【文章內容簡介】 6:1:0 f(i,8j)=fix(y(i)/2^j)。 y(i)=mod(y(i),(2^j))。 end end for i=1:length(y)。 if(z(i)==1) f(i,1)=0。 else f(i,1)=1。 end end 程序 運行結果： y = 0 z = 0 c = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 在數(shù)字電視和通信系統(tǒng)中，為提高信息傳輸可靠性，廣泛使用了具有一定糾錯能力的信道編碼技術，如奇偶校驗碼、行列監(jiān) 督碼、恒比碼、漢明碼、循環(huán)碼（ CRC）等編碼技術。信道編碼的本質是增加通信的可靠性，或者說增加整個系統(tǒng)的抗干擾性。對信道編碼有以下要求： ：要求對所傳消息的內容不加任何限制； ； ：為了與信道頻譜匹配和具有糾錯能力，通常要向原信號添加一些碼，要求加入最少的比特數(shù)而得到最大的利益； 。在這些要求中，除編碼的必須信息外，所作的處理主要有兩條：一是要求碼列的頻譜特性適應通道的頻譜特性從而使傳輸過程中能量損失最小，提高信噪比。減少發(fā)生差錯的可能性；二是增加糾錯能力，使 得即便出現(xiàn)差錯，也能得到糾正。 差錯控制的基本概念 差錯的特點 由于通信線路上總有噪聲存在，噪聲和有用信息中的結果，就會出現(xiàn)差錯。噪聲可分為兩類，一類是熱噪聲，另一類是沖激噪聲，熱噪聲引起的差錯是一種隨機差錯，亦即某個碼元的出錯具有獨立性，與前后碼元無關。沖激噪聲是由短暫原因造成的，例如點擊的啟動、停止，電器設備的放弧等。沖擊噪聲引起的差錯是成群的，其差錯持續(xù)時間稱為突發(fā)錯的長度。 衡量信道傳輸性能的指標之一是誤碼率 PO， PO=錯誤接收的碼元數(shù) /接收的總碼元數(shù) 。 目前普通電話線路中，當傳輸速率 在 600~2400bit/s 時， PO 在之間，對于大多數(shù)通信系統(tǒng)， PO 在 之間，而計算機之間的數(shù)據(jù)傳輸則要求誤碼率低于 。 差錯控制的基本方式 差錯控制方式基本上分為兩類，一類稱為 “ 反饋糾錯 ” ，另一類稱為 “ 前向糾錯 ” 。在這兩類基礎上又派生出一種稱為 “ 混合糾錯 ” 。 (1)反饋糾錯 這種方式在是發(fā)信端采用某種能發(fā)現(xiàn)一定程度傳 輸差錯的簡單編碼方法對所傳信息進行編碼，加入少量監(jiān)督碼元，在接收端則根據(jù)編碼規(guī)則收到的編碼信號進行檢查，一量檢測出 (發(fā)現(xiàn) )有錯碼時，即向發(fā)信端發(fā)出詢問的信號，要求重發(fā)。發(fā)信端收到詢問信號時，立即重發(fā)已發(fā)生傳輸差錯的那部分發(fā)信息，直到正確收到為止。所謂發(fā)現(xiàn)差錯是指在若干接收碼元中知道有一個或一些是錯的，但不一定知道錯誤的準確位置。 (2)前向糾錯 這種方式是發(fā)信端采用某種在解碼時能糾正一定程度傳輸差錯的較復雜的編碼方法，使接收端在收到信碼中不僅能發(fā)現(xiàn)錯碼，還能夠糾正錯碼。采用前向糾錯方式時，不需要反饋信道，也 無需反復重發(fā)而延誤傳輸時間，對實時傳輸有利，但是糾錯設備比較復雜。 (3)混合糾錯 混合糾錯的方式是：少量糾錯在接收端自動糾正，差錯較嚴重，超出自行糾正能力時，就向發(fā)信端發(fā)出詢問信號，要求重發(fā)。因此， “ 混合糾錯 ” 是“ 前向糾錯 ” 及 “ 反饋糾錯 ” 兩種方式的混合。 對于不同類型的信道，應采用不同的差錯控制技術，否則就將事倍功半。 反饋糾錯可用于雙向數(shù)據(jù)通信，前向糾錯則用于單向數(shù)字信號的傳輸，例如廣播數(shù)字電視系統(tǒng)，因為這種系統(tǒng)沒有反饋通道。 