【文章內(nèi)容簡介】 ，將其代入回歸系數(shù)區(qū)間估計的公式 ，可得： 2? 2 / 12S ? ?? ?2? 0 .7 5 1 1? ? 2 ?????? ?20 . 7 2 9 3 0 . 7 7 2 9???即（四）回歸系數(shù)的區(qū)間估計 40 四、一元線性回歸模型的檢驗 （一） 回歸模型檢驗的種類 回歸模型的檢驗包括理論意義檢驗、一級檢驗和二級檢驗。 理論意義檢驗主要涉及參數(shù)估計值的符號和取值區(qū)間，如果它們與實質(zhì)性科學(xué)的理論以及人們的實踐經(jīng)驗不相符，就說明模型不能很好地解釋現(xiàn)實的現(xiàn)象。例如，在前面所舉的消費函數(shù)中， β2的取值區(qū)間應(yīng)在０至１之間。 在對實際的社會經(jīng)濟現(xiàn)象進行回歸分析時，常常會遇到經(jīng)濟意義檢驗不能通過的情況。造成這一結(jié)果的主要原因是：社會經(jīng)濟的統(tǒng)計數(shù)據(jù)無法像自然科學(xué)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)那樣通過有控制的實驗去取得，因而所觀測的樣本容量有可能偏小，不具有足夠的代表性，或者不能滿足標(biāo)準(zhǔn)線性回歸分析所要求的假定條件 。 41 一級檢驗 又稱統(tǒng)計學(xué)檢驗，它是利用統(tǒng)計學(xué)中的抽樣理論來檢驗樣本回歸方程的可靠性，具體又可分為擬合程度評價和顯著性檢驗。一級檢驗是對所有現(xiàn)象進行回歸分析時都必須通過的檢驗。 二級檢驗 又稱經(jīng)濟計量學(xué)檢驗，它是對標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的假定條件能否得到滿足進行檢驗，具體包括序列相關(guān)檢驗、異方差性檢驗、多重共線性檢驗等。二級檢驗對于社會經(jīng)濟現(xiàn)象的定量分析具有特別重要的意義。 四、一元線性回歸模型的檢驗 42 （二）擬合程度的評價 ? 總離差平方和的分解 對任一實際觀測值 Ｙ t總有： 對上式兩邊取平方并求和，得到： 可以證明： 從而有： 即 ＳＳＴ ＝ ＳＳＲ ＋ ＳＳＥ ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )t t t t t tY Y Y Y Y Y Y Y e? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )t t t t t t tY Y Y Y Y Y Y Y Y Y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?( ) ( ) 0t t tY Y Y Y? ? ??2 2 2? ?( ) ( ) ( )t t t tY Y Y Y Y Y? ? ? ? ?? ? ?四、一元線性回歸模型的檢驗 43 上式中，ＳＳＴ是總離差平方和；ＳＳＲ是由回歸直線可以解釋的那一部分離差平方和，稱為回歸平方和；ＳＳＥ是用回歸直線無法解釋的離差平方和，稱為殘差平方和。式子兩邊同除以ＳＳＴ，得： 顯而易見，各個樣本觀測點與樣本回歸直線靠得越緊， SSR在SST中所占的比例就越大。因此，可定義這一比例為決定系數(shù)，即有： 決定系數(shù)是對回歸模型擬合程度的綜合度量，決定系數(shù)越大，模型擬合程度越高。決定系數(shù)越小，則模型對樣本的擬合程度越差。 1 SSR SSESST SST??2 1SS R SS ErSS T SS T? ? ?四、一元線性回歸模型的檢驗 44 （二）擬合程度的評價 ? 決定系數(shù) r2具有如下特性： ? 1．決定系數(shù) r2具有非負(fù)性。 由決定系數(shù)的定義式可知， r2的分子分母均是不可能為負(fù)值的平方和，因此其比值必大于零。（但是在回歸模型中不包括截距項的場合， 由于總離差平方和的分解公式不成立，按該式計算的r2有可能小于０。 ） ? 2．決定系數(shù)的取值范圍為０ ≤ r2 ≤１。 ? 3．決定系數(shù)是樣本觀測值的函數(shù)，它也是一個統(tǒng)計量。 ? 4．在一元線性回歸模型中，決定系數(shù)是單相關(guān)系數(shù)的平方。 45 （二）擬合程度的評價 ? 【 例 77】 利用例 75中計算的殘差平方和，計算例 73所擬合的樣本回歸方程的決定系數(shù)。 ? 解： 上式中的 SST是利用表 71中給出的數(shù)據(jù)按下式計算的： 2 0 .0 4 0 71 0 .9 9 8 22 3 .8 2 9 8SSErSST? ? ? ?222( ) / ( ) / 12ttSST Y Y n???????46 （三）顯著性檢驗 ? 所謂回歸系數(shù)的顯著性檢驗，就是根據(jù)樣本估計的結(jié)果對總體回歸系數(shù)的有關(guān)假設(shè)進行檢驗。 ? 下面我們以 β2的檢驗為例，介紹回歸系數(shù)顯著性檢驗的基本步驟： 47 1． t 檢驗 （ 1）提出假設(shè)。 對回歸系數(shù)進行顯著性檢驗，所提出的假設(shè)的一般形式是： 式中，Ｈ o表示原假設(shè)；Ｈ 1表示備擇假設(shè)； 是假設(shè)的總體回歸系數(shù)的真值。在許多回歸分析的計算機程序里，常常令 ＝ 0。這是因為 β2 是否為０，可以表明 Ｘ 對 Ｙ 是否有顯著的影響。 **0 2 2 1 2 2: , :HH? ? ? ???