【文章內(nèi)容簡介】 的逾滲閾值為 1/2， pc =。這是少數(shù)幾個(gè)可以嚴(yán)格求得 pc值的例子之一。另外還有幾個(gè)二維點(diǎn)陣的逾滲問題的閾值也已嚴(yán)格解出。但對(duì)任何三維或更高維點(diǎn)陣的逾滲過程，至今尚無嚴(yán)格解。一維點(diǎn)陣不存在逾滲現(xiàn)象。對(duì)一維情形，立即得到 pc =1；意即任何斷鍵都將破壞 長程聯(lián)結(jié)性。一維情形（ d=1）時(shí)無法像 d≥ 2那樣“繞過”障礙 [2]。 逾滲理論三個(gè)應(yīng)用的介紹 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 Ag1xCox巨磁電阻的應(yīng)用 Ag1xCox 顆粒膜是將磁性納米顆粒 Co 嵌埋于基質(zhì)金屬 Ag 中所構(gòu)成的一類復(fù)合薄膜。在其巨磁電阻（ GMR）效應(yīng)的組成中，磁性元素所占的體積百分?jǐn)?shù)大約處于15%至 25%范圍內(nèi)，低于形成網(wǎng)絡(luò)狀結(jié)構(gòu)的逾滲閾值。在磁性顆粒膜中，依賴磁性金屬的含量，存在著 3 種明顯的結(jié)構(gòu)區(qū)域，即過渡區(qū)域、分離區(qū)域或介電區(qū)域、連通區(qū)域或金屬區(qū)域。如果， Ag 所占比例較大，則整體表現(xiàn)為非磁性， 而當(dāng) Co 的比例增加時(shí)，整體表現(xiàn)為有磁性，這個(gè)臨界點(diǎn)的 x 值就是逾滲值 [3]，也是本文最關(guān)心的。 金屬一絕緣顆粒復(fù)合介質(zhì)的應(yīng)用 所謂的金屬 絕緣顆粒復(fù)合材料指金屬顆粒無規(guī)地分布在絕緣的基質(zhì)中或金屬與絕緣顆粒無規(guī)地混合。文章 [5]指 出 ，這種混合物有效電導(dǎo)率σ e隨著金屬組分的濃度 f減小而減小，當(dāng)濃度 f達(dá)到某一臨界值 fc時(shí)有效電導(dǎo)率會(huì)突然消失 。而當(dāng)濃度小于這個(gè)臨界值時(shí)，有效電導(dǎo)率的值是 0，整個(gè)系統(tǒng)處于不導(dǎo)電的狀態(tài) 。當(dāng)濃度 f等于這個(gè)臨界值時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)發(fā)生了金屬一絕緣體轉(zhuǎn)變 .這個(gè)臨界值稱為滲流閾值 .在 fc附 近，復(fù)合介質(zhì)的σ e由金屬成分所組成導(dǎo)電通路的無限大集團(tuán)確定，光學(xué)性質(zhì)同樣也會(huì)在閾值附近發(fā)生躍變，這主要是因?yàn)槌煞值淖兓沟貌ㄩL發(fā)生了變化。 逾滲理論在器件可靠性上的應(yīng)用 按照國際半導(dǎo)體工業(yè)協(xié)會(huì) 2020年修訂發(fā)布的《國際半導(dǎo)體技術(shù)發(fā)展規(guī)劃》(International TechnologyRoadmap for Semiconductors))，到 2020年將進(jìn)入 35nm技術(shù)時(shí)代，如今主流是 130nm和 90nm工藝。事實(shí)上隨著有些廠商要將 45nm技術(shù)量產(chǎn)，所以35nm技術(shù)會(huì)時(shí)代更早到來。 集成電路 技術(shù)的進(jìn)步要求金屬連線的寬度減少，連線層數(shù)增加。在特征尺寸的縮小使器件門延遲減小的同時(shí)，也使得互連線性能降低，這是因?yàn)樘卣鞒叽绲目s小將導(dǎo)致互連線橫截面和線間距減小。而橫截面減小不僅會(huì)引起連線電阻增加，電路互連延遲時(shí)間增大，而且直接導(dǎo)致互連線中電流密度增大，熱應(yīng)力和電遷移應(yīng)力增大。嚴(yán)重影響互連線的可靠性。同時(shí)，金屬互連在整個(gè)集成電路芯片中所占的面積越來越大，而性能卻不斷降低。金屬互連線可靠性問題自然成了今后集成電路可靠性研究的重點(diǎn)。事實(shí)上，如今很多技術(shù)， 比如在 90nm都是采用的銅導(dǎo)線，這就避免了電遷移現(xiàn)象的影 響，當(dāng)然，成本也會(huì)更高一點(diǎn) 。 眾所周知，銅是很難被刻蝕的，現(xiàn)在的解決方法是采用雙大馬士革方法，這種方式更像是一種介質(zhì)的刻蝕過程，在此本文不做介紹。 根據(jù)逾滲理論，可以認(rèn)為電遷移過程實(shí)際上是互連線中先產(chǎn)生缺陷而后產(chǎn)生絕緣缺陷的過程。在這個(gè)過程中， 在電場的作用下，金屬原子定向運(yùn)動(dòng)形成缺陷，并天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 不斷的產(chǎn)生缺陷積累。當(dāng)應(yīng)力時(shí)間足夠長，互連線中的缺陷濃度足夠大，達(dá)到了逾滲閾值，則在互連線中會(huì)形成大的缺陷逾滲集團(tuán)，使實(shí)際參與導(dǎo)電的互連線橫截面積急劇減小，電阻顯著增大?；ミB線表現(xiàn)為電遷移失效。 