誤碼控制編碼的分類 隨著數(shù)字通信技術的發(fā)展，研究開發(fā)了各種誤碼控 制編碼方案，各自建立在不同的數(shù)學模型基礎上，并具有不同的檢錯與糾錯特性，可以從不同的角度對誤碼控制編碼進行分類。 按照誤碼控制的不同功能，可分為檢錯碼、糾錯碼和糾刪碼等。檢錯碼僅具備識別錯碼功能而無糾正錯碼功能；糾錯碼不僅具備識別錯碼功能，同時具備糾正錯碼功能；糾刪碼則不僅具備識別錯碼和糾正錯碼的功能，而且當錯碼超過糾正范圍時可把無法糾錯的信息刪除。 按照誤碼產(chǎn)生的原因不同，可分為糾正隨機錯誤的碼與糾正突發(fā)性錯誤的碼。前者主要用于產(chǎn)生獨立的局部誤碼的信道，而后者主要用于產(chǎn)生大面積的連續(xù)誤碼的情況，例如磁帶數(shù) 碼記錄中磁粉脫落而發(fā)生的信息丟失。按照信息碼元與附加的監(jiān)督碼元之間的檢驗關系可分為線性碼與非線性碼。如果兩者呈線性關系，即滿足一組線性方程式，就稱為線性碼；否則，兩者關系不能用線性方程式來描述，就稱為非線性碼。 按照信息碼元與監(jiān)督附加碼元之間的約束方式之不同，可以分為分組碼與卷積碼。在分組碼中，編碼后的碼元序列每 n 位分為一組，其中包括 k 位信息碼元和 r 位附加監(jiān)督碼元，即 n=k+r，每組的監(jiān)督碼元僅與本組的信息碼元有關，而與其他組的信息碼元無關。卷積碼則不同，雖然編碼后碼元序列也劃分為碼組，但每組的監(jiān)督碼元不但 與本組的信息碼元有關，而且與前面碼組的信息碼元也有約束關系。 按照信息碼元在編碼之后是否保持原來的形式不變，又可分為系統(tǒng)碼與非系統(tǒng)碼。在系統(tǒng)碼中，編碼后的信息碼元序列保持原樣不變，而在非系統(tǒng)碼中，信息碼元會改變其原有的信號序列。由于原有碼位發(fā)生了變化，使譯碼電路更為復雜，故較少選用。 根據(jù)編碼過程中所選用的數(shù)字函數(shù)式或信息碼元特性的不同，又包括多種編碼方式。對于某種具體的數(shù)字設備，為了提高檢錯、糾錯能力，通常同時選用幾種誤碼控制編碼方式。以下，以線性分組碼為例，對幾種簡單的編碼方式進行介紹。 循環(huán)碼（ CRC） 循環(huán)碼是線性碼的一個重要的子類，它有以下兩大特點：第一，碼的結構可以用代數(shù)方法來構造和分析，并且可以找到各種實用的譯碼方法；第二，由于其循環(huán)特性，編碼運算和伴隨式計算，可用反饋移位寄存器來實現(xiàn)，硬件實現(xiàn)簡單 。 循環(huán)碼是在嚴密的代數(shù)學理論基礎上建立起來的，這種碼的編碼和解碼設備都不太復雜，而且糾錯的能力較強。顧名思義，循環(huán)碼除具有線性碼的一般性質之外，還具有循環(huán)性，即任一碼組循環(huán)一位以后，仍為該碼中的一個碼組。 循環(huán)碼定義 設 C 使某 線性分組碼的碼字集合，如果對任 CcccC nn ?? ?? ),( 021 ? ，它的循環(huán)移位 ),( 1032)1( ???? nnn ccccC ?也屬于 C，則稱該 碼為循環(huán)碼。 該碼在結構上有另外的限制，即一個碼字任意循環(huán)移位的結果仍是一個有效碼字。其特點是：（ 1）可以用反饋移位寄存器很容易實現(xiàn)編碼和伴隨式的計算；（ 2）由于循環(huán)碼有很多固有的代數(shù)結構，從而可以找到各種簡單使用的譯碼辦法。 如果一個 線性碼具有以下的屬性，則稱為循環(huán)碼：如果 n 元組},{ 110 ?? ncccc ? 是子空間 S 的一個碼字，則經(jīng)過循環(huán)移位得到的 },{ 201)1( ??? nn cccc ? 