【文章內(nèi)容簡介】 由定義 ,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的 。 例 ． 另一個簡單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為隨機(jī)游走（ random walk） ， 該序列由如下隨機(jī)過程生成： X t=Xt1+?t 這里， ?t是一個白噪聲。 容易知道該序列有相同的均值 ： E(Xt)=E(Xt1) 為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為 X0，則易知 : X1=X0+?1 X2=X1+?2=X0+?1+?2 … … Xt=X0+?1+?2+… +?t 由于 X0為常數(shù)， ?t是一個白噪聲，因此 : Var(Xt)=t?2 即 Xt的方差與時(shí)間 t有關(guān)而非常數(shù) ， 它是一非平穩(wěn)序列 。 ? 然而，對 X取 一階差分 （ first difference） : ?Xt=XtXt1=?t 由于 ?t是一個白噪聲，則序列 {Xt}是平穩(wěn)的。 后面將會看到 :如果一個時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列 。 ? 事實(shí)上， 隨機(jī)游走過程 是下面我們稱之為 1階自回歸 AR(1)過程 的特例 : Xt=?Xt1+?t 不難驗(yàn)證 : 1)|?|1時(shí)，該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升 (?1)或持續(xù)下降 (?1)，因此是非平穩(wěn)的； 2)?=1時(shí)，是一個隨機(jī)游走過程，也是非平穩(wěn)的 。 167。 :只有當(dāng) 1?1時(shí)，該隨機(jī)過程才是平穩(wěn)的。 ? 1階自回歸過程 AR(1)又是如下 k階自回歸 AR(K)過程 的特例： Xt= ?1Xt1+?2Xt2… +?kXtk 該隨機(jī)過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹。 三、平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷 ? 給出一個隨機(jī)時(shí)間序列，首先可通過該序列的 時(shí)間路徑圖 來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。 ? 一個 平穩(wěn)的時(shí)間序列 在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程。 ? 而 非平穩(wěn)序列 則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。 tX tX t t (a ) (b) 圖 平穩(wěn)時(shí)間序列與非平穩(wěn)時(shí)間序 列圖 ? 進(jìn)一步的判斷 :檢驗(yàn)樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形 定義隨機(jī)時(shí)間序列的 自 相 關(guān) 函 數(shù)（ autocorrelation function, ACF） 如下 ： ?k=?k/?0 自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期 k的遞減函數(shù) (Why?)。 實(shí)際上 ,對一個隨機(jī)過程只有一個實(shí)現(xiàn)（樣本），因此，只能計(jì)算 樣本自相關(guān)函數(shù) （ Sample autocorrelation function）。 ? 一個時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為： ? ?? ?? ???????????nttkntkttkXXXXXXr121 ?,3,2,1?k 易知 ， 隨著 k的增加 ， 樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零 。 但從下降速度來看 ， 平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多 。 kr kr 1 1 0 k 0 k ( a ) ( b ) 圖 平穩(wěn)時(shí)間序列與非平穩(wěn)時(shí)間序列樣本相關(guān)圖 ? 注意 : 確定樣本自相關(guān)函數(shù) rk某一數(shù)值是否足夠接近于 0是非常有用的，因?yàn)樗?檢驗(yàn)對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù) ?k的真值是否為 0的假設(shè)。 Bartlett曾證明 :如果時(shí)間序列由白噪聲過程生成 ， 則對所有的 k0， 樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以 0為均值 ， 1/n 為方差的正態(tài)分布 ， 其中 n為樣本數(shù) 。 也可檢驗(yàn)對所有 k0， 自相關(guān)系數(shù)都為 0的聯(lián)合假設(shè) ， 這可通過如下 QLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行： ?????????????mkkLB knrnnQ12)2( 該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為 m的 ?2分布（ m為滯后長度）。 因此 :如果計(jì)算的 Q值大于顯著性水平為 ?的臨界值，則有 1?的把握拒絕所有 ?k(k0)同時(shí)為 0的假設(shè)。 例 : 表 Random1是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有 19個樣本的隨機(jī)時(shí)間序列。 表 一個純隨機(jī)序列與隨機(jī)游 走序列的檢驗(yàn) 序號 R andom1 自相關(guān)系數(shù) kr (k=0,1, … 17) LBQ R andom2 自相關(guān)系數(shù) kr (k=0,1, … 17) LBQ 1 K=0, 1 . 0 0 0 2 K=1, 0 . 0 5 1 3 K=2, 0 . 3 9 3 4 K=3, 0 . 1 4 7 5 K=4, 0 . 2 8 0 6 K=5, 0 . 1 8 7 7 K=6, 0 . 3 6 3 8 K=7, 0 . 1 4 8 9 K=8, 0 . 