【文章內(nèi)容簡介】 )()()()(0111101111tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdmmmmmmnnnnn????????????????????? 其中 mjbnia ji ，，；， ???????? 212,1, 為常數(shù) (與時間無關(guān) )， n為方程的階數(shù)，也就是系統(tǒng)的階數(shù)。 系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu) 如前所述，實際系統(tǒng)通常由許多子系統(tǒng)組合而成。子系統(tǒng)的相互連接一般有串聯(lián)（級聯(lián)）、并聯(lián)、反饋連接等三種。例如圖 所示檢測系統(tǒng)，信號（溫度、壓力、速度等）經(jīng)過傳感器轉(zhuǎn)換為電信號，然后經(jīng)過放大器適當放大，再送入顯示器。這三個子系統(tǒng)的連接形式就是串聯(lián)。 對外部輸入 的信號 )(tf ，分別用一個低通濾波器和兩個不同中心頻率的帶通濾波器處理后相加，這三個子系統(tǒng)的連接形式稱為并聯(lián)。 總之，不論系統(tǒng)的連接形式與功能如何，信號總是與系統(tǒng)相伴存在，信號經(jīng)由系統(tǒng)才能傳輸。雖然各種傳輸?shù)男盘杻?nèi)容可能不同，但信號通過系統(tǒng)的規(guī)律是一致的。因此，本書所介紹的信號與系統(tǒng)的許多理論和方法具有普遍的指導意義。它不但適用于電系統(tǒng)，而且也適用于生物、海洋、機械等非電系統(tǒng)。 線性系統(tǒng)的性質(zhì) 為了適應實際工程的需要，系統(tǒng)的組成形式是多種多樣的，但按其工作 性質(zhì)來說，可分為線性與非線性系統(tǒng)；時不變與時不變系統(tǒng)；因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)等，這里重點介紹線性、時不變性和因果性。 線性 性質(zhì) 前面已經(jīng)涉及到這個性質(zhì)，這里更進一步討論這個問題。我們知道，線性包含疊加性和齊次性兩個概念。疊加性是指：如果輸入為 )(1tf 時，系統(tǒng)響應為 )(1ty ；輸入 )(2tf 時系統(tǒng)的響應為 )(2ty ，則有 )()()()( 2121 tytytftf ??? 。 齊次性是指：當系統(tǒng)輸入為 )(tf 時，響應為 )(ty ，當輸入增至 a 倍，即 a )(tf 時，則系統(tǒng)響應為 a )(ty 。 同時滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，則對于任意常數(shù) 1a 和 2a ，有 )()()()( 22112211 tyatyatfatfa ??? 不滿足上述關(guān)系的系 統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。 一個系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)，還可以直接從其描述方程判斷。若系統(tǒng)是以線性代數(shù)方程或線性微（積）分方程描敘的，則該系統(tǒng)就是線性的。 線性系統(tǒng)具有三個重要特性：即微分特性、積分特性和頻率保持性。 微分特性 如果線性系統(tǒng)的輸入 )(tf 引起的響應為 )(ty ，如圖 （ a）所示。則當輸入為 )(tf 的導數(shù) dttdf)( 時，其響應將變?yōu)?)(ty 的導數(shù) )()(tdtdy 。 積分特性 如果線性系統(tǒng)的輸入 )(tf 引起的響應為 )(ty ，則當輸入為 )(tf 的積分??dft )(0? 時，其響應將變?yōu)?)(ty 的積分 ?? dyt )(0? 。 頻率保持性 頻率保持性是指：如果線性系統(tǒng)的輸入信號含有角 頻率 1? , 2? , ? , n? 的成分，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應也只含有 1? , 2? , ? , n? 的成分（其中某些頻率成分的幅值有大有小或可能為零），換言之，信號通過線性系統(tǒng)后不會產(chǎn)生新的頻率分量。 連 續(xù)系統(tǒng)的時域分析 系統(tǒng)的零輸入響應與零狀態(tài)響應 ????? ??? ?????? ??? 