也同樣是 S 中的一個碼字；或者，一般來說，經(jīng)過 j次循環(huán)移位后得到的 },,{ 11011)( ??????? jnnjnjnj ccccccc ??也是 S 中的一個碼字。 循環(huán)碼的多項式描述 碼字的多項式描述，一個 n 元碼字可以用一個次數(shù)不超過 n1 的多項式唯一表示 )( 0121 ccccc nn ???? , 0112211)( cxcxcxcxc nnnn ????? ???? ? （ 11） 其中，我們不關心 x 的具體位置，其次數(shù) 只表示相應碼元的位置。稱這樣的 為 c的碼字多項式。 生成多項式 及生成矩陣 G 如果一種碼的所有碼多項式都是多項式 )(xg 的倍式，則稱 )(xg 為該碼的生成多項式。在循環(huán)碼中，次數(shù)最低的多項式（ 0 除外）就是生成多項式 )(xg ，其他碼多項式都是其倍數(shù)。且該 )(xg 的階數(shù)為 knr ?? ，常數(shù)項為 1，是 1?nx的一個因式。為了尋求生成多項式，必須對 1?nx 進行因式分解。 循環(huán)碼的生成矩陣多項式為： ???????????????????)()()()()(21XgXXgXgXXgXXGkk? （ 12） 然后將系數(shù)提出就得到生成矩陣 G。 系統(tǒng)循環(huán)碼 循環(huán)碼也可以構成為系統(tǒng)循環(huán)碼。為方便系統(tǒng)碼的構造，將消息多項式和碼式都記為高位在前，即 ),( 0121 mmmmm kk ???? 的消息多項式為 (xm ， 1110)( ?????? kk xmxmmxm ? （ 13） 又設碼式的高次冪部分等于 m(x) ，即)()()( 111110xpxmxxcxcxcxccxcknnnknknknkn??????????????????? ??knrxp ???? )(? （ 14） 其中 p(x)稱為校驗位多項式，由于碼式是生成式的倍式，所以 ))((mod0)()()()( xgxgxaxmxxp kn ??? ? （ 15） ))() ( m o d()( xgxmxxp r ??? （ 16） 因此循環(huán)碼的系統(tǒng)碼碼式為 ))](( m o d)([)()( xgxmxxmxxc rr ?? （ 17） 將循環(huán)碼的系統(tǒng)碼構造步驟總結為： 多項式乘 ))(()( xmxxmx rr ? 多項式求模（余式） )())() ) ( m o d(( xpxgxmx r ? （ 18） 多項式減 )()())(( xcxpxmx r ?? 如果令 )(xm 為單項式 1?rx ， 1,1,0 ?? ki ? rxpxpxgxax iir ????? )(),()()(1 ? （ 19） irii xxpxc ??? )()( （ 110） 那么容易看到， )(xci 對應的向量 ic ， 1,1,0 ?? ki ? 是線性無關的，從而得 到循環(huán)碼系統(tǒng)碼的生成矩陣 sG 為 ???????????????????1000100011,11,10,11,111101,00100rkkkrrspppppppppG??????? （ 111） 循環(huán)碼的編碼 利用生成多項式 )(xg 實現(xiàn)編碼：如上所述，但循環(huán)碼的生成多項式 )(xg 確定時，碼就完全確定了。現(xiàn)在討論生成多項式 )(xg 給定以后，如何實現(xiàn)循環(huán)碼的編碼問題。 若已知 0111)( gxgkxnkgnxg xg knkn ???????? ?? ? （ 21） 并設信息元多項式 012211)( mxmxkmkxkmkxm ???????? ? （ 22） 要編碼成系統(tǒng)循環(huán)碼形式，即碼字的最左邊 k 位是信息元，其余 kn?