表示方便 ， 這里令 則有： ?kx ???? ??? x（ 124） 置信系數 k值確定之后，則置信概率便可確定。由式（ 124），當 k分別選取 3時，即測量誤差 分別落入正態(tài)分布置信區(qū)間 的概率值分別如下： x? 23? ? ?? ? ?、? ? ? ? 0 . 6 8 2 7p p d??? ? ??????? ? ? ?22 0 . 9 5 4 5p p d??? ? ??????? ? ? ?33 0 . 9 9 7 3p p d??? ? ??????另外 ， 當置信區(qū)間擴大到 時 ， 則有 圖 16為上述不同置信區(qū)間的概率分布示意圖。 ?? ? ?至? ? ? ? 1p p d? ? ????????圖 16不同置信區(qū)間的概率分布示意圖 為表達和計算方便 ， 對 （ 124） 式作積分變換 ， 令 則有 ? ?z???? ? ?ddz ????而從 的積分限 相應得到 的積分限為 ， 將上述關系代入 （ 124） 式得 d? ? ?,kk???? dz? ?KK??， ? ?2212zKKp K z K e d z????? ? ? ? ? ? ?22022zKe dz K??? ? ?? （ 125） 式中 稱為拉普拉斯函數 ， 具體計算比較復雜 。在實際工程應用中 ， 可查前人已做好的拉普拉斯函數專用表格 。 ? ?K? 這里 （ 125） 式表示的置信區(qū)間是以測量數據標準差 作基本單位的數值區(qū)間 ， 置信概率 與 其物理意義完全一樣 。 ?? ?p K z K? ? ? ? ??? kxkp ????[例 ] 對某電池作無系統誤差的等精度測量 ，已知測得的一系列測量數據 服從正態(tài)分布 ， 且標準差 V， 試求被測電池電壓的真值 落在區(qū)間 的概率是多少 。 iV0 .0 2 5? ?0V? ?0 . 0 4 0 . 0 4iiVV??，[解 ] 已知 V， V 所以 0 .0 2 5? ? 0 .0 4k? ?/ 0 . 0 4 / 0 . 0 2 5 1 . 6Kk ??? ? ?可得到 ? ?00 . 0 4 0 . 0 4 0 . 8 9 0 4iip V V V? ? ? ? ? 綜上所述，對于正態(tài)分布，某次測量值 與真值 （或數學期望 ）偏差（測量誤差）： 的可能性為 %，而測量誤差 可能性為%；測量誤差 的可能性為 %時，而測量誤差 的可能性為 %；測量誤差 的可能性則已高達 %，而測量誤差 的可能性僅為 %。亦即每 1000次測量中只有 3次測量誤差的絕對值大于 。而等精度測量次數一般很少超過幾十次，所以通?？梢哉J為測量隨機誤差絕對值大于 的誤差幾乎是不可能出現。因此，對于正態(tài)分布的測量數據一般可以用誤差限 來判別某次測量值的誤差是否 “ 正常 ” 。 iX0X? ???x???x?2??x?2??x?3??x ?3??x3?3?3? 工程上 ， 通常把測量誤差絕對值大于 的測量值作為壞值 ， 而予以剔除 （ 此剔除原則稱為拉伊達準則 ） ；也就是說把測量誤差 作為粗大誤差而予以剔除 。 當等精度測量次數 n大于 30次時 ， 其測量誤差趨近于正態(tài)分布；因而可以用以上方法來估計測量誤差的大小和相應的置信概率 。 但工程上 ， 為保證等精度測量條件和提高測量效率 ， 一般測量次數僅為幾次到一二十次 ， 此時因測量樣本小 ，其誤差已不符合正態(tài)分布 ， 而成為 “ t分布 ” 。 3??3??xnt分布的概率密度函數 為： ? ?t?? ?2 222,12ndttdd dd??????? ??????????????? ???? （ 126） 式中 ， 這里 為測量讀數的平均值 ， 是真值 ， 是 的估計值 ? ? ? ? ? ?00 ? ?n X Xt X X n? ? ?? ? ?X0X ?? ? —— 自由度； n —— 測量次數； —— 伽馬函數 。 1dn??? ? 10 xtx t e d t? ???? ? 由確定的 x值 ， 可通過查 《 數學手冊 》 伽馬函數表獲得 值 。 