3 1 5 10 K=9, 0 . 1 9 4 11 K=10, 0 . 1 3 9 12 K=11, 0 . 2 9 7 13 K=12, 0 . 0 3 4 14 K=13, 0 . 1 6 5 15 K=14, 0 . 1 0 5 16 K=15, 0 . 0 9 4 17 K=16, 0 . 0 3 9 18 K=17, 0 . 0 2 7 19 ? 容易驗(yàn)證： 該樣本序列的均值為 0，方差為。 ? 從圖形看： 它在其樣本均值 0附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到 0，隨后在 0附近波動且逐漸收斂于 0。 （ a ） （ b ） 0 . 6 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 62 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 0 . 8 0 . 40 . 00 . 40 . 81 . 22 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 A C? 由于該序列由一隨機(jī)過程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此 該序列為一白噪聲。 ? 根據(jù) Bartlett的理論： ?k~N(0,1/19)， 因此任一 rk(k0)的 95%的置信區(qū)間都將是 : ]4 4 9 ,4 4 9 []19/,19/[],[ 0 2 2 ????????? ?? ZZ? 可以看出 :k0時(shí)， rk的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受 ? k(k0)為 0的假設(shè) 。 ? 同樣地 ， 從 QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后 17期的計(jì)算值為 ，未超過 5%顯著性水平的臨界值 ，因此 ,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)?k(k0)都為 0的假設(shè)。 ? 因此 ， 該隨機(jī)過程是一個平穩(wěn)過程。 ? 序列 Random2是由一隨機(jī)游走過程 Xt=Xt1+?t 生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本。其中，第 0項(xiàng)取值為 0， ?t是由 Random1表示的白噪聲。 （ a ） （ b ） 1 . 0 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 42 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 2 0 . 8 0 . 40 . 00 . 40 . 81 . 22 4 6 8 10 12 14 16 18R AN D O M 2 AC 圖形表示出： 該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到 0，但隨著時(shí)間的推移，則在 0附近波動且呈發(fā)散趨勢。 樣本自相關(guān)系數(shù)顯示 ： r1=，落在了區(qū)間[, ]之外，因此在 5%的顯著性水平上拒絕 ?1的真值為 0的假設(shè)。 該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。 例 檢驗(yàn)中國支出法 GDP時(shí)間序列的平穩(wěn)性 。 表 1978~2020年中國支出法 GDP（單位：億元） 年份 GDP 年份 G D P 年份 GDP 1978 1986 10132. 8 1994 46690. 7 1979 1987 1 1784 1995 58510. 5 198 0 1988 14704 1996 68330. 4 1981 1989 16466 1997 74894. 2 1982 1990 18319. 5 1998 79003. 3 1983 1991 21280. 4 1999 82673. 1 1984 1992 25863. 6 2020 891 12 .5 1985 1993 34500. 6 圖 . 5 1978 ~ 2 0 0 0 年中國 GDP 時(shí)間序列及其樣本自相關(guān)圖 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 01 . 22 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22G D P A C F02 0 0 0 04 0 0 0 06 0 0 0 08 0 0 0 01 0 0 0 0 078 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00G D P? 圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程 ，可初步判斷 是非平穩(wěn) 的。 ? 樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降 ，再次表明它的非平穩(wěn) 性。 ? 從滯后 18期的 QLB統(tǒng)計(jì)量看 ： QLB(18)==? 拒絕 ：該時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后 1期之后的值全部為 0的假設(shè)。 結(jié)論 : 1978—2020年間中國 GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列。 例 檢驗(yàn) 167。 國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。 圖 9 . 1 . 6 1 9 8 1 ~ 1 9 9 6 中國居民人均消費(fèi)與人均 G D P 時(shí)間序列及其樣本自相關(guān)圖 010002020300040005000600082 84 86 88 90 92 94 96G D P P C C P C 0 . 4 0 . 20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15G D P P C C P C 原圖 樣本自相關(guān)圖 ? 從圖形上看： 人均居民消費(fèi)（ CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（ GDPPC） 是非平穩(wěn)的 。