【文章內(nèi)容簡介】 的逾滲閾值為 1/2， pc =。這是少數(shù)幾個可以嚴(yán)格求得 pc值的例子之一。另外還有幾個二維點陣的逾滲問題的閾值也已嚴(yán)格解出。但對任何三維或更高維點陣的逾滲過程，至今尚無嚴(yán)格解。一維點陣不存在逾滲現(xiàn)象。對一維情形，立即得到 pc =1；意即任何斷鍵都將破壞 長程聯(lián)結(jié)性。一維情形（ d=1）時無法像 d≥ 2那樣“繞過”障礙 [2]。 逾滲理論三個應(yīng)用的介紹 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 8 Ag1xCox巨磁電阻的應(yīng)用 Ag1xCox 顆粒膜是將磁性納米顆粒 Co 嵌埋于基質(zhì)金屬 Ag 中所構(gòu)成的一類復(fù)合薄膜。在其巨磁電阻（ GMR）效應(yīng)的組成中，磁性元素所占的體積百分?jǐn)?shù)大約處于15%至 25%范圍內(nèi)，低于形成網(wǎng)絡(luò)狀結(jié)構(gòu)的逾滲閾值。在磁性顆粒膜中，依賴磁性金屬的含量，存在著 3 種明顯的結(jié)構(gòu)區(qū)域，即過渡區(qū)域、分離區(qū)域或介電區(qū)域、連通區(qū)域或金屬區(qū)域。如果， Ag 所占比例較大，則整體表現(xiàn)為非磁性， 而當(dāng) Co 的比例增加時，整體表現(xiàn)為有磁性，這個臨界點的 x 值就是逾滲值 [3]，也是本文最關(guān)心的。 金屬一絕緣顆粒復(fù)合介質(zhì)的應(yīng)用 所謂的金屬 絕緣顆粒復(fù)合材料指金屬顆粒無規(guī)地分布在絕緣的基質(zhì)中或金屬與絕緣顆粒無規(guī)地混合。文章 [5]指 出 ，這種混合物有效電導(dǎo)率σ e隨著金屬組分的濃度 f減小而減小，當(dāng)濃度 f達到某一臨界值 fc時有效電導(dǎo)率會突然消失 。而當(dāng)濃度小于這個臨界值時，有效電導(dǎo)率的值是 0，整個系統(tǒng)處于不導(dǎo)電的狀態(tài) 。當(dāng)濃度 f等于這個臨界值時，整個系統(tǒng)發(fā)生了金屬一絕緣體轉(zhuǎn)變 .這個臨界值稱為滲流閾值 .在 fc附 近，復(fù)合介質(zhì)的σ e由金屬成分所組成導(dǎo)電通路的無限大集團確定，光學(xué)性質(zhì)同樣也會在閾值附近發(fā)生躍變，這主要是因為成分的變化使得波長發(fā)生了變化。 逾滲理論在器件可靠性上的應(yīng)用 按照國際半導(dǎo)體工業(yè)協(xié)會 2020年修訂發(fā)布的《國際半導(dǎo)體技術(shù)發(fā)展規(guī)劃》(International TechnologyRoadmap for Semiconductors))，到 2020年將進入 35nm技術(shù)時代，如今主流是 130nm和 90nm工藝。事實上隨著有些廠商要將 45nm技術(shù)量產(chǎn)，所以35nm技術(shù)會時代更早到來。 集成電路 技術(shù)的進步要求金屬連線的寬度減少，連線層數(shù)增加。在特征尺寸的縮小使器件門延遲減小的同時，也使得互連線性能降低，這是因為特征尺寸的縮小將導(dǎo)致互連線橫截面和線間距減小。而橫截面減小不僅會引起連線電阻增加，電路互連延遲時間增大，而且直接導(dǎo)致互連線中電流密度增大，熱應(yīng)力和電遷移應(yīng)力增大。嚴(yán)重影響互連線的可靠性。同時，金屬互連在整個集成電路芯片中所占的面積越來越大，而性能卻不斷降低。金屬互連線可靠性問題自然成了今后集成電路可靠性研究的重點。事實上，如今很多技術(shù)， 比如在 90nm都是采用的銅導(dǎo)線，這就避免了電遷移現(xiàn)象的影 響，當(dāng)然，成本也會更高一點 。 眾所周知，銅是很難被刻蝕的，現(xiàn)在的解決方法是采用雙大馬士革方法，這種方式更像是一種介質(zhì)的刻蝕過程，在此本文不做介紹。 根據(jù)逾滲理論，可以認為電遷移過程實際上是互連線中先產(chǎn)生缺陷而后產(chǎn)生絕緣缺陷的過程。