【文章內(nèi)容簡介】 來計(jì)算。學(xué)生一看都是除法題，自然也就感到非常簡單。第一題是，被除數(shù)能被除數(shù)整除，學(xué)生計(jì)算起來當(dāng)然沒有問題；第二題，雖然不能整除，但是可以除盡，學(xué)生剛剛學(xué)過，也感到容易；第三題卻一反常態(tài)，無論怎樣計(jì)算，也得不出一個(gè)精確的商。水平高的學(xué)生，首先遇到了這個(gè)問題。他們中有的人問我：“第三題是不是出錯(cuò)了？”我也就裝作很認(rèn)真的樣子，看看教案，再看看黑板，很客氣地對(duì)他說：“我沒有出錯(cuò)，請(qǐng)看看是不是你抄錯(cuò)了？”他們只好又投入到計(jì)算之中。中等水平的學(xué)生，也被第三題難住了。他們問我：“第三題得計(jì)算到哪輩子？”我指著計(jì)算速度慢的學(xué)生說：“你看他多么認(rèn)真，遇到問題別著急。”水平最低的學(xué)生，面對(duì)第三題也計(jì)算不下去了，他們說：“這道題我不會(huì)。”好了，最佳的教學(xué)時(shí)機(jī)出現(xiàn)了。學(xué)了多年的除法，居然還有處理不了的問題，這究竟是怎么回事？如何去解決？這種想學(xué)、要學(xué)的心理，也就是獲取的意識(shí)。他們有了需要，也就有了興趣，有了動(dòng)力。這是上好任何一節(jié)課都不可缺少的。2．引導(dǎo)學(xué)生獲取，還要?jiǎng)?chuàng)造有利于獲取的具體條件。學(xué)生有了求知的欲望，盡管十分重要，但畢竟是僅僅有了學(xué)習(xí)的動(dòng)力，還不等于發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，獲取了真理。要引導(dǎo)學(xué)生獲取，還必須創(chuàng)造有利于學(xué)生獲取的具體條件。我所說的條件，主要是指有利于學(xué)生的認(rèn)識(shí)，由感性階段上升為理性階段。不論是從現(xiàn)象到本質(zhì)，也不論是從個(gè)別到一般，認(rèn)識(shí)上的升華總是需要一定條件的。為學(xué)生創(chuàng)造出這些條件，就是教師發(fā)揮主導(dǎo)作用的一個(gè)重要任務(wù)。例如，教學(xué)能被3整除的數(shù)的特征時(shí)，一方面，我考慮到要排除能被5整除的數(shù)的特征的干擾；另一方面，我還考慮到其特征要易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)。首先，我要求學(xué)生隨便說出一個(gè)能被3整除的數(shù)。學(xué)生說：“9就能被3整除?！蔽艺f：“對(duì)極了。誰能再說一個(gè)大點(diǎn)的，也能被3整除的數(shù)?！睂W(xué)生又說：“27能被3整除?！蔽蚁瓤隙ㄋ卮鸬恼_，然后又要求：“誰能再說一個(gè)大點(diǎn)的，譬如說個(gè)三位數(shù)?！睂W(xué)生回答的速度慢下來了，他們需要思考。過了一會(huì)兒，他們說：“123也能被3整除?！蔽艺f：“好極了，123這個(gè)三位數(shù)確實(shí)能被3整除。”同時(shí)我還把這個(gè)數(shù)板書在黑板上。接著我又說：“不過我有點(diǎn)不滿意，就這么個(gè)數(shù)似乎想的時(shí)間太長了。”學(xué)生有點(diǎn)委屈，因?yàn)檫@不是運(yùn)用口訣，可以脫口而出的。不過我故意不去理會(huì)他們的情緒，而是指著黑板上的“123”說：“看著你們說的這個(gè)數(shù)，我一口氣可以說出好幾個(gè)，能被3整除的三位數(shù)。”學(xué)生的表情是驚奇的。我說：“132，213，231，312，321這些數(shù)，都能被3整除?！睂W(xué)生用懷疑的目光看著我，我把這些數(shù)板書出來，讓他們計(jì)算一下。他們一計(jì)算，立刻驚喜了，并大聲問我：“這是怎么回事呀？”我說：“這太簡單了。我說516能被3整除?！蓖瑫r(shí)把這個(gè)數(shù)板書出來，接著說：“看著這個(gè)數(shù)，你們也能一口氣說出好幾個(gè)數(shù)來?！币?yàn)檫@是照貓畫虎，學(xué)生自然會(huì)說：“561，156，165，651，615?！蔽野堰@些數(shù)也板書出來，并問學(xué)“你們說的這些數(shù)，也都能被3整除，你們信嗎？”學(xué)生搖搖頭，表示自己沒有這種把握。我又讓他們計(jì)算一下，證明這些數(shù)都能被3整除，他們興奮極了。過了一會(huì)兒，我問他們：“這是為什么？”他們沉思著。我指著黑板上的兩組數(shù)，讓他們觀察一下，各有什么特點(diǎn)。他們發(fā)現(xiàn)，每一組里的數(shù)，都是由三個(gè)同樣的數(shù)字組成的，不管怎樣變化，這三個(gè)數(shù)字始終不變。我又問：“組成這些數(shù)的數(shù)字不變，僅僅是數(shù)字在排列上有變化。那你們還能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)有什么特點(diǎn)？”學(xué)生們想了一下，他們真的發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加的和，不會(huì)變。我又引導(dǎo)他們?nèi)ビ?jì)算一下各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和。