【文章內(nèi)容簡介】 大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 ?????????????unaznxuazxuazx)()()3()3()2()2()1()0()1()0()1()0(? 將上述方程組改寫為矩陣形式，即： ?????????????????????????????????????uanzzznxxx111)()3()2()()3()2()1()1()1()0()0()0(??? 令 ?????????????????111)()3()2()1()1()1(??nzzzB ，???????????????)()3()2()0()0()0(nxxxyN? ， 利用最小二乘法，得到矩陣算式為： NTT yBBBua 1)( ???????? 令 ???nk kzC 2)1( )( , ???nk kxD 2)0( )( , ???nk kxkzE 2)0()1( )()( , ???nk kzF 22)1( )( ,則可以得到 ??????????????????????????22)2()2()1(CFnCEDFCFnEnCDua 從而有 22 )2(,)2( )1( CFn CEDFuCFn EnCDa ?? ???? ??? 根據(jù)模型白化響應(yīng)式，可以對原始數(shù)據(jù)序列進行合理的預(yù)測，然后可以對所建立的GM(1,1)模型進行殘差檢驗和后驗差檢驗，從而確定所建立的模型的合理性及預(yù)測精度和等級，以便對模型進行進一步的優(yōu)化。 蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 12 地下水位預(yù)測模型的組成 根據(jù)地下水水位數(shù)據(jù)的特征，一個非平穩(wěn)的地下水位埋深序列 )(tH 是由趨勢項)(tF 、周期項 )(tP 、季節(jié)項 )(tS 和隨機項 )(tR 組成 ,將其線性疊加或?qū)⑵渚€性相乘，得到總的地下水水位預(yù)測模型，經(jīng)檢驗 和優(yōu)化之后，即可用于預(yù)測。 在本文，根據(jù)各觀測井位點的觀測數(shù)據(jù)畫出時序圖觀察可得，由于所給數(shù)據(jù)是19982021 年 1 月的觀測值，其季節(jié)性因素和周期性因素不是十分顯著 ， 因此，本文選擇由趨勢函數(shù)和隨機模型組合而成的預(yù)測模型： )()()( tRtFtH ?? 下面，對地下水水位埋深時間序列模型的趨勢分量和隨機分量進行分析和確定： 趨勢分量 )(tF 的確定 對于趨勢項的確定，本文采用指數(shù)平滑法。 對于長期時間序列，大多采用 多項式逼近法 來擬合地下水位序列的趨勢成分 ， 由于多項式逼近法在確定多項式的項數(shù)和形式的過程中工作非常繁瑣和復(fù)雜，選擇簡單易估計擬合的方法稱為人們尋求新方法的不懈研究。 指數(shù)平滑法是一種比較常用的平穩(wěn)的序列預(yù)測的方法 [12]。指數(shù)平滑模型由于其結(jié)構(gòu)簡單、總體效果好等優(yōu)點被廣泛用應(yīng)于商業(yè)、環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域 [13,14]。 因此，對于長期時間序列，本文則采用指數(shù)平滑法進行對趨勢項的擬合。 對于沒有明顯的季節(jié)因素或者周期因素影響的時間序列，進行趨勢擬合的指數(shù)平滑的方法，我們常用的有兩種：簡單指數(shù)平滑、 Holt 指數(shù)平滑。 （ 1） 簡單指數(shù)平滑 ????????? )2()1()1()1()()(~ 2 txtxtxtx ????? 式中， ? 為平滑系數(shù)，它滿足 10 ??? 。 由于 ??????????? )3()1()2()1()1()1(~ 2 txtxtxtx ????? 從而有 )1(~)1()()(~ ???? txtxtx ?? 1） 確定初值 簡單指數(shù)平滑的第一步就是要解決初始值 )0(~x 的問題。對此，最常用最簡單的方法是指定 )1()0(~ xx ? 。 2） 平滑系數(shù) ? 的確定 一般地，平滑系數(shù) ? 的值是由研究人員根據(jù)經(jīng)驗所給出。一般對于趨勢變化比較緩蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 慢的序列，通常選取相較小的 ? 值；反之，若一個序列的變化趨勢比較迅速，則一般選取相較大的值。經(jīng)驗表明： ? 的值選取在 到 之間，序列的趨勢修勻的效果相對較好。 3） 簡單指數(shù)平滑預(yù)測 由于簡單指數(shù)平滑向前預(yù)測的多期預(yù)測值均為同一常數(shù)，因此，對于簡單指數(shù)平滑，一般只選擇做一期預(yù)測。假定最后一期的觀測值為 )(tx ，則使用指數(shù)平滑法對序列做向前 1 期的預(yù)測值為： ?????????????? )2()1()1()1()()1(~)1()()(~)1(? 2 txtxtxtxtxtxx t ??????? （ 2） Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑 Holt 指數(shù)平滑模型由 Holt 于 1957 年提出 [12]，與一般指數(shù)平滑模型不同的是它對趨勢數(shù)據(jù)直接進行平滑并對原時間數(shù)列進行預(yù)測 [13,15]。 Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑適用于對含有線性趨勢的序列進行修勻，其基本思想為： 設(shè)一時間序列有一個比較固定的線性趨勢，每一期都遞增 r 或遞減 r ，則第 r 期的估計值就應(yīng)該等于第 1?t 期的觀測值加上每一期趨勢變動值，由于隨機因素的影響，使得每以期的遞增或遞減的值不會恒定為 r ，它是隨時間變化上下波動的一個隨機序列)}({ tr ，即 )1()1()(~ ???? trtxtx 1） 序列修勻 采用序列第 t 期的觀測值和第 t 期的估計值的加權(quán)平均數(shù)作為第 t 期的修勻值，即 ))1()1()(1()()(~ )(?)1()()(~ ??????? ??? trtxtxtx txtxtx ?? ??， 10 ??? 由于趨勢序列 )}({ tr 也是一個隨機序列，為了讓修勻序列 )}(~{ tx 更平滑，我們對)}({ tr 也進行一次修勻處理： 10),1()1())1(~)(~()( ???????? ??? trtxtxtr 得到一個比較光滑的修勻序列 )}(~{ tx ，即 ??? ?????? ?????? )1()1())1(~)(~()( ))1()1(~)(1()()(~trtxtxtr trtxtxtx ?? ?? 其中， ? 預(yù)測值的平滑系數(shù)， ? 為趨勢值平滑系數(shù)，并且它們滿足條件 1,0 ?? ?? 。 2） 平滑系數(shù)的確定 平滑系數(shù)的選擇原則和簡單指數(shù)平滑的原則一樣，即 平滑系數(shù) ??, 的值是由研究人員根據(jù)經(jīng)驗所給出。一般對于趨勢變化比較緩慢的序蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 列，通常選取相較小的 ? 值和 ? 值；相反，如果一個序列的變化趨勢比較迅速，那么一般選取相較大的 ? 值和 ? 值。通常 ? 值 和 ? 值介于在 至 之間，序列的趨勢修勻的效果比較好。 3） 初值的確定 和簡單指數(shù)平滑一樣，我們也面臨確定初始值的問題，在此需要確定兩個序列的初始值： ① 平滑序列的初 始值 )0(~x 。 一般情況，對于初始值的確定，最簡單的方法是： )1()0(~ xx ? 。 ② 趨勢序列的初始值 )0(r 。 對于 )0(r 的確定，有許多方法確定它，最簡單的方法是：任意指定一個區(qū)間長度 n ，用這段區(qū)間的平均趨勢作為趨勢初始值： n xnxr )1()1()0( ??? 4） Holt 指數(shù)平滑預(yù)測 假定最后一期的修勻值為 )(~Tx ，使用 Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑方法預(yù)測向前 l 期的預(yù)測值為： )()(~)(~ TrlTxlx T ??? 根據(jù)所給的地下水的觀測數(shù)據(jù)資料直觀分析，地下水位埋深序列 )(tH 存在顯著的增長趨勢，故采用 Holt 指數(shù)平滑法進行趨勢項的修勻較好，并且可以減輕在確定多項式的形式和項數(shù)的工作量和計算量。在本文，利用 SPSS 進行 Holt 線性趨勢進行分析和預(yù)測。其初始值和平滑系數(shù)的確定均由 SPSS 軟件自動生成。 下面對民勤縣昌寧水管所 1998— 2021 年地下水位進行 Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑對 2021— 2021 年進行擬合預(yù)測。 運用 SPSS 軟件對昌寧水管所地下水位序列進行 Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑，運行結(jié)果如下： 表 1 Holt 指數(shù)平滑模型參數(shù)估計表 Exponential Smoothing Model Parameters Model Estimate SE t Sig. 昌寧水管所 模型_1 No Transformation Alpha (Level) .094 .141 .669 .515 Gamma (Trend) .137 蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 15 表 2 Holt 指數(shù)平滑模型擬合表 Model Fit Fit Statistic Mean SE Minimum Maximum Percentile 5 10 25 50 75 90 95 Stationary .821 . .821 .821 .821 .821 .821 .821 .821 .821 .821 Rsquared .879 . .879 .879 .879 .879 .879 .879 .879 .879 .879 RMSE . MAPE . MaxAPE . MAE . MaxAE . Normalized BIC . 在表 1 中，可以得出， ? 平滑系數(shù)的取值為 ，而 ? 平滑系數(shù)的取值約為 0。由表 2 可得，由 Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑法擬合地下水位埋深序列的平穩(wěn) 2R 為 ，表明擬合優(yōu)度比較高，選擇該方法擬合序列的趨勢效果較好。 從而建立趨勢函數(shù)如下： ????? ????? )1()( ))1()1(?()()(?trtr trtFtHtF 圖 3 為 Holt 指數(shù)平滑模型對昌寧水管所地下水位的擬合和預(yù)測圖。圖中，觀測值的有線性增長的趨勢，且觀測值繞 Holt 指數(shù)平滑曲線上下小幅度波動。 圖 3 昌寧水管所 Holt 指數(shù)平滑模型擬合圖 蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 由于 Holt 指數(shù)平滑模型對序