【正文】 （四）相關(guān)系數(shù)的檢驗 ? 對總體相關(guān)系數(shù) 是否等于０進行檢驗。 ? 計算相關(guān)系數(shù) r的 ｔ 值： ? 根據(jù)給定的顯著性水平和自由度（ n2），查找ｔ分布表中相應(yīng)的臨界值 tα/2。若｜ t｜ ≥tα/2，表明 ｒ在統(tǒng)計上是顯著的。 若｜ t｜ ≤tα/2，表明 ｒ 在統(tǒng)計上是不顯著的。 212rnrt????22 （四）相關(guān)系數(shù)的檢驗 【 例 73】 假設(shè)根據(jù)６對樣本觀測數(shù)據(jù)計算出某公司的股票價格與氣溫的樣本相關(guān)系數(shù) r=，試問是否可以根據(jù)５％的顯著水平認(rèn)為該公司的股票與氣溫之間存在一定程度的線性相關(guān)關(guān)系 ? 解： Ｈ 0： ρ＝０； Ｈ 1： ρ≠０ ｒ 的ｔ檢驗值 查表可知：顯著水平為５％，自由度為４的臨界值 tα/2= ,上式中的 t值小于 ，因此， ｒ 不能通過顯著性檢驗。這就是說，盡管根據(jù)樣本觀測值計算的 ｒ 達(dá)到 ，但是由于樣本單位過少，這一結(jié)論并不可靠，它不足以證明該公司的股票與氣溫之間存在一定程度的線性相關(guān)關(guān)系。 122????rnrt23 二、標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型 （一）總體回歸函數(shù) ? 上式被稱為總體回歸函數(shù)。式中的 β1和 β2是未知的參數(shù)，又叫回歸系數(shù)。 Ｙ t和 Ｘ t分別是 Ｙ 和 Ｘ 的第ｔ個觀測值。 u t是隨機誤差項，又稱隨機干擾項，它是一個特殊的隨機變量，反映未列入方程式的其他各種因素對 Ｙ 的影響。 ttt uXY ??? 21 ??24 （二）樣本回歸函數(shù) 在現(xiàn)實問題研究中，由于所要研究的現(xiàn)象的總體單位數(shù)一般是很多的，在許多場合甚至是無限的，因此無法掌握因變量Ｙ總體的全部取值。也就是說，總體回歸函數(shù)事實上是未知的，需要利用樣本的信息對其進行估計。 一元線性回歸模型的樣本回歸線可表示為： 式中 的是樣本回歸線上與 Ｘ t相對應(yīng)的 Ｙ 值，可視為Ｅ (Ｙ t)的估計； 是樣本回歸函數(shù)的截距系數(shù)， 是樣本回歸函數(shù)的斜率系數(shù)，它們是對總體回歸系數(shù) β1和 β2的估計。 tt XY 21 ??? ?? ??tY?1??2??25 ? 實際觀測到的因變量 Ｙ t值，并不完全等于 ，如果用 ｅ t表示二者之差 (), 則有： ? （ｔ＝１，２， ...ｎ） ? 上式稱為樣本回歸函數(shù)。式中 ｅ t稱為殘差。 tY?tt eXY ??? t21 ?? ??（二）樣本回歸函數(shù) 26 樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)之間的間的區(qū)別 總體回歸線 是未知的，它只有一條。而樣本回歸線則是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的，每抽取一組樣本，便可以擬合一條樣本回歸線。 總體回歸函數(shù)中的 β1和 β2是 未知的參數(shù) ，表現(xiàn)為常數(shù)。而樣本回歸函數(shù)中的 和 是 隨機變量 ，其具體數(shù)值隨所抽取的樣本觀測值不同而變動。 1?? 2??（二）樣本回歸函數(shù) 27 樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)之間的區(qū)別 總體回歸函數(shù)中的 u t是 Ｙ t與未知的總體回歸線之間的縱向距離，它是不可直接觀測的。 樣本回歸函數(shù)中的 ｅ t是 Ｙ t與樣本回歸線之間的縱向距離，當(dāng)根據(jù)樣本觀測值擬合出樣本回歸線之后，可以計算出 ｅ t的具體數(shù)值。 （二）樣本回歸函數(shù) 28 (三 )誤差項的標(biāo)準(zhǔn)假定 ? 假定１：誤差項的期望值為０，即對所有的ｔ總有 ? 假定２：誤差項的方差為常數(shù)，即對所有的ｔ總有 ? 假定３：誤差項之間不存在序列相關(guān)關(guān)系，其協(xié)方差為零，即當(dāng)ｔ ≠ｓ時有： 0)( ?tuE22 )()( ??? tt uEuV a r0)Co v ( ?stuu29 (三 )誤差項的標(biāo)準(zhǔn)假定 ? 假定４：自變量是給定的變量，與隨機誤差項線性無關(guān)。 ? 假定５：隨機誤差項服從正態(tài)分布。 滿足以上標(biāo)準(zhǔn)假定的一元線性模型，稱為標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型。 30 三、一元線性回歸模型的估計 （一）回歸系數(shù)的點估計 ? 所謂最小二乘法就是根據(jù)這一思路，是通過使殘差平方和為最小來估計回歸系數(shù)的一種方法。 ? ? ??? 22 )?( ttt YYeQ設(shè)221 )??( tt XY ?? ??? ?將 Ｑ 對 21 ?? ?? 和 求偏導(dǎo)數(shù)，并令其 等于零，可得 0)??(2 21 ＝－ tt XY ?? ?? ?0)??(2 21 ??? ? ttt XYX ??