【文章內(nèi)容簡介】 f fuzzy set 常用的隸屬函數(shù)有指數(shù)函數(shù)、高斯函數(shù)、線性函數(shù)、 Z 型隸屬函 數(shù)、 ? 型隸屬函數(shù)、鐘型隸屬函數(shù)等，在工程實際應用中，為了計算方便大都采用線性函數(shù)的形式。 模糊運算 定義 支撐集，核和模糊單值：模糊集合 F 的支撐集是所有的 uU? 中，滿足? ? 0F u? ? 的點組成的清晰集。模糊集合 F 的核是 uU? 中使得取得最大值的點。 如果模糊集合 F 的支撐集在 U 上只含一個點，且有 1F?? ，則 F 就稱為模糊單值。定義 交 9 集、 并集和補集： 設 A 和 B 是 U 上的兩個模糊集合。對所有的 uU? ， A 和 B 的交集是定義在 U 上的一個模糊集合，其隸屬函數(shù)定義如下： ? ? ? ? ? ?? ?m in ,A B A Bu u u? ? ?? (23) 對所有的 uU? ， A 和 B 的并集是定義在 U 上的一個模糊集合，其隸屬函數(shù)定義如下： ? ? ? ? ? ?? ?m a x ,A B A Bu u u? ? ?? (24) 對所有的， A 的補集 A 是定義在 U 上的一個模糊集合，其隸屬 函數(shù)定義如下 ? ? ? ?1 AA uu???? (25) 該定義中的算符只是交、并、補集運算的一種。不同的算符選擇對應相應形式的交、并、補集邏輯運算。 引理 模糊集運算的基本定律：設 U 為論域， ,ABC 均為 U 中的任意模糊子集 ? 為空集。則它們的并集、交集和補集滿足下列性質(zhì)； (1) 冪等律： 1,A B A A A?? (2) 結合律： ? ? ? ? ? ? ? ?,A B C A B C A B C A B C?? (3) 交換律： ,A B B A A B B A?? (4) 分配律： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,A B C A B A C A B C A B A C?? (5) 同一律 ： ,A U A A A? ? ? (6) 零一律： ,A U A A? ? ? ? (7) 吸收律： ? ? ? ?,A A B A A A B A?? (8) 對偶律 ： ? ? ? ?,A B A B A B A B?? (9) 雙重否認律： ? ?cC AA ? ， 引理 模糊集合的代數(shù)和和代數(shù)積滿足： (1) 冪等律： ? ? ,A B B A A B B A? ? ? ? ? ? (2) 結合律： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ,A B C A B C A B C A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 對偶律： ? ?? ?A B A B? ? ? 引理 模糊集合的 有界和和有界積滿足： 10 (1) 冪等律： ,A B B A A B B A? ? ? ? ? ? (2) 結合律： ? ? ? ? ? ? ? ?,A B C A B C A B C A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 對偶律： ? ? ? ?,A B A B A B A B? ? ? ? ? ? 模糊邏輯與近似推理 語言變量是自然語言中的詞或句，它的取值不是通常的數(shù)，而是用模糊語表示的模糊集合。如，若把 “速度 ”看成是一個模糊語言變量，則它的取值不是多少千米每小時，而是像 “慢 ”、 “快 ”等用模糊語言表示的模糊集合。語言變量的定義如下： 定義 一個語言 變量可用一個五元素 ? ?? ?, , , ,X T X U G M的集合來表示，其 中 X 為變量名稱；為 X 的語言集，即語言 X 取值的集合，而且每一個語言取值對應一個在 U 上的模糊集合； U 是語言變量的論域； G 為語言取值的語法規(guī)則； M 是解釋每個語言 x 取值的語義規(guī)則。 在形式邏輯中，經(jīng)常使用三段論式的演繹推理，即由大前提、小前提、結論構成的推理。