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正文內(nèi)容

食品物料輸送機(jī)械(編輯修改稿)

2024-10-04 21:23 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 由定義 ,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的 。 例 . 另一個簡單的隨機(jī)時間列序被稱為隨機(jī)游走( random walk) , 該序列由如下隨機(jī)過程生成: X t=Xt1+?t 這里, ?t是一個白噪聲。 容易知道該序列有相同的均值 : E(Xt)=E(Xt1) 為了檢驗該序列是否具有相同的方差,可假設(shè)Xt的初值為 X0,則易知 : X1=X0+?1 X2=X1+?2=X0+?1+?2 … … Xt=X0+?1+?2+… +?t 由于 X0為常數(shù), ?t是一個白噪聲,因此 : Var(Xt)=t?2 即 Xt的方差與時間 t有關(guān)而非常數(shù) , 它是一非平穩(wěn)序列 。 ? 然而,對 X取 一階差分 ( first difference) : ?Xt=XtXt1=?t 由于 ?t是一個白噪聲,則序列 {Xt}是平穩(wěn)的。 后面將會看到 :如果一個時間序列是非平穩(wěn)的,它常??赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列 。 ? 事實上, 隨機(jī)游走過程 是下面我們稱之為 1階自回歸 AR(1)過程 的特例 : Xt=?Xt1+?t 不難驗證 : 1)|?|1時,該隨機(jī)過程生成的時間序列是發(fā)散的,表現(xiàn)為持續(xù)上升 (?1)或持續(xù)下降 (?1),因此是非平穩(wěn)的; 2)?=1時,是一個隨機(jī)游走過程,也是非平穩(wěn)的 。 167。 :只有當(dāng) 1?1時,該隨機(jī)過程才是平穩(wěn)的。 ? 1階自回歸過程 AR(1)又是如下 k階自回歸 AR(K)過程 的特例: Xt= ?1Xt1+?2Xt2… +?kXtk 該隨機(jī)過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹。 三、平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷 ? 給出一個隨機(jī)時間序列,首先可通過該序列的 時間路徑圖 來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。 ? 一個 平穩(wěn)的時間序列 在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程。 ? 而 非平穩(wěn)序列 則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值(如持續(xù)上升或持續(xù)下降)。 tX tX t t (a ) (b) 圖 平穩(wěn)時間序列與非平穩(wěn)時間序 列圖 ? 進(jìn)一步的判斷 :檢驗樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形 定義隨機(jī)時間序列的 自 相 關(guān) 函 數(shù)( autocorrelation function, ACF) 如下 : ?k=?k/?0 自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期 k的遞減函數(shù) (Why?)。 實際上 ,對一個隨機(jī)過程只有一個實現(xiàn)(樣本),因此,只能計算 樣本自相關(guān)函數(shù) ( Sample autocorrelation function)。 ? 一個時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為: ? ?? ?? ???????????nttkntkttkXXXXXXr121 ?,3,2,1?k 易知 , 隨著 k的增加 , 樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零 。 但從下降速度來看 , 平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多 。 kr kr 1 1 0 k 0 k ( a ) ( b ) 圖 平穩(wěn)時間序列與非平穩(wěn)時間序列樣本相關(guān)圖 ? 注意 : 確定樣本自相關(guān)函數(shù) rk某一數(shù)值是否足夠接近于 0是非常有用的,因為它可 檢驗對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù) ?k的真值是否為 0的假設(shè)。 Bartlett曾證明 :如果時間序列由白噪聲過程生成 , 則對所有的 k0, 樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以 0為均值 , 1/n 為方差的正態(tài)分布 , 其中 n為樣本數(shù) 。 也可檢驗對所有 k0, 自相關(guān)系數(shù)都為 0的聯(lián)合假設(shè) , 這可通過如下 QLB統(tǒng)計量進(jìn)行: ?????????????mkkLB knrnnQ12)2( 該統(tǒng)計量近似地服從自由度為 m的 ?2分布( m為滯后長度)。 因此 :如果計算的 Q值大于顯著性水平為 ?的臨界值,則有 1?的把握拒絕所有 ?k(k0)同時為 0的假設(shè)。 例 : 表 Random1是通過一隨機(jī)過程(隨機(jī)函數(shù))生成的有 19個樣本的隨機(jī)時間序列。 表 一個純隨機(jī)序列與隨機(jī)游 走序列的檢驗 序號 R andom1 自相關(guān)系數(shù) kr (k=0,1, … 17) LBQ R andom2 自相關(guān)系數(shù) kr (k=0,1, … 17) LBQ 1 K=0, 1 . 0 0 0 2 K=1, 0 . 0 5 1 3 K=2, 0 . 3 9 3 4 K=3, 0 . 1 4 7 5 K=4, 0 . 2 8 0 6 K=5, 0 . 1 8 7 7 K=6, 0 . 3 6 3 8 K=7, 0 . 1 4 8 9 K=8, 0 . 