【文章內(nèi)容簡介】 域 GF(28)。 用 8次本原多項式 P(x)=x8+x4+x3+x2+1來定義 GF(28), GF(28)的非 0P(x)一個根 α的冪 α0、 α、 α …、 α254表示 。 定義在伽羅華域 GF(28)上的 RS碼是碼長 n=281=255的本原BCH碼 。 作為 BCH碼 ， 它是一種具有生成多項式的循環(huán)碼 。 對于能糾正 t=8個字節(jié)錯誤的 RS(255， 239)碼 ， 碼間的最小距離為2t+1=17， 其生成多項式 g(x) g(x)=(x+α)(x+α2)…( x+α16) (46) 第 4章 信道編碼 對于每一個 RS碼 c=(c254， c253， …， c1， c0)， 可用如下碼字多項式表示 : c(x)=c254x254+c253x253+…+ c1x+c0 (47) 每一個碼字多項式 c(x)都是 g(x) c(x)=m(x)g(x) (48) 其中 , m(x)是最高為 238次的多項式。要生成 RS(255， 239)，由式 (43)可得 x16m(x)+r(x)=g（ x） q（ x） 第 4章 信道編碼 式中： q(x)是用 g(x)除 x16m(x)所得的商式； r(x)是余式 ， 其次數(shù)不大于 15。 上式的左邊是 g(x)的倍式 ， 可以作為碼字多項式： c(x)=x16m(x)+r(x) 若將 m(x)作為由 239個信息字節(jié)組成的信息多項式 ， 將 r(x)作為由 16個校驗字節(jié)組成的校驗多項式 ， 則由式 (410)可見 ，信息字節(jié)和校驗字節(jié)在 RS(255， 239)碼中前后分開 ， 不相混淆 ，形成系統(tǒng) RS碼 。 第 4章 信道編碼 RS編碼就是要用多項式除法找到用 g(x)除 x16m(x)所得的余式 r(x)， 從而確定校驗字節(jié) 。 對于截短的 RS(204， 188)碼 ， 由于附加的 51個 0字節(jié)位于 m(x)的高位 ， 在做除法時可不予考慮 ， 就用 188個信息字節(jié)組成信息多項式作為 m(x)即可 。 RS(204， 188)編碼器電路如圖 45所示 。 生成多項式 g(x)作為除式 ， 其系數(shù)由式 (46)計算出來并存放在數(shù)組 g(i)(i=0, 1, …， 16)中 。 被除式是信息多項式 x16m(x), 其系數(shù)存放在數(shù)組 in(i)(i=16， 17， … ， 203時為信息字節(jié)； i=0， 1， … ， 15時為 0)中 。 第 4章 信道編碼 圖 45 RS(204， 188)編碼電路 g ( 0 ) g ( 1 )Z － 1 Z － 1 …g ( 1 4 ) g ( 1 5 )Z － 1g ( 1 6 )－ 1Z － 1第 4章 信道編碼 該電路的工作過程如下： (1) 開始運算時 ， 16級移位寄存器 (圖中用 Z1表示 )全部清 0。 第一個移位節(jié)拍后 ， 被除多項式的最高次項 X203的系數(shù) in(203)首先進入移位寄存器的最左一級 。 經(jīng)過 16次移位后 in(203)進入到移位寄存器的最右一級 ， 此時自右至左移位寄存器中的內(nèi)容為 in(203)， in(202)， … ， in(188)。 (2) in(203)輸出與 g(16)1相乘得 temp， 第 17次移位后 ， temp反饋到后面各級移位寄存器中 ， 使各級移位寄存器的內(nèi)容為原內(nèi)容加上 tempg(i)(i=0, 1, …， 15)。 此時移位寄存器中自左至右的內(nèi)容為 in(187)+tempg(0) ， in(188)+tempg(1) ， … ， in(202)+tempg(15)。 第 4章 信道編碼 (3) 依此類推 ， 經(jīng)過 204次移位后 ， 完成整個除法運算 ， 移位寄存器中的內(nèi)容就是余式 r(x)的系數(shù) 。 