這種推理可以寫成如下模型： 大前提：如果 X 是 A 、則 Y 是 B 小前提： X 是 A 結論：則 Y 是 B 在這種推理過程中，如果大前提中的 “A ”與小前提的 “A ”是完全一樣則結論必然是 “ B ” ，這即是二值邏輯的本質(zhì)。在這種推理過程中，不管 “A ”和 “B ”代表什么，推理都普遍適用。目前的計算機就是基于這種形式邏輯進行推理的。如果大前提中的 “A ”與小前提的 “A ”不一致，形式邏輯就無法進行推理。但在這種情況下，人是可以進行思維和推理的。比如：健康的人是長壽的， * 非常健康，則 *非常長壽。在這一推理中，大前提中的 “ A ”是健康，小前提中的 “A ”是非常健康，大前提與小前提不一致，無法使用形式邏輯進行推理但人們可以得到 “相當長壽 ”的結論，這是根據(jù)大前提中的 “健康 ”與小前中的 “非常健康 ”的 “含義 ”的相似程度得到的。 關于模糊推理可以概括為以下幾個模型 : (1) 單輸入單輸出模糊推理模型 大前提：如果 X 是 A 、則 Y 是 B 小前提： X 是 A? 結論：則 Y 是 B? 其中 A 和 A? 是 X 上的模糊集； B 和 B? 是 Y 上的模糊集合。 (2) 多規(guī)則、單輸入單輸出模糊推理模型 11 大前提 1：如果 X 是 1A ，則 Y 是 1B 大前提 2：如果 X 是 2A ，則 Y 是 2B 大前提 m：如果 X 是 mA ，則 Y 是 mB 小前提： X 是 A? 結論：則 Y 是 B? 其中 iA 和 ? ?1, 2,...iA i n? ? 是 X 上的模糊集； B 和 B? 是 Y 上的模糊集合。 (3) 多輸入單輸出模糊推理模型 大前提：如果 1X 是 1A 且 ...且 nX 是 nA ，則 Y 是 B 小前提：如果 1X 是 1A? 且 ...且 nX 是 nA? 結論：則 Y 是 B? 其中 iA 和 ? ?1, 2,...iA i n? ? 是 X 上的模糊集； B 和 B? 是 Y 上的模糊集合。 此外還有多 規(guī)則、多輸入單輸出模糊推理模型和多規(guī)則、多輸入多輸出模糊推理模型。 模糊邏輯系統(tǒng) 模糊邏輯系統(tǒng)是由模糊規(guī)則庫、模糊推理機、模糊產(chǎn)生器和模糊消除器四部分組 成。其基本結構框圖如下： 圖 模糊控制器基本結構圖 Structure of fuzzy controller 12 設 ? ?1 2 1 2 3, , , , Tnx x x K x U U U? ? ? ?和 yV? 均屬于語言變量，分別為模糊控制器的輸入和輸出； ilF 和 iY 分別是 iUR? 和 VR? 上的 模糊集合。模糊邏輯系統(tǒng)構成了由子空間 U 到子空間 V 上的一個映射。 模糊規(guī)則庫：模糊規(guī)則庫是具有如下形式 “if then? ”規(guī)則的總和： 11: L i i inniif is an d an d isthen y isxxR F FY 1,2, , ,i L r r? 表示模糊規(guī)則數(shù)。模糊規(guī)則來源于人們離線或在線對控制過程的了解。人們通過直接觀察控制過程，或對控制過程建立數(shù)學模型仿真，對控制過程的特性能夠有一個直觀的認識。雖然這種認識并不是很精確的數(shù)學表達，只是一些定性描述，但它能夠反映過程控制的本質(zhì)，是人的智能的體現(xiàn)。在此基礎上，人們往往能夠成功地實施控制。因此，建立在語言變量基礎上的模糊控制規(guī)則為表達人的控制行為和決策過程提供了一條途徑。 模糊推理機是模糊邏輯系統(tǒng)和模糊控制的心臟，它根據(jù)模糊系統(tǒng)的輸入和 模糊推理規(guī)則，經(jīng)過模糊關系合成和模糊推理合成等邏輯運算，得出模糊系統(tǒng)的輸出。模糊產(chǎn)生器的作用是將一個確定的點 ? ?12, , , , Tnx x x K x U??映射為模糊集合 A? 。 影射方式至少有兩種： (1)單點模糊化。若 A? 對支撐集為單點模糊集，則對某一點 xx?? 時有 ? ? 1A x? ? ， 而對其余所有的點 ,x x x U????，有 ? ? 0A x? ? 幾乎所有的模糊化算子都是采用單點模糊算子。 (2)非單點模糊化。當 xx?? 時有 ? ? 1A x? ? ，但當 x? 