【文章內(nèi)容簡介】 xx xxxx xx xx c os1 s i nt a nl i m21c os1 1s i n11t a n1l i m 00 ? ??? ?????? ?? 21tanlim210 ?? ? x xx 例 3．求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim ??? 例 4．求下列極限 （ 1） 1021lim ??? ?????? ? xx x （ 2） xx xx 10 11lim ?????? ??? （ 3） xx xx ?????? ???? 11lim （ 4） 112 32lim ??? ?????? ?? xx xx 例 5．求下列極限 （ 1） ? ? xx x cottan1lim ??? （ 2） 141lim ?? xx x （ 3） ? ? xx x 2cot0 coslim? （ 4） ? ? ? ?xx x 3csc0 2coslim? 三．用夾逼定理求極限 例 1．求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解：令 nnxn 2 12654321 ???? ?， 12 25432 ??? n nyn ? 則 nn yx ??0 ， 于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 19 由夾逼定理可知 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 。 例 2． 求下列極限 ???? ?nkn kn1 21lim 四．用洛必達法則求極限 1．“ 00 ”型和“ ?? ”型 例 1．求nnnn 1sin1sin1lim3??? 解：離散型不能直接用洛必達法則，故考慮 3030 s inlims in s inlim x xxx xx xx ?? ?? 等價無窮小代換 616s inlim3 c o s1lim020 ???? ?? xxx x xx ?原式 61? 例 2．求10102limxexx?? 2．“ ??? ”型 和“ ??0 ”型。 例 1．求 ?????? ??? 111lim0 xx ex 例 2．求 ???????? ?? 2220 c o ss in1lim x xxx 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 20 例 3．求 xxx lnsinlim 20 ??? 例 4．設(shè) 0?a ， 0?b 常數(shù)，求 ???????? ???? xxx bax11lim 3．“ ?1 ”型，“ 0 ”型和“ 0? ”型 這類都是 ? ?? ? ? ?xgxflim 形式，可化為 ? ? ? ?? ?xfxge lnlim 而 ? ? ? ?? ?xfxg lnlim 都是“ ??0 ”型， 按 2 的情形處理 例 1．求 xx x 2sin0lim?? 例 2．求 ? ? xx x 2cot0 coslim? （前面已用重要公式的方法） 解：令 ? ? xxy 2cotcos? ， xxy co slnco tln 2? 2020200 c o slnl i mt a nc o slnl i mc o slnc o tl i mlnl i m x xxxxxy xxxx ???? ??? （“ 00 ”型） = 212tanlim0 ???? x xx， ? 210lim?? ?eyx 例 3．求 xx xx ?????? ???1c o s1s inlim 五．用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 21 例 1．求 1s in13 1lim 23 2 ?? ???? nnnnn 解： ? 013111lim13 1lim3 323 2?????? ?? ????nnnnnnnnn， 11sin 2 ??n ， 根據(jù)有界變量乘無窮小仍是無窮小，可知原式 0? 例 2．求 ? ?? ? ? ?xxe xxxx 5s in21ln1 3a r c ta n2c o s1lim 0 ???? 例 3．求 ? ? ? ?xx xxxx ???? 1lnc o s11c o ss in3lim20 解：這個極限雖是“ 00 ”型，但分子，分母分別求導數(shù)后的極限不存在，因此不能用洛必達法則。 原式 ? ?231ln1c oss in3c os11lim0 ????????????????? ?xxxxxxxx 例 4．設(shè) n 為正整數(shù)，求 ? ?x xxxn nnx c o s111lim 20 ?????? 六．求分段函數(shù)的極限 例 1．求下列函數(shù)在分段點處 的極限 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 22 （ 1） ? ????????????0 ,c o s10 ,2s in2xxxxx xxf （ 2） ? ??????????????1 ,211 ,1122xxxxxxg 解：（ 1） ? ? 22 2s in2lim2s inlim0000 ????? ?? ?? xxx xfxx ? ? 221limc o s1lim00 22020 ????? ?? ?? xxxxfxx ? ? 2lim0 ?? ? xfx （ 2） ? ? ? ? 21lim11lim01121 ????????? ?? xxxgxx ? ?2321lim01 21 ??????? ??? ?? xg x 因為 ? ? ? ?0101 ??? gg ，故 ? ?xgx 1lim?不存在。 例 2．求?????????????? xxeexxxs in12lim410 七．求極限的反問題 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 23 例 1．設(shè) ? ? 31s inlim 221 ????? xbaxxx 求 a 和 b 例 2．設(shè) 1s in1lim 0 20 ??? ?? xx dttatxbx，求 a 和 b 。 167。 1． 3 連續(xù) 甲 內(nèi)容要點 一．函 數(shù)連續(xù)的概念 1．函數(shù)在點 0x 處連續(xù) 定義 1．設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的改變量 x? （初值為 0x ）趨近于 0 時，相應的函數(shù)改變量 y? 