圖 2－ 6 Al膜的 隨機(jī) 電阻模擬 [6] 如圖 2－ 6所示，可以將 Al膜用隨機(jī)電阻模擬，每個(gè)晶格用一個(gè)電阻代表，當(dāng)電流通過時(shí)，只要存在一個(gè)通路 就會(huì) 有電流通過，可以將金屬定向移動(dòng)后留下空缺的過程認(rèn)為是電阻的失效，隨著電遷移的增加，電阻不斷失效，當(dāng)?shù)揭欢ǔ潭群?，突然?huì)無電流通過，這時(shí)可以認(rèn)為是 Al線失效 [6]。 V 圖、 PV 圖和 LV圖定義 V 圖簡介 許多科學(xué)以及工程問題可以轉(zhuǎn)化為二維 、三維的空間分割，如供貨點(diǎn)供貨區(qū)域劃分問題以及無線通訊基站服務(wù)區(qū)域劃分等問題 。 通訊基站或供貨點(diǎn)位置可用孤立點(diǎn)表示，其空間劃分多采 用 Voronoi模型，如圖 1所示 ,V圖是計(jì)算幾何中最重要的圖形結(jié)構(gòu) 。 N維 V圖的定義：在 N維空間 RN 上有 n個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)集 S={p1,p2,p3,? ,pn},其中點(diǎn) pi的空間坐標(biāo)為（ k1i,k2i, ? ,kNi） ,令 1 1 2 2 2 2 2 1/ 21( , ) [ ( ) ( ) ( ) ]NNi p i p i pd p p k k k k k k? ? ? ? ? ? ?… … (25) 為點(diǎn) p到點(diǎn) pi的距離，于是將滿足 ( , ) { | ( , ) ( , ) , | }Ni i jR S p P R d p p d p p j i? ? ? ? (26) 的空間區(qū)域 R（ S,pi）稱為為點(diǎn) pi的 Voronoi區(qū)域（ V區(qū)域） 。 這樣， N維空間被劃分為 n個(gè) V區(qū)域 R（ S,pi）， R（ S,p2），?， R（ S,pn）和其區(qū)域的公共邊界，這種圖結(jié)天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 構(gòu)稱作點(diǎn)集 S的 V圖，如圖 1所示。簡而言之，就是將這些孤立點(diǎn)連接起來，取這些連線的中垂線，中垂線的交點(diǎn)所組成的圖形就是 V圖，而孤立點(diǎn)的連線組成的圖形是其對(duì)偶圖，對(duì)偶圖實(shí)際上是對(duì)空間進(jìn)行三角剖分。很顯然， V圖可以模擬通訊基站或供貨點(diǎn)的空間劃分問題 。 但其缺陷也很明顯，因?yàn)閷?shí)際上每個(gè)通訊基站的功率或供貨點(diǎn)儲(chǔ)備貨物量未必相同，有些情況下相差還很懸殊，而在做圖時(shí)把各個(gè)點(diǎn)等同看待，就無法考慮各個(gè)點(diǎn) 的差異性 。 圖 21 V 圖 模型 LV 圖簡介 為了更好的模擬實(shí)際的情況 ,對(duì)于模型進(jìn)行了大量的改進(jìn) ,即加入了權(quán)重的概念。LaguerreVoronoi 圖（ LV 圖）就是一種施加權(quán)重的 V 圖。 LV 圖具體定義：設(shè)在 N維空間上有由 n 個(gè)球組成的集合 G， G＝ {c1,c2,? ,},設(shè) ri,pi=（ k1i,k2i, ? ,kNi） ,分別是球 ci的半徑和球心坐標(biāo) ,定義空間一點(diǎn) p 到球 ci的距離 dL(p,ci)為 dL (p,ci)2=d(p,pi)2 –ri2 ,于是可將滿足 RL（ G,ci）＝ {P∈ RN| d(p,pi) d(p,pj),|j≠ i}的空間區(qū)域 RL（ G,c2）稱為球 ci的 LaguerreVoronoi 區(qū)域 (LV 區(qū)域 ), 這樣， N 維 空間被劃分為 N 個(gè)區(qū)域和RL（ G,c1） ,RL（ G,c2） ,? ,RL（ G,） 相應(yīng)的邊界 ，如此構(gòu)成了 LV 圖，或稱 power圖。此外，當(dāng)區(qū)域 RL（ G,ci）和 RL（ G,cij）有公共邊時(shí)，可把兩球的球心 pi和 pj連接起來，用這種方法構(gòu)成了空間的三角剖分，如圖 2－ 2 中虛線畫的三角形形態(tài)，即Laguerre－ Delaunay 圖（ LD 圖）。用 LV 模擬主要是為了把各個(gè)通 訊基站供貨點(diǎn)不等同看待，以便更好的模擬真實(shí)情況，使得模擬效果更好。通過半徑這個(gè)概念以權(quán)天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 重的形式對(duì)生成的圖形結(jié)構(gòu)施加正向影響，通訊基站的功率越大或供貨點(diǎn)儲(chǔ)備的貨物越多，他所劃分得到的空間越大，通訊基站通過方程來計(jì)算它的輻射范圍，通過計(jì)算機(jī)來仿真并畫出基站的輻射范圍。從上面的兩個(gè)空間劃分的實(shí)例可以看出， LV圖比 PV圖有更好的實(shí)用性。在實(shí)際科研中， V 圖以及 LV 圖在諸多學(xué)科建模中確實(shí)有著舉足輕重的作用。