得到了余式 r(x)的系數(shù)后 ， 也就得到了校驗字節(jié) c15， …， c0。 將這些校驗字節(jié)加在信息字節(jié)之后 ， 就得到了 204 B的碼字 ， 從而完成了編碼 。 上述加法和乘法運算是在伽羅華域 GF(28)上進行的 ， 已經(jīng)隨機化的數(shù)據(jù)的每個字節(jié)映射成伽羅華域 GF(28)中的一個元素 ， 256個元素中除 0和 1之外都是由本原多項式 Ｐ (x)=α8+α4+α3+α2+1推算出來的 。 GF(28)中 α=02H， 表 42列舉出了 14個元素和１字節(jié)二進制數(shù)之間的映射關(guān)系和推導(dǎo)過程 。 用類似的方法可以得出表 43, 8位二進制數(shù)的字節(jié)表示和 GF（ 28） 元素的冪次對照表 。 第 4章 信道編碼 表 42 GF(28)中元素和二進制字節(jié)之間的映射關(guān)系和推導(dǎo)過程 第 4章 信道編碼 伽羅華域 GF(28)中的加法運算α0+α7+α7+α6+α6+α3=α0+α3=0000 0001+0000 1000=0000 1001=α223。 伽羅華域 GF(28)中的乘法運算 α2α3=α5，元素相乘時，只需將指數(shù)相加再對 255取模即可。例如 α253α6=α259=α4。 第 4章 信道編碼 表 43 8位二進制數(shù)的字節(jié)表示和 GF（ 28）元素 第 4章 信道編碼 表 43 8位二進制數(shù)的字節(jié)表示和 GF（ 28）元素 第 4章 信道編碼 表 43 8位二進制數(shù)的字節(jié)表示和 GF（ 28）元素 第 4章 信道編碼 交 織 交織也稱交錯 ， 是對付突發(fā)差錯的有效措施 。 突發(fā)噪聲使信道中傳送的碼流產(chǎn)生集中的 、 不可糾正的差錯 。 如果先對編碼器的輸出碼流做順序上的變換 ， 然后作為信道上的符號流 ，則信道噪聲造成的符號流中的突發(fā)差錯有可能被均勻化 ， 轉(zhuǎn)換為碼流中隨機的 、 可糾正的差錯 。 第 4章 信道編碼 交織分為分組交織和卷積交織 。 分組交織比較簡單 ， 對一個 (n， k)分組碼進行深度為 m的分組交織時 ， 把 m個碼組按先行后列排列成一個 m n的碼陣 。 碼元 aij的下標(biāo) i為行號 ， 下標(biāo) j為列號 ， 排列成 a1 a1 …、 a1n、 a2 a2 …、 a2n、 am am …、 amn形式 。 規(guī)定以先列后行的次序和自左至右的順序傳輸 ， 即以a1 a2 …、 am a1 a2 …、 am …、 a1n、 a2n、 …、 amn的順序傳輸 。 接收端的去交織則執(zhí)行相反的操作 ， 把收到的碼元仍排列成 a1 a1 …、 a1n、 a2 a2 …、 a2n、 am am … 、 amn形式 ， 以行為單位 ， 按 (n， k)碼的方式進行譯碼 。 第 4章 信道編碼 經(jīng)過交織以后 ， 每個 (n， k)碼組的相鄰碼元之間相隔 m1個碼元 。 因此 ， 當(dāng)接收端收到交織的碼元后 ， 若仍恢復(fù)成原來的碼陣形式 ， 就把信道中的突發(fā)錯誤分散到了 m個 (n， k)碼中 。 如果一個 (n， k)碼可以糾正 t個錯誤 (隨機或突發(fā) )， 則交織深度為 m時形成的 m n 碼陣就能糾正長度不大于 mt的單個突發(fā)錯誤 。 顯然 ， 交織方法是一種時間擴散技術(shù) ， 它把信道錯誤的相關(guān)性減小 ， 當(dāng) m足夠大時就把突發(fā)錯誤離散成隨機錯誤 。 第 4章 信道編碼 卷積交織 卷積交織比上述分組交織要復(fù)雜 。 DVB采用的是卷積交織 ， DVB的交織器和去交織器如圖 46所示 。 交織器由 I=12個分支組成 ， 在第 j(j＝ 0， 1， …, I1)分支上設(shè)有容量為 jM個字節(jié)的先進先出 （ FIFO） 移位寄存器 ， 圖中的 M＝ 17， 交織器的輸入與輸出開關(guān)同步工作 ， 以 1 B／位置的速度進行從分支 0到分支 I1的周期性切換 。 