也趨近于 0 ，即 0lim0 ???? yx 或 ? ? ? ?? ? 0lim 000 ?????? xfxxfx 則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)。 函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)也可作如下定義。 定義 2．設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 的某個領(lǐng)域內(nèi)有 定義，如果當 0xx? 時，函數(shù) ??xf 的極限值存在，且等于 0x 處的函數(shù)值 ? ?0xf ，即 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 24 ? ? ? ?00lim xfxfxx ?? 則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)，此時有 ? ? ? ? ? ?000 limlim xfxfxf xxxx ?? ?? ?? 并且有 ? ? ? ? ? ?00 limlim 0 xxxx xfxfxf ?? ?? 即如果函數(shù)在點 0x 處連續(xù)，則在點 0x 處可以交換極限號和函數(shù)號的順序。 定義 3．設(shè)函數(shù) ? ?xfy? ，如果 ? ? ? ?00lim xfxfxx ???，則稱函數(shù) ??xf 在點 0x 處左連續(xù)；如果 ? ? ? ?00lim xfxfxx ???，則稱函數(shù) ??xf 在點 0x 處右連續(xù)。 由上述定義 2 可知，如果函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)，則 ??xf 在 0x 處既左連續(xù)也右連續(xù)。 2．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱 ??xf 在 ? ?ba, 內(nèi)連續(xù)。 如果 ? ?xfy? 在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點 a 右連續(xù)，在區(qū)間端點 b 左連續(xù)，則稱 ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)。 二．函數(shù)的間斷點及其分類 1．函數(shù)的間斷點的定義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 不連續(xù)，則稱 0x 為 ??xf 的間斷點。 2．函數(shù)的間斷點的分類 函數(shù)的間斷點分為兩類： （ 1）第一類間斷點 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 25 設(shè) 0x 是函數(shù) ? ?xfy? 的間斷點。如果 ??xf 在間斷點 0x 處的左、右極限都存在，則稱 0x 是 ??xf 的第一類間斷點。 第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。 （ 2）第二類間斷點 第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點。 常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。 例如． 0?x 是 ? ? xxxf sin? 的可去間斷點，是 ? ? xxxf ? 的跳躍 間斷點，是 ? ? xxf 1? 的無窮間斷點，是? ? xxf 1sin? 的振蕩間斷點。 三．初等函數(shù)的連續(xù)性 1．在區(qū)間 I 連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商（分母不為零），在區(qū)間 I 仍是連續(xù)的。 2．由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復合而成的復合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。 3．在區(qū)間 I 連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對應區(qū)間仍連 續(xù)且單調(diào)。 4．基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。 5．初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。 四．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)的函數(shù) ??xf ，有以下幾個基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。 定理 1．（有界定理）如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則 ??xf 必在 ? ?ba, 上有界。 定理 2．（最大值和最小值定理）如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值 M和最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定義如下： 定義 設(shè) ? ? Mxf ?0 是區(qū)間 ? ?ba, 上某點 0x 處的函數(shù)值，如果對于區(qū)間 ? ?ba, 上的任一點 x ，總有? ? Mxf ? ，則稱 M 為函數(shù) ??xf 在 ? ?ba, 上的最大值。同樣可以定義最小值 m 。 定理 3．（介值定理）如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對于介 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 26 于 m 和 M 之間的任何實數(shù) c ，在 ? ?ba, 上至少存在一個 ? ，使得 ? ? cf ?? 推論：如果函數(shù) ?