這種重要的幾何模型已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于材料、生物、天文、經(jīng)濟(jì)、通訊以及人工智能等研究領(lǐng)域中 [10]。 圖 22 二維下的 LV和 LD圖 圖 2－ 3 中，給出了胞數(shù)為 4096 個(gè)胞的 LV 圖形。 圖 2－ 3 實(shí)驗(yàn)所用的 LV 圖（胞數(shù)為 4096） 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 隨機(jī)數(shù)生成的方法 通常產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)是利用計(jì)算機(jī)程序，即由一個(gè)算法來產(chǎn)生隨機(jī)序列，所謂序列是指一個(gè)有序數(shù)列，以往由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)一般是先確定初值 (即種子 )，再由遞推公式 z 一 f(x )產(chǎn)生下一個(gè)隨機(jī)數(shù)，這樣，數(shù)據(jù)間應(yīng)是有明確關(guān)系的，即不獨(dú)立的，故被稱作偽隨機(jī)數(shù)。但由于其快速、經(jīng)濟(jì)、方便的特點(diǎn)，仍得到了相當(dāng)廣泛的應(yīng)用 [11]。 Matlab隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的種類豐富且用法簡便。它不僅包括能生成服從均勻分布隨機(jī)數(shù)的發(fā)生器，還包括能生成常用分布 (如泊松分布，指數(shù)分布等 )隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。這些隨機(jī)數(shù)發(fā)生器所采用的算法，都是經(jīng)過反復(fù)測試并商品化的，其可靠性和穩(wěn)定性都很強(qiáng)。 Matlab提供的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器通?？蓺w為兩類。 以 Matlab內(nèi)部命令形式出現(xiàn)的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 (1)Rand函數(shù)，該函數(shù)用來產(chǎn)生數(shù)列或數(shù)組，這些數(shù)組的元素服從 [0， 1]之間的均勻分布。具體的調(diào)用方法可以參照 Matlab的幫助文檔。這一隨機(jī)數(shù)發(fā)生器可以在區(qū)間 [2(一 53)， 1— 2 (一 53)]之間生成所有的浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)。理論上說，它能夠產(chǎn)生 21459個(gè)不重復(fù)的隨機(jī)數(shù)值，這是一般高級(jí)語言提供的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器無法比擬的。當(dāng)然要是想產(chǎn)生一個(gè)在 [， ]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，實(shí)際上就是 rand的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，即 2*rand1。 (2)Randn函數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用完全類似于 Rand函數(shù)，其功能是實(shí)現(xiàn)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)序列或者是數(shù)組。此外還有象 Sprandn、 Sprand等其它一些隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)。 工具箱 (Toolbox)中的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 (1)Randseed，種子“ seed”的選取對(duì)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生有很重要的影響，是隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生中很關(guān)鍵的一項(xiàng)工作，該函數(shù)用于產(chǎn)生合適的隨機(jī)數(shù)種子。 (2)munication toolbox和 simulink進(jìn)行仿真也給出了隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，它們是以模塊形式實(shí)現(xiàn)的，由它產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)或隨機(jī)變量的參數(shù)是通過對(duì)話框設(shè)定的。 