在這個過程中， 在電場的作用下，金屬原子定向運動形成缺陷，并天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 9 不斷的產(chǎn)生缺陷積累。當(dāng)應(yīng)力時間足夠長，互連線中的缺陷濃度足夠大，達到了逾滲閾值，則在互連線中會形成大的缺陷逾滲集團，使實際參與導(dǎo)電的互連線橫截面積急劇減小，電阻顯著增大。互連線表現(xiàn)為電遷移失效。 圖 2－ 6 Al膜的 隨機 電阻模擬 [6] 如圖 2－ 6所示，可以將 Al膜用隨機電阻模擬，每個晶格用一個電阻代表，當(dāng)電流通過時，只要存在一個通路 就會 有電流通過，可以將金屬定向移動后留下空缺的過程認為是電阻的失效，隨著電遷移的增加，電阻不斷失效，當(dāng)?shù)揭欢ǔ潭群?，突然會無電流通過，這時可以認為是 Al線失效 [6]。 V 圖、 PV 圖和 LV圖定義 V 圖簡介 許多科學(xué)以及工程問題可以轉(zhuǎn)化為二維 、三維的空間分割，如供貨點供貨區(qū)域劃分問題以及無線通訊基站服務(wù)區(qū)域劃分等問題 。 通訊基站或供貨點位置可用孤立點表示，其空間劃分多采 用 Voronoi模型，如圖 1所示 ,V圖是計算幾何中最重要的圖形結(jié)構(gòu) 。 N維 V圖的定義：在 N維空間 RN 上有 n個點組成的點集 S={p1,p2,p3,? ,pn},其中點 pi的空間坐標(biāo)為（ k1i,k2i, ? ,kNi） ,令 1 1 2 2 2 2 2 1/ 21( , ) [ ( ) ( ) ( ) ]NNi p i p i pd p p k k k k k k? ? ? ? ? ? ?… … (25) 為點 p到點 pi的距離，于是將滿足 ( , ) { | ( , ) ( , ) , | }Ni i jR S p P R d p p d p p j i? ? ? ? (26) 的空間區(qū)域 R（ S,pi）稱為為點 pi的 Voronoi區(qū)域（ V區(qū)域） 。 這樣， N維空間被劃分為 n個 V區(qū)域 R（ S,pi）， R（ S,p2），?， R（ S,pn）和其區(qū)域的公共邊界，這種圖結(jié)天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 構(gòu)稱作點集 S的 V圖，如圖 1所示。簡而言之，就是將這些孤立點連接起來，取這些連線的中垂線，中垂線的交點所組成的圖形就是 V圖，而孤立點的連線組成的圖形是其對偶圖，對偶圖實際上是對空間進行三角剖分。很顯然， V圖可以模擬通訊基站或供貨點的空間劃分問題 。 但其缺陷也很明顯，因為實際上每個通訊基站的功率或供貨點儲備貨物量未必相同，有些情況下相差還很懸殊，而在做圖時把各個點等同看待，就無法考慮各個點 的差異性 。 圖 21 V 圖 模型 LV 圖簡介 為了更好的模擬實際的情況 ,對于模型進行了大量的改進 ,即加入了權(quán)重的概念。LaguerreVoronoi 圖（ LV 圖）就是一種施加權(quán)重的 V 圖。 LV 圖具體定義：設(shè)在 N維空間上有由 n 個球組成的集合 G， G＝ {c1,c2,? ,},設(shè) ri,pi=（ k1i,k2i, ? ,kNi） ,分別是球 ci的半徑和球心坐標(biāo) ,定義空間一點 p 到球 ci的距離 dL(p,ci)為 dL (p,ci)2=d(p,pi)2 –ri2 ,于是可將滿足 RL（ G,ci）＝ {P∈ RN| d(p,pi) d(p,pj),|j≠ i}的空間區(qū)域 RL（ G,c2）稱為球 ci的 LaguerreVoronoi 區(qū)域 (LV 區(qū)域 ), 這樣， N 維 空間被劃分為 N 個區(qū)域和RL（ G,c1） ,RL（ G,c2） ,? ,RL（ G,） 相應(yīng)的邊界 ，如此構(gòu)成了 LV 圖，或稱 power圖。此外，當(dāng)區(qū)域 RL（ G,ci）和 RL（ G,cij）有公共邊時，可把兩球的球心 pi和 pj連接起來，用這種方法構(gòu)成了空間的三角剖分，如圖 2－ 2 中虛線畫的三角形形態(tài)，即Laguerre－ Delaunay 圖（ LD 圖）。