對有限次等精度小樣本測量數據服從t分布時 ， 可給定區(qū)間 的概率積分為 ? ?x?? ??tX K X?? ?? ， ? ??tX K X? ?? ?? ??tp X K X?? ?? ， ? ? ? ?? ttKt KX K X t d dt??????? ? ? ，（ 127） t分布的概率密度曲線如圖 1— 7所示。 圖 17 t分布概率密度曲線圖 定性分析 ： 就是對測量環(huán)境 、 測量條件 、測量設備 、 測量步驟進行分析 ， 看是否有某種外部條件或測量設備本身存在突變而瞬時破壞等精度測量條件的可能 ， 測量操作是否有差錯或等精度測量過程中是否存在其它可能引發(fā)粗大誤差的因素；也可由同一操作者或另換有經驗操作者再次重復進行前面的 （ 等精度 ） 測量 ， 然后再將兩組測量數據進行分析比較 ， 或再與由不同測量儀器在同等條件下獲得的結果進行對比；以分析該異常數據出現是否 “ 異常 ” ， 進而判定該數據是否為粗大誤差 。 粗大誤差處理 定量判斷 ： 就是以統計學原理和誤差理論相關專業(yè)知識為依據 ， 對測量數據中的異常值的 “ 異常程度 ” 進行定量計算 ， 以確定該異常值是否為應剔除的壞值 。 這里所謂的定量計算是相對上面的定性分析而言 ， 它是建立在等精度測量符合一定的分布規(guī)律和置信概率基礎上的 ， 因此并不是絕對的 。 下面介紹兩種工程上常用的粗大誤差判斷準則。 1． 拉伊達 (又譯為萊因達 )準則 拉伊達準則是依據對于服從正態(tài)分布的等精度測量 ， 其某次測量誤差 大于 的可能性僅為 。 因此 ， 把測量誤差大于標準誤差 （ 或其估計值 ） 3倍都作為測量壞值予以舍棄 。 由于等精度測量次數不可能無限多 ， 因此 ， 工程上實際應用的拉伊達準則表達式為： （ 128） 0iXX? 3?% ???Lkk KXXX ????? ??3式中 —— 被疑為壞值的異常測量值； —— 包括此異常測量值在內所有測量值的算術平均值； —— 包括此異常測量值在內所有測量值的標準誤差估計值； kXX?? —— 拉伊達準則的鑒別值。 ? ??3LK ?? 當某個可疑數據 的 ＞ 時，則認為該測量數據是壞值，應予剔除。剔除該壞值后，剩余測量數據還應繼續(xù)計算 和各 ，按（ 128）式繼續(xù)計算、判斷和剔除其它壞值，直至不再有符合（ 128）式的壞值為止。 2． 格拉布斯 (Grubbs)準則 格拉布斯準則當小樣本測量數據中 ， 滿足 kX kX??3??3?kX?? ? ? ?xanKXXX Gkk ??,???? (129) 式中 —— 被疑為壞值的異常測量值； —— 包括此異常測量值在內所有測量值的算術平均值； —— 包括此異常測量值在內所有測量值的標準誤差估計值； —— 格拉布斯準則的鑒別值； —— 測量次數； —— 危險系數 ， 又稱超差概率；它與置信概率 的關系為 。 時 ， 則認為 是含有粗大誤差的異常測量值 ， 應予以剔除 。 格拉布斯準則的鑒別值 是和測量次數 n、 危險系數 相關數值 ， 可查相應的數表獲得 。 kXX? ?? x?? ?,GK n anaP 1aP??kX? ?,GK n a? 測量不確定度的主要術語 根據計算及表示方法的不同 ， 有以下幾個專用術語 。 測量不確定度 ， 簡稱不確定度；它表示測量結果 (測量值 )不能肯定的程度 ， 是可定量用于表達被測參量測量結果分散程度的參數 。 這個參數可以用標準偏差表示 ， 也可以用標準偏差的倍數或置信區(qū)間的半寬度表示 。 測量不確定度的評定 用被測參量測量結果概率分布標準偏差表示的不確定度就稱為標準不確定度 ， 用 符號表示 。 由各不確定度分量合成的標準不確定度，稱為合成標準不確定度。 擴展不確定度是由合成標準不確定度的倍數表示的測量不確定度 。 u1. A類標準不確定度的評定 2．標準不確定度的 B類評定方法 3. 合成標準不確定度的評定方法 4．擴展不確定度的評定方法 不確定度的評定 測量結果的表示和處理方法 設被測量 X的估計值 x為 ， 估計值所包含的已確定系統誤差分量為 ， 估計值的不確定度為 U， 則被測量 X的測量結果可表示為： x?xX x U?? ? ?(140) 或者 UxXUx xx ?????? ?? (141) 如果對已確定測量系統誤差分量為 ＝ 0，也就是說測量結果的估計值 X不再含有可修正的系統誤差，而僅含有不確定的誤差分量，此時，測量結果可用下式表示： x?