接收端在去交織時 ， 應(yīng)使各個字節(jié)的延時相同 ， 因此采用與交織器結(jié)構(gòu)類似但分支排列次序相反的去交織器 。 為了使交織與去交織開關(guān)同步工作 ， 在交織器中要使數(shù)據(jù)幀的同步字節(jié)總是由分支 0發(fā)送出去 ， 這由下述關(guān)系可以得到保證： N＝ IM＝ 12 17＝ 204 (411) 第 4章 信道編碼 圖 46 DVB的卷積交織器和去交織器 M … M11 11…M M2 2每位置一字節(jié)M1 10 0同步字通路卷積交織器11MM … M0 0…M M9 9每位置一字節(jié) M10 1011 11同步字通路卷積去交織器11M第 4章 信道編碼 11a? 15a? 19a? 01a 05a 09a22a? 26a? 210a? 12a? 16a? 110a?33a? 37a? 311a? 27a? 211a? 43a? 47a? 411a? 03a 07a 011a 13a11a 15a 19a02a 06a 010a 12a 16a 110a17a 111a23a?00a 04a 08a 10a 14a 18a輸 出 順 序 第 4章 信道編碼 卷積交織器用參數(shù) (N， I)來描述 ， 圖 46 所示的是 (204， 12)交織器 。 很容易證明 ， 在交織器輸出的任何長度為 N的數(shù)據(jù)串中 ， 不包含交織前序列中距離小于 I的任何兩個數(shù)據(jù) 。 I稱為交織深度 。 對于 (204， 188)RS碼 ， 能糾正連續(xù) 8 B的錯誤 ， 與交織深度 I=12相結(jié)合 ， 可具有最多糾正 12 8＝ 96 B長的突發(fā)錯誤的能力 。 I越大 , 糾錯能力越強 ， 但交織器與去交織器總的存儲容量 S和數(shù)據(jù)延時 D與 I有關(guān)： S=D=I(I1)M (412) 在 DVB中 ， 交織位于 RS編碼與卷積編碼之間 ， 這是因為卷積碼的維特比譯碼會出現(xiàn)差錯擴散 ， 引起突發(fā)差錯 。 第 4章 信道編碼 卷積編碼 編碼器 卷積碼編碼器由移位寄存器和加法器組成 。 輸入移位寄存器有 N段 ， 每段有 k級 ， 共 Nk位寄存器 ， 負責(zé)存儲每段的 k個信息碼元；各信息碼元通過 n個模 2加法器相加 ， 產(chǎn)生每個輸出碼組的 n個碼元 ， 并寄存在一個 n級的移位寄存器中移位輸出 。 編碼過程是輸入信息序列與由移位寄存器和模 2加法器之間連接所決定的另一個序列的卷積 ， 因此稱為卷積碼 。 通常 N稱為卷積碼的約束長度 (Constraint Length)。 卷積碼用 (n， k， N)表示 ， 其中 n為碼長 ， k為碼組中信息碼元的個數(shù) ， 編碼器每輸入 k比特 ， 輸出 n比特 ， 編碼率為 R=k/n。 第 4章 信道編碼 約束長度不以碼元數(shù)為單位而以分組為單位 ， 這是因為編碼和譯碼時分組數(shù)一定而相關(guān)碼元數(shù)不同 ， 編碼時相關(guān)碼元數(shù)是 Nk, 譯碼時相關(guān)碼元數(shù)是 Nn。 顯然以分組為單位來定義約束長度更方便 。 圖 47（ a） 為 (2， 1， 3)卷積編碼器的結(jié)構(gòu) 。 圖中沒有畫出延時為零的第一級移位寄存器 ， 并用轉(zhuǎn)換開關(guān)代替了輸出移位寄存器 。 它的編碼方法是： 輸入序列依次送入一個兩級移位寄存器 ， 編碼器每輸入一位信息 bi， 輸出端的開關(guān)就在 c c2之間切換一次 ， 輸出 c1, i和 c2, i， 其中 c1, i =bi+bi1+bi2 (413) 第 4章 信道編碼 即 c1的生成多項式 g1(x)為 g1(x)= x2+x1+1 c2, i=bi+bi2 (414) 即 c2的生成多項式 g2