逐漸遠離 x 時，從 1 開始衰減。 解模糊的作用是將 V 上的模糊集合映射為一個確 定的點。在實際控制中，系統(tǒng)的輸出是精確的量，不是模糊集，但模糊推理或系統(tǒng)的輸出是模糊集，而不是精確的量。所以要利用模糊消除器將 V 上的模糊集合映射為一個確定的點。通常的去模糊化有如下幾種形式： (1)最大值模糊化方法。定義如下： ? ?a rg s u p YyVyy??? ???? (27) (2)中心加權平均去模糊方法。將模糊推理得到的模糊集合 B 的 隸屬函數(shù)與橫坐 標所圍成的面積的中心所對應的 V 上的數(shù)值作為精確化結果，即 13 ? ?? ?YYy y dyyy dy??? ?? (28) (3)中心加權平均去模糊方法。對 V 上各模糊集合的中心加權平均得到精確化結 果： ? ?? ?11r iiYir iYiyyyy??????? (29) 在模糊邏輯系統(tǒng)中，由于取用模糊推理規(guī) 則、模糊化、模糊推理合成、解模糊的方法很多，每一組組合都會產(chǎn)生不同類型的模糊邏輯系統(tǒng)。下面介紹幾種最常用的模糊邏輯系統(tǒng)，對于式 (26) ： (1)采用單點模糊化、乘積推理和中心平均加權去模糊所構成的模糊邏輯系統(tǒng)為： ? ? ? ?? ?1 11ilili nrli lnrli lFfxFy xx??? ??? ? ?? ? (210) (2)采用單點模糊化、最小值推理和中心平均加權反模糊化所構成的模糊邏輯系統(tǒng)具有如下形式： ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1111111m in L m in L iiiinirnirniFFfxFFy xxxx??????????????????? ?? (211) (3)采用單點模糊化、乘積推理和中心加權去模糊化及高斯隸屬函數(shù)所構成的模糊邏輯系統(tǒng)形式如下： ? ?21 121 1e xpe xpii nr il lili llinr i l lili llfxx xyx x????? ?? ??????????????????????????????????????????????????? ?? ? (212) 14 (4) TS 模糊系統(tǒng) TS 模糊系統(tǒng)結構的基本框圖如下： 圖 TS 模糊系統(tǒng)基本結構圖 Structure of TS fuzzy system 其中， “if then? ” 規(guī)則形式如下： 110 1 1: L L +i i inni i in niif is and and isthe nxxR F Fy c c x c x? ? ? （ 213） 式中， ? ?1 2 1 2, , , , Tnnx x x K x U U L U? ? ? ? ?和 yV? 均屬于語言變量， 分別為模糊控制器的輸入和輸出； ilF iY 分別是 iUR? 和 VR? 上的模糊集合； 1,2, , ,i L r r? 表示模糊規(guī)則 數(shù)，ijC 為真值參數(shù)。 采用單點模糊化、乘積推理和中心加權去模糊化所構成的模糊邏輯系統(tǒng)為： 11() r iii riihyyxh????? （ 214） 其中， 1 ()nj ij jh u x??? （ 215） 式中 ， ()ij jx? 為隸屬度。這種模糊系統(tǒng)在許多實際問題中得到了成功的應用 。該模型由一個模糊關系系統(tǒng)和一組線性系統(tǒng)組成，可以看作是非線性控制中分段線性化逼近的一種擴展。首先在一系列操作點附近對系統(tǒng)線性化，然后通過隸屬函數(shù)把每個模糊子空間的局部線性模型平滑的連接起來描述系統(tǒng)的動態(tài)行為。它的主要優(yōu)點就是提供了一個精確的系統(tǒng)方程，因此能夠利用參數(shù)估計和確定系統(tǒng)階數(shù)的方法來確定系統(tǒng)參數(shù)和階數(shù)。 15 這類模糊系統(tǒng)是對非線性不確定系統(tǒng)建模的一個重要工具，目前已經(jīng)在系統(tǒng)辨識及其控制中得到了廣泛應用，并形成了模糊控制領域中最重要的研究方向之一。 模糊系