－31 三、一元線性回歸模型的估計 （一）回歸系數(shù)的點估計 加以整理后有 ? ??? ? ???222 )(?ttttttXXnYXYXn????? tt YXn 21 ?? ??????? tttt YXXX 221 ?? ??以上方程組稱為正規(guī)方程組或標(biāo)準(zhǔn)方程組，式中的ｎ是樣本容量。求解這一方程組可得： ? ? ???? XYnXnY tt 221 ??? ???32 （一）回歸系數(shù)的點估計 ? 【 例 7４ 】 我們利用例 72的表 71中已給出我國歷年城鎮(zhèn)居民人均消費支出和人均可支配收入的數(shù)據(jù)，來估計我國城鎮(zhèn)居民的邊際消費傾向和基礎(chǔ)消費水平。 ? 解： Ｙ t＝ β1＋ β2Ｘ t＋ ut =247。 247。 12＝ 7 5 1 2 .9 7 63 7 2 . 6 6 6 112 5 0 .0 7 36 2 .9 7 6 2 9 4 . 4 5 3 912? 22 ?? ??? －－?1??33 （一）回歸系數(shù)的點估計 ? 【 例 7４ 】 我們利用例 72的表 71中已給出我國歷年城鎮(zhèn)居民人均消費支出和人均可支配收入的數(shù)據(jù)，來估計我國城鎮(zhèn)居民的邊際消費傾向和基礎(chǔ)消費水平。 ? 樣本回歸方程為： ? 上式中： ，表示人均可支配收入每增加 1千元，人均消費支出會增加 ；，即與收入無關(guān)最基本的人均消費為 。 tt XY ??34 （二）總體方差的估計 數(shù)學(xué)上可以證明， σ2的無偏估計 S2可由下式給出： 式中，分子是殘差平方和 ,分母是自由度，其中ｎ是樣本觀測值的個數(shù)，２是一元線性回歸方程中回歸系數(shù)的個數(shù)。） S2的正平方根又叫做回歸估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差。 一般采用以下公式計算殘差平方和： 上式的推導(dǎo)過程如下： 222???neS t? ? ? ???? ttttt YXYYe 2122 ?? ??? ? ?? ?? ???????????tttttttttttttYXYYXYYeYeXYe21221212??)??()??(??????35 ? 【 例 7５ 】 根據(jù)例 7２中給出的有關(guān)數(shù)據(jù)和例 7４中已得到的回歸系數(shù)估計值，計算我國城鎮(zhèn)居民消費函數(shù)的總體方差 S2和回歸估計標(biāo)準(zhǔn)差 S。 ? 解：根據(jù)例 7２中給出的有關(guān)數(shù)據(jù)和例 7４中已得到的回歸系數(shù)估計值，可得： = = S2=(122)= 進而有： S= ?2te（二）總體方差的估計 36 （三）最小二乘估計量的性質(zhì) 按照最小二乘法求得的估計總體回歸系數(shù)的數(shù)學(xué)公式是樣本觀測值的函數(shù)，通常稱之為最小二乘估計量。 可以證明，在標(biāo)準(zhǔn)假定能夠得到滿足的條件下，回歸系數(shù)的最小二乘估計量的期望值等于其真值，即有： 其方差為： 和 的期望值與方差的推導(dǎo)過程基本類似。 11 )?( ?? ?E 22 )?( ?? ?E1?? 2?????????????? ? 222?1 )(1)?(1 XXXnV ar t??? ?? ??? 222?2 )()?( 2 XXV art????37 數(shù)學(xué)上可以證明：最小二乘估計量是因變量觀測值 Ｙ t的線性函數(shù)，其期望值等于總體回歸系數(shù)的真值。因此，最小二乘估計量是總體回歸系數(shù)的線性無偏估計量。數(shù)學(xué)上還可以進一步證明，在所有的線性無偏估計量中，回歸系數(shù)的最小二乘估計量的方差最小；同時隨著樣本容量的增大，其方差會不斷縮小。也就是說，回歸系數(shù)的最小二乘估計量是最優(yōu)線性無偏估計量和一致估計量。 高斯 馬爾可夫定理表明，在標(biāo)準(zhǔn)的假定條件下，最小二乘估計量是一種最佳的估計方式。但是應(yīng)當(dāng)明確，這并不意味著根據(jù)這一方式計算的每一個具體的估計值都比根據(jù)其他方式計算的具體估計值更接近真值，而只是表明如果反復(fù)多次進行估計值計算或是擴大樣本的容量進行估計值計算，按最佳估計方式計算的估計值接近真值的可能性（概率）最大。 （三）最小二乘估計量的性質(zhì) 38 （四）回歸系數(shù)的區(qū)間估計 ? 根據(jù)第五章中介紹的關(guān)于參數(shù)區(qū)間估計的原理，可得到以下回歸系數(shù)區(qū)間估計的公式： （ j =1,2） ? 式中， 是回歸系數(shù)估計的樣本標(biāo)準(zhǔn)誤差， 是顯著水平為 α，自由度為 (n2)的ｔ分布雙側(cè)臨界值。 jSt nj ??? ?)2( 2/? ?? ??jS? /2( 2)nt??1? 21()tXSn X X?????2? 2()tSSXX????39 【 例 76】 利用例 7２的有關(guān)資料和例 7４與例 7５的結(jié)果，對例 7４中估計的我國城鎮(zhèn)居民邊際消費傾向進行置信度為 95％的區(qū)間估計。 解： 查ｔ分布表可知：顯著水平為５％，自由度為 10的ｔ分布雙側(cè)臨界值是 ，前面已求得