線性時不變系統(tǒng)的全響應可作如下分解： 1. y(t) = 自由響應 + 強制響應； 2. y(t) = 瞬態(tài)響應 + 穩(wěn)態(tài)響應； 3. y(t) = 零輸入響應 yx(t) + 零狀態(tài)響應 yf (t) (210) D(p)y(t) = N(p)f(t) D(p)yx(t) = 0 D( p)yf(t) = N(p)f(t) 一、系統(tǒng)初始條件 分別將 t=0 和 t=0+ 代入式 (210)得 y(0)= yx(0)+ yf(0) (211) y(0+)= yx(0+)+ yf(0+) (212) 對于 因果系統(tǒng) ，由于激勵在 t = 0時接入，有 yf(0)=0 對于 時不變系統(tǒng) ，內(nèi)部參數(shù)不隨時間變化，故 零輸入 時有 yx(0+ )= yx(0) 因此，式 (211)和 (212)可改寫為 y(0 )= yx(0 )= yx(0+ ) (213) y(0+)= y(0)+?yf(0+) (214) 同理，可推得 y(t)的各階導數(shù)滿足 y(j )(0)=yx(j )(0)= yx(j )(0+), j = 0, 1, 2, …, n1 (215) y(j )(0+)= y(j )(0)+?yf(j )(0+), j = 0, 1, 2, …, n1 (216) 經(jīng)典解法 ： (算子方程 + 0+?初始條件 ) (算子方程 + 0+?初始條件與卷積積分 ) y(t) = yx(t) + yf (t) 本書解法： (算子方程 + 0?初始條件 ) (傳輸算子的部分分式分解與卷積積分 ) 可省去式 (216)和 (216)求系統(tǒng) 0+?初始條件所需的計算量。 二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應 將 f(t)50代入式 (27)，可得零輸入下 LTI 連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程為 t/0 (217) 上式中 yx(t)前的算子多項式就是傳輸算子 H(p)的分母多頂式 D(p)，要使上式 成立，需滿足D(p)= 0（ 特征方程 ），其根稱為系統(tǒng)的 特征根 。下面針對兩種情況來求 yx(t)。 1．特征根為 n 個單根 p1 , p2 , …, pn (可為實根、虛根或復根 ) = t≥0 (218) 將 yx(0)、 yx39。(0)、 …、 yx(n1)(0)代入上式及其直至 n = 1階導函數(shù)表達式 = 積分常數(shù) AA …、 An . 當特征根為共軛的復根或虛根時， yx(t)最終表達式中相應的兩復數(shù)項可通過歐拉公式： cosωt = (ej ωt + e–j ωt )及 sin ωt = (e–j ωt ej ωt )化簡為三角實函數(shù)。 2．特征根含有重根 不妨設(shè)特征根 p1為 r 重根，其余特征根為單根 (更復雜的情況以此類推 )，則零輸入響應 yx(t)的通解表達式為 (219) 確定積分常數(shù)的方法同上。 3．求解零輸入響應 yx(t)的基本步驟 (1) 通過微分算子方程或傳輸算子的分母多項式 D(p)求系統(tǒng)的特征根。 (2) 寫出 yx(t)的通解表達式，如式 (218)或式 (219)所示。 (3) 由系統(tǒng)的 0 狀態(tài)值與 0 瞬時的零輸入系統(tǒng)求出零輸入系統(tǒng)的 0 初始條件 yx(j )(0 ), j=0, 1, 2, …, n1。 (4) 將 0 初始條件代入 yx(t)的通解表達式及其直至 n1階導函數(shù)表達式，求得積分常數(shù) A1, A2, …, An 。 (5) 寫出所得的解 yx(t)，必要時畫出 yx(t)的波形。 沖激函數(shù)與階躍函數(shù) ????? ??? ?????? ??? ????? 一、單位階躍函數(shù) U（ t） =0 t〈 0 U（ t） =1 t〉 0 其波形如圖所示，在跳點 t=0處，函數(shù)值未定義。有時也可以定義為 1/2， 即 U（ 0） =1/2。這里我們不定義 U（ 0）的值。 二、單位沖激函數(shù) 單位沖激函數(shù)又稱為狄拉克函數(shù)。它具有選擇性。 沖激響應與階躍響應 ????? ??? ?????? ??? ????? 一、沖激響應 當激勵為單位沖激函數(shù)時，電路的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，用 h（ t）表示。如圖所示的一階 RC 電路，在激勵作用前處與零狀態(tài)?