*2?*2?（三）顯著性檢驗 48 （ 2）確定顯著水平 α。 顯著水平的大小應(yīng)根據(jù)犯哪一類錯誤可能帶來損失的大小確定。一般情況下可取 。 （ 3）計算回歸系數(shù)的ｔ值。 上式中，是回歸系數(shù)估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差。 22*22???tS??????（三）顯著性檢驗 49 （ 4）確定臨界值。 t檢驗的臨界值是由顯著水平和自由度 df決定的。 這時應(yīng)該注意，原假設(shè)和備擇假設(shè)設(shè)定的方式不同，據(jù)以判斷的接受域和拒絕域也不相同。例如，對Ｈ 0：β2=0，Ｈ 1： β2≠0,進行的是雙側(cè) ｔ 檢驗；而對Ｈ 0：β2=，Ｈ 1： β2，進行的是單側(cè) ｔ 檢驗。對此，在雙側(cè)檢驗的場合，依據(jù) α和 df，查 ｔ 分布表所確定的臨界值是（ tα/2）和（ tα/2 ）；而在單側(cè)檢驗的場合，所確定的臨界值是（ tα）。 （三）顯著性檢驗 50 （ 5）做出判斷。 如果的絕對值大于臨界值的絕對值，就拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)；反之，如果的絕對值小于臨界值的絕對值，則接受原假設(shè)。 （三）顯著性檢驗 51 2． p檢驗 回歸系數(shù)的顯著性檢驗還可以采用 p檢驗。 其前三步與 t檢驗相同，但 t值計算出來之后，并不與 t分布的臨界值進行對比，而是直接計算自由度為 n2的 t統(tǒng)計量大于或小于根據(jù)樣本觀測值計算的的概率即 p值。然后將其與給定的顯著水平 α對比，如果 p小于 α，則拒絕原假設(shè)，反之則接受原假設(shè)。利用Excel進行回歸分析時，計算機將直接給出回歸系數(shù)估計的 p值。 （三）顯著性檢驗 52 【 例 78】 利用例 74和例 76的有關(guān)資料和結(jié)果，對例74中估計的我國城鎮(zhèn)居民邊際消費傾向進行顯著性檢驗。 （ 1）以５％的顯著水平檢驗可支配收入是否對消費支出有顯著影響。 （ 2）對Ｈ o： β2＝ ，Ｈ 1： β2＜０ .8進行檢驗。 解： （ 1）首先 ,提出假設(shè) Ｈ 0： β2＝０，Ｈ 1： β2≠０。 （ 2）計算ｔ值 ＝ ＝ 2??t（三）顯著性檢驗 53 【 例 78】 利用例 74和例 76的有關(guān)資料和結(jié)果，對例 74中估計的我國城鎮(zhèn)居民邊際消費傾向進行顯著性檢驗。 查ｔ分布表可知：顯著水平為５％，自由度為 10的雙側(cè)ｔ檢驗的臨界值是 。以上計算的ｔ值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于此臨界值 ,所以拒絕原假設(shè) ,接受備擇假設(shè)，即認(rèn)為可支配收入對消費支出的影響是非常顯著的。 (2) ＝ ()/＝ 查ｔ分布表可知：顯著水平為５％， 自由度為 10的單側(cè)ｔ檢驗的臨界值是 。因為計算的ｔ值的絕對值大于此臨界值 ,所以否定 β2＝０ .8的原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，認(rèn)為我國城鎮(zhèn)居民的平均消費傾向小于 。 2??t（三）顯著性檢驗 54 五、一元線性回歸模型預(yù)測 （一）回歸預(yù)測的基本公式 ? 簡單回歸預(yù)測的基本公式如下： ? 式中， Ｘ f是給定的 Ｘ 的具體數(shù)值；是 Ｘ f給定時 Ｙ 的預(yù)測值；和是已估計出的樣本回歸系數(shù)。 ? 回歸預(yù)測是一種有條件的預(yù)測，在進行回歸預(yù)測時，必須先給出 Ｘ f的具體數(shù)值。當(dāng)給出的 Ｘ f屬于樣本內(nèi)的數(shù)值時，利用該式去計算 稱為內(nèi)插檢驗或事后預(yù)測。而當(dāng)給出的 Ｘ f在樣本之外時，利用該式去計算稱 為外推預(yù)測或事前預(yù)測。通常所說的預(yù)測是指事前預(yù)測。 12? ?? ffYX?????fY?fY55 （二）預(yù)測誤差 ? 在實際的回歸模型預(yù)測中，發(fā)生預(yù)測誤差的原因可以概括為以下四個： ? ；這一誤差可以用總體隨機誤差項的方差來評價。 ? ；這一誤差可以用回歸系數(shù)的最小二乘估計量的方差來評價。 ? Ｘ 的設(shè)定值同其實際值的偏離所造成的誤差。 ? 。 ? 在以上造成預(yù)測誤差的原因中， 兩項不屬于回歸方程本身的問題，而且也難以事先予以估計和控制。因此，在下面的討論中，假定只存在 兩種誤差。 56 設(shè) Ｘ f給定時 Ｙ 的真值為 Ｙ f， Ｙ f＝ β1＋ β2Ｘ f＋ uf 則有 式中 ,ｅ f是預(yù)測的殘差。利用期望值與方差的運算規(guī)則以及前面給出的回歸系數(shù)最小二乘估計量的期望值和方差，可以證明： 在此基礎(chǔ)上，還可以進一步證明 是 Ｙ f的最優(yōu)線性無偏預(yù)測，即在標(biāo)準(zhǔn)假定能夠滿足的情況下，公式 是 Ｙ f的最佳預(yù)測方式。 1 2 1 21 1 2 2? ?? ( ) ( )? ?( ) ( )f f f f f fffe Y Y X u XXu? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?222( ) 0()1( ) 1()ffftEeXXV