表 2－ 3 Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱隨機(jī)數(shù)發(fā)生囂 分布類型 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 分布類型 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 Beta betarnd Hypergeometric hygernd Binomial binornd Lognormal lognrnd ChiSquare Chi2rnd Negative Binomial nbinrnd Noncentral ChiSquare ncx2rad Normal normalrnd Discrete Uniform unidrnd Poisson poissrnd Exponential exprnd Rayleigh raylrnd 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 F Distribution frnd Student‘s t trnd Noncentral F ncfrnd Noncentral t nctrnd Gamma gamrnd Continuos Uniform unifrnd Geometric geornd weibull weibrnd (3)Stastics toolbox中隨機(jī)數(shù)發(fā)生器是最為全面的，該工具箱擁有大量能夠生成特定分布隨機(jī)數(shù)的函數(shù) Random 函數(shù)可以通過參數(shù)的設(shè)定產(chǎn)生符合各種分布的隨機(jī)數(shù)。其調(diào)用方法 y=random(?name‘， A1， A2， A3， m ， n)統(tǒng)計(jì)工具箱除了提供了這種總的調(diào)用方式外，對(duì)于各種不同的分布函數(shù)還分別給出了相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，可以分別調(diào)用。分布類型和隨機(jī)數(shù)發(fā)生器名如表 2－ 3所示 [12]。 本文中以時(shí)間作為種子產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，如果是 matlab默認(rèn)的情況下，每次打開matlab都會(huì)產(chǎn)生完全相同的隨機(jī)數(shù)列，為了避免不必要的麻煩，本文以當(dāng)前時(shí)間作為種子。 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 第三章 逾滲算法及其計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 算法的描述 已有的應(yīng)用于正方形晶格的算法 算法的整個(gè)流程是首先構(gòu)造 n 個(gè)晶格的狀態(tài)（包含是否被占據(jù)和若被占據(jù)屬于哪個(gè)集團(tuán)等信息），注意到實(shí)驗(yàn)中每次增加一個(gè)座都可以認(rèn)為是在 n 個(gè)座已經(jīng)被占據(jù)的情況下再增加一個(gè)座，形成一種亞平衡的狀態(tài)。加入第一個(gè)座時(shí)系統(tǒng)只有一個(gè)單座集團(tuán)，當(dāng)其他座加入時(shí)，若連接到這個(gè)集團(tuán)上時(shí)則形成一個(gè)更大的集團(tuán)，如此往復(fù)，直到出現(xiàn)一個(gè)貫通整個(gè)系統(tǒng)的集團(tuán)出現(xiàn)時(shí)仿真結(jié)束，出現(xiàn)逾滲點(diǎn)。整個(gè)過程是： （ 1） 建立一個(gè)含有任意順序的包括 所有鍵的表。在這個(gè)表中位置的標(biāo)記數(shù)字從 1到 M ； （ 2） 先令 i=1 ； （ 3） 隨機(jī)在 i=j=M范圍內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè) j ； （ 4） 將 i和 j位置的鍵更換位置 ； （ 5） 令 i=i+1 ； （ 6） 從第三步重復(fù)直到 i=M為止 。 選擇這樣的順序進(jìn)行占據(jù)，在加入座時(shí)首先要判斷該座是形成一個(gè)單座集團(tuán)還是連接到其他集團(tuán)上，更或者是將兩個(gè)集團(tuán)連接成一個(gè)大的集團(tuán)。這樣就需要進(jìn)行另外兩個(gè)步驟：查找和連接。 查找是通過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的鄰居關(guān)系來判斷新添加的座的周圍是否有占據(jù)的集團(tuán)，而連接的過程則是 在查找發(fā)現(xiàn)有相鄰的集團(tuán)的情況下進(jìn)行，主要是將該座連接到相鄰的一個(gè)或者幾個(gè)集團(tuán)