用 LV 模擬主要是為了把各個通 訊基站供貨點不等同看待，以便更好的模擬真實情況，使得模擬效果更好。通過半徑這個概念以權(quán)天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 重的形式對生成的圖形結(jié)構(gòu)施加正向影響，通訊基站的功率越大或供貨點儲備的貨物越多，他所劃分得到的空間越大，通訊基站通過方程來計算它的輻射范圍，通過計算機來仿真并畫出基站的輻射范圍。從上面的兩個空間劃分的實例可以看出， LV圖比 PV圖有更好的實用性。在實際科研中， V 圖以及 LV 圖在諸多學(xué)科建模中確實有著舉足輕重的作用。這種重要的幾何模型已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于材料、生物、天文、經(jīng)濟、通訊以及人工智能等研究領(lǐng)域中 [10]。 圖 22 二維下的 LV和 LD圖 圖 2－ 3 中，給出了胞數(shù)為 4096 個胞的 LV 圖形。 圖 2－ 3 實驗所用的 LV 圖（胞數(shù)為 4096） 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 12 偽隨機數(shù)的產(chǎn)生 隨機數(shù)生成的方法 通常產(chǎn)生隨機數(shù)是利用計算機程序，即由一個算法來產(chǎn)生隨機序列，所謂序列是指一個有序數(shù)列，以往由計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)一般是先確定初值 (即種子 )，再由遞推公式 z 一 f(x )產(chǎn)生下一個隨機數(shù)，這樣，數(shù)據(jù)間應(yīng)是有明確關(guān)系的，即不獨立的，故被稱作偽隨機數(shù)。但由于其快速、經(jīng)濟、方便的特點，仍得到了相當(dāng)廣泛的應(yīng)用 [11]。 Matlab隨機數(shù)發(fā)生器的種類豐富且用法簡便。它不僅包括能生成服從均勻分布隨機數(shù)的發(fā)生器，還包括能生成常用分布 (如泊松分布，指數(shù)分布等 )隨機數(shù)發(fā)生器。這些隨機數(shù)發(fā)生器所采用的算法，都是經(jīng)過反復(fù)測試并商品化的，其可靠性和穩(wěn)定性都很強。 Matlab提供的隨機數(shù)發(fā)生器通?？蓺w為兩類。 以 Matlab內(nèi)部命令形式出現(xiàn)的隨機數(shù)發(fā)生器 (1)Rand函數(shù)，該函數(shù)用來產(chǎn)生數(shù)列或數(shù)組，這些數(shù)組的元素服從 [0， 1]之間的均勻分布。具體的調(diào)用方法可以參照 Matlab的幫助文檔。這一隨機數(shù)發(fā)生器可以在區(qū)間 [2(一 53)， 1— 2 (一 53)]之間生成所有的浮點型數(shù)據(jù)。理論上說，它能夠產(chǎn)生 21459個不重復(fù)的隨機數(shù)值，這是一般高級語言提供的隨機數(shù)發(fā)生器無法比擬的。當(dāng)然要是想產(chǎn)生一個在 [， ]區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)，實際上就是 rand的一個函數(shù)關(guān)系，即 2*rand1。 (2)Randn函數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用完全類似于 Rand函數(shù)，其功能是實現(xiàn)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機數(shù)序列或者是數(shù)組。此外還有象 Sprandn、 Sprand等其它一些隨機數(shù)產(chǎn)生函數(shù)。 工具箱 (Toolbox)中的隨機數(shù)發(fā)生器 (1)Randseed，種子“ seed”的選取對隨機數(shù)的產(chǎn)生有很重要的影響，是隨機數(shù)產(chǎn)生中很關(guān)鍵的一項工作，該函數(shù)用于產(chǎn)生合適的隨機數(shù)種子。 (2)munication toolbox和 simulink進行仿真也給出了隨機數(shù)發(fā)生器，它們是以模塊形式實現(xiàn)的，由它產(chǎn)生的隨機數(shù)或隨機變量的參數(shù)是通過對話框設(shè)定的。 表 2－ 3 Matlab統(tǒng)計工具箱隨機數(shù)發(fā)生囂 分布類型 隨機數(shù)發(fā)生器 分布類型 隨機數(shù)發(fā)生器 Beta betarnd Hypergeometric hygernd Binomial binornd Lognormal lognrnd ChiSquare Chi2rnd Negative Binomial nbinrnd Noncentral ChiSquare ncx2rad Normal normalrnd Discrete Uniform unidrnd Poisson poissrnd Exponential exprnd Rayleigh raylrnd 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 F Distribution frnd Student‘s t trnd Noncentral F ncfrnd Noncentral t nctrnd Gamma gamrnd Continuos Uniform unifrnd Geometric geornd weibull weibrnd (3)Stastics toolbox中隨機數(shù)發(fā)生器是最為全面的，該工具箱擁有大量能夠生成特定分布隨機數(shù)的函數(shù) Random 函數(shù)可以通過參數(shù)的設(shè)定產(chǎn)生符合各種分布的隨機數(shù)。其調(diào)用方法 y=random(?name‘， A1， A2， A3， m ， n)統(tǒng)計工具箱除了提供了這種總的調(diào)用方式外，對于各種不同的分布函數(shù)還分別給出了相應(yīng)的隨機數(shù)發(fā)生器，可以分別調(diào)用。分布類型和隨機數(shù)發(fā)生器名如表 2－ 3所示 [12]。 本文中以時間作為種子產(chǎn)生隨機數(shù)，如果是 matlab默認的情況下，每次打開matlab都會產(chǎn)生完全相同的隨機數(shù)列，為了避免不必要的麻煩，本文以當(dāng)前時間作為種子。 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 第三章 逾滲算法及其計算機實現(xiàn) 算法的描述 已有的應(yīng)用于正方形晶格的算法 算法的整個流程是首先構(gòu)造 n 個晶格的狀態(tài)（包含是否被占據(jù)和若被占據(jù)屬于哪個集團等信息），注意到實驗中每次增加一個座都可以認為是在 n 個座已經(jīng)被占據(jù)的情況下再增加一個座，形成一種亞平衡的狀態(tài)。加入第一個座時系統(tǒng)只有一個單座集團，當(dāng)其他座加入時，若連接到這個集團上時則形成一個更大的集團，如此往復(fù)，直到出現(xiàn)一個貫通整個系統(tǒng)的集團出現(xiàn)時仿真結(jié)束，出現(xiàn)逾滲點。整個過程是： （ 1） 建立一個含有任意順序的包括 所有鍵的表。在這個表中位置的標(biāo)記數(shù)字從 1到 M ； （ 2） 先令 i=1 ； （ 3） 隨機在 i=j=M范圍內(nèi)隨機選取一個 j ； （ 4） 將 i和 j位置的鍵更換位置 ； （ 5） 令 i=i+1 ； （ 6） 從第三步重復(fù)直到 i=M為止 。 選擇這樣的順序進行占據(jù)，在加入座時首先要判斷該座是形成一個單座集團還是連接到其他集團上，更或者是將兩個集團連接成一個大的集團。這樣就需要進行另外兩個步驟：查找和連接。 查找是通過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的鄰居關(guān)系來判斷新添加的座的周圍是否有占據(jù)的集團，而連接的過程則是 在查找發(fā)現(xiàn)有相鄰的集團的情況下進行，主要是將該座連接到相鄰的一個或者幾個集團