，F(xiàn)討論電壓源為單位沖激函數(shù)時，電容電壓的沖激響應。根據(jù)圖可以列出電 容電壓 Uc（ t）為待求響應的微分方程dUc/dt+1Uc/RC=Us/RC 二、階躍響應 當激勵為單位階躍函數(shù)時，電路的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，用 g（ t）表示。 我們還用上面的圖為例說明： 階躍響應 g（ t）應該是方程 dg（ t） /dt+g（ t） /RC=U（ t） /RC 卷積及其應用 ????? ??? ?????? ??? ?????? ?? 任意兩個函數(shù)卷積 ???? ?? ??? dtffty )()()( 21 積分限由 )(),( 21 tftf 存在的區(qū)間決定，即由 0)()( 21 ???? tff 的范圍決定。 卷積的圖解說明 )()( 11 ?ftf ? ：積分變量改為 ?，積分結(jié)果是 t 的函數(shù)； )()()()( 2222 ??? ??? ????? ??? tffftf 時延倒置對 ? 時延 t， ?? ???? tt)( 相乘： )()( 21 ?? ?? tff 乘積的積分 ??? dtff )(.)(21 ?????? 卷積的性質(zhì) 代數(shù)性質(zhì) :交換律 分 配律 結(jié)合律 微分積分性質(zhì) 與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積 卷積的應用 用 ?(t)函數(shù)序列表示任意信號 ??? ?? 0 )()()( ???? dtftf 利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 )0(,)()()( 0 ?? ??? ? ? tdthftg ??? 連續(xù)系統(tǒng)時域分析的 MATLAB 實現(xiàn) ????? ??? ?????? ??? 用 MATLAB 實現(xiàn)信號 連續(xù)系 統(tǒng)的復頻域分析 拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的定義 一個實函數(shù) )(tf ，其單邊拉普拉斯變換 (Laplace Transform) )(sF 定義為 ??? ?? 0 )()( dtetfsF st 式中 ?? js ?? 為複數(shù)， F(s)稱為 )(tf 的拉氏變換（或象函數(shù)），而 )(tf 稱為 F(s)的拉氏反變換（或原函數(shù)）。式 ()表明，拉氏變換是一種積分變換。它把原函數(shù) )(tf 乘以 est? 再對 t 進行積分，其結(jié)果成為複變數(shù) s 的復函數(shù) )(sF ，即拉氏變換是把時域內(nèi)的函數(shù) )(tf 變換到 s 域內(nèi)的複變函數(shù) )(sF 。因為 ?? js ?? 中除了虛部 ?j 外還有實部 ? ，故常稱 s 為複頻率。 從上式可見，一個時域函數(shù)的拉氏變換 存在的條件為該式右端的積分為有限值，即要求 ??? ? ??0 )( dtetf st 由於 eee ttjtst e ??? ???? ?? . 故對某些值 ? ，只要使得 0)(lim ???? etftt? 則 F(s)必然存在。 式 ()中的積分下限取為 0? 是為了考慮 )(tf 中可能包含有出現(xiàn)在 t=0 瞬間的沖激信號，如果 )(tf 中無沖激，則積分下限可寫為零。 如果 )(sF 已知，可求出它對應的原時域函數(shù) )(tf 。可以證明，從 )(sF 到 )(tf的拉氏反變換由下式確定 ? ?????jj st dsesFjtf??? )(21)( () 式 ()和 ()稱為拉普拉斯變換對，通過式 ()的拉氏變換可將時域函數(shù))(tf 變換為複頻域 (s 域 )的函數(shù)（象函數(shù) ） )(sF ；反之，由式 ()可把複頻域函數(shù) )(sF 反變換為對應的時域函數(shù) )(tf 。式 ()和 ()可記為 ?)(sF L )]([ tf ?)(tf L — 1 )]([ sF 上述變換的對應關(guān)係也經(jīng)常簡記為 )()( sFtf ? 拉氏變換也是線性積分變換，因此有線性性質(zhì) ，即 )()()()(22112211 sFasFatfatfa ??? () 常用信號的拉普拉斯變換 以下用定義式 ()計算一些常用信號的拉氏變換。 單位沖激信號 )(t? 1)()(0 ??? ?? ? dtetsF st? 即 1)( ?t?