3 1 5 10 K=9, 0 . 1 9 4 11 K=10, 0 . 1 3 9 12 K=11, 0 . 2 9 7 13 K=12, 0 . 0 3 4 14 K=13, 0 . 1 6 5 15 K=14, 0 . 1 0 5 16 K=15, 0 . 0 9 4 17 K=16, 0 . 0 3 9 18 K=17, 0 . 0 2 7 19 ? 容易驗證: 該樣本序列的均值為 0,方差為。 ? 從圖形看: 它在其樣本均值 0附近上下波動,且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到 0,隨后在 0附近波動且逐漸收斂于 0。 ( a ) ( b ) 0 . 6 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 62 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 0 . 8 0 . 40 . 00 . 40 . 81 . 22 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 A C? 由于該序列由一隨機(jī)過程生成,可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性,因此 該序列為一白噪聲。 ? 根據(jù) Bartlett的理論: ?k~N(0,1/19), 因此任一 rk(k0)的 95%的置信區(qū)間都將是 : ]4 4 9 ,4 4 9 []19/,19/[],[ 0 2 2 ????????? ?? ZZ? 可以看出 :k0時, rk的值確實落在了該區(qū)間內(nèi),因此可以接受 ? k(k0)為 0的假設(shè) 。 ? 同樣地 , 從 QLB統(tǒng)計量的計算值看,滯后 17期的計算值為 ,未超過 5%顯著性水平的臨界值 ,因此 ,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)?k(k0)都為 0的假設(shè)。 ? 因此 , 該隨機(jī)過程是一個平穩(wěn)過程。 ? 序列 Random2是由一隨機(jī)游走過程 Xt=Xt1+?t 生成的一隨機(jī)游走時間序列樣本。其中,第 0項取值為 0, ?t是由 Random1表示的白噪聲。 ( a ) ( b ) 1 . 0 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 42 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 2 0 . 8 0 . 40 . 00 . 40 . 81 . 22 4 6 8 10 12 14 16 18R AN D O M 2 AC 圖形表示出: 該序列具有相同的均值,但從樣本自相關(guān)圖看,雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到 0,但隨著時間的推移,則在 0附近波動且呈發(fā)散趨勢。 樣本自相關(guān)系數(shù)顯示 : r1=,落在了區(qū)間[, ]之外,因此在 5%的顯著性水平上拒絕 ?1的真值為 0的假設(shè)。 該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。 例 檢驗中國支出法 GDP時間序列的平穩(wěn)性 。 表 1978~2020年中國支出法 GDP(單位:億元) 年份 GDP 年份 G D P 年份 GDP 1978 1986 10132. 8 1994 46690. 7 1979 1987 1 1784 1995 58510. 5 198 0 1988 14704 1996 68330. 4 1981 1989 16466 1997 74894. 2 1982 1990 18319. 5 1998 79003. 3 1983 1991 21280. 4 1999 82673. 1 1984 1992 25863. 6 2020 891 12 .5 1985 1993 34500. 6 圖 . 5 1978 ~ 2 0 0 0 年中國 GDP 時間序列及其樣本自相關(guān)圖 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 01 . 22 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22G D P A C F02 0 0 0 04 0 0 0 06 0 0 0 08 0 0 0 01 0 0 0 0 078 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00G D P? 圖形:表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程 ,可初步判斷 是非平穩(wěn) 的。 ? 樣本自相關(guān)系數(shù):緩慢下降 ,再次表明它的非平穩(wěn) 性。 ? 從滯后 18期的 QLB統(tǒng)計量看 : QLB(18)==? 拒絕 :該時間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后 1期之后的值全部為 0的假設(shè)。 結(jié)論 : 1978—2020年間中國 GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。 例 檢驗 167。 國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。 圖 9 . 1 . 6 1 9 8 1 ~ 1 9 9 6 中國居民人均消費與人均 G D P 時間序列及其樣本自相關(guān)圖 010002020300040005000600082 84 86 88 90 92 94 96G D P P C C P C 0 . 4 0 . 20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15G D P P C C P C 原圖 樣本自相關(guān)圖 ? 從圖形上看: 人均居民消費( CPC)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值( GDPPC) 是非平穩(wěn)的 。
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