計(jì)算的結(jié)果一組是6，另一組是12。有的學(xué)生高興得一下子站起來了，他們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)其中的奧妙了。我又回到他們原來說過的27，有的學(xué)生不等發(fā)問，就說：“72也能被3整除?！蔽覇査麄儯骸斑@是為什么？”他們說：“7加2，2加7，全是9?！苯Y(jié)論得出來了，他們沉浸在靠自己取得成功的歡樂之中。（二）處理好過程和結(jié)果的關(guān)系毛主席早就指出，要實(shí)行啟發(fā)式，反對(duì)注入式。我認(rèn)為是啟發(fā)，還是注入，關(guān)鍵就在于處理好過程和結(jié)果的關(guān)系。所謂過程，也就是操作的過程，觀察的過程，比較的過程，分析的過程，綜合的過程等。所謂結(jié)果，主要是指抽象、概括出的結(jié)論。過程和結(jié)果之間的關(guān)系，首先是“結(jié)果”以“過程”為基礎(chǔ)，其次是“過程”以“結(jié)果”為目的。它們之間應(yīng)當(dāng)像瓜熟蒂落，水到渠成，是認(rèn)識(shí)上的自然升華。但是，在教學(xué)實(shí)踐中，比較普遍地存在著只重結(jié)果，不重過程的傾向。在作業(yè)的批改中也反映出這種傾向，注重的也是結(jié)果，對(duì)于思路、策略往往重視不足。我曾做過一次調(diào)查，讓一年級(jí)的學(xué)生計(jì)算4＋3這道題，他們幾乎都做對(duì)了。我又把他們找來，一個(gè)一個(gè)地詢問，由他們說出是怎樣想，才得出7的。分析學(xué)生的回答，大致可以分為四個(gè)層次。最好的是概念水平。他們以數(shù)的組成為基礎(chǔ)，說：“4和3可以組成7。所以4加3等于7?！逼浯问潜硐笏?。他們以吃蘋果吃糖等為例，進(jìn)行思考。譬如說：“上午我吃了4塊糖，下午我吃了3塊糖，一天就吃了7塊。”再有是半直觀水平。他們伸出一只手的手指頭，然后就說出7，這樣數(shù)出結(jié)果。最后一種是全直觀水平。兩只手都伸出來，一只手伸出4個(gè)手指頭，另一只手伸出3個(gè)手指頭，從頭數(shù)到尾，總算也得出了7。這項(xiàng)調(diào)查，生動(dòng)地說明，質(zhì)量的含義應(yīng)當(dāng)是，采用最佳策略，獲得正確結(jié)果。顯然，忽視過程，忽視策略，決不是正確的態(tài)度。為了處理好過程和結(jié)果的關(guān)系，在教學(xué)求最大公約數(shù)時(shí)，我是這樣做的。第一步，先把一個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后要求學(xué)生根據(jù)這個(gè)分解質(zhì)因數(shù)的式子，說出這個(gè)數(shù)中除去1以外的全部約數(shù)。例如，12=223。學(xué)生能夠說出12的約數(shù)除去1以外，還有12。第二步，再把另一個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后仍然要求學(xué)生根據(jù)這個(gè)分解質(zhì)因數(shù)的式子，說出這個(gè)數(shù)中除去1以外的全部約數(shù)。例如，18=233。學(xué)生能夠說出18的約數(shù)除去1以外，還有18。第三步，把兩個(gè)式子中公有的質(zhì)因數(shù)2圈起來。然后問學(xué)生：“12有質(zhì)因數(shù)2，18也有質(zhì)因數(shù)2，這說明什么？”學(xué)生指出：“這說明12和18都有公約數(shù)2。”我再把12和18公有的質(zhì)因數(shù)3圈起來。然后問學(xué)生：“12還有質(zhì)因數(shù)3，18也還有質(zhì)因數(shù)3，這又能說明什么？”學(xué)生回答：“這說明12和18還有公約數(shù)3和公約數(shù)6?！蔽矣謫枺骸?2和18的最大公約數(shù)是幾？”學(xué)生回答是6。我又引導(dǎo)他們觀察，這個(gè)6是怎么得到的，結(jié)果學(xué)生發(fā)現(xiàn)，它是全部公有質(zhì)因數(shù)的積。（三）處理好知識(shí)和能力的關(guān)系人的認(rèn)識(shí)總是要經(jīng)歷兩次轉(zhuǎn)化的，毛主席把它稱之為兩次飛躍。第一次，是由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)化；第二次，是由理性認(rèn)識(shí)到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化。一些數(shù)學(xué)教師對(duì)于認(rèn)識(shí)上的第一次轉(zhuǎn)化，是比較重視的，但對(duì)于第二次轉(zhuǎn)化的重視程度有時(shí)顯得不夠。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的第二次轉(zhuǎn)化，主要是通過練習(xí)。老師們天天布置作業(yè)，怎么還能說重視不夠呢？實(shí)現(xiàn)第二次轉(zhuǎn)化主要靠練習(xí)，但練習(xí)不一定就能實(shí)現(xiàn)第二次轉(zhuǎn)化。這要看我們練什么，怎么練。假如模仿性太強(qiáng)，假如大有“請(qǐng)你照我這樣做”的味道，就是練的再多，也不一定有多么大的意義。我認(rèn)為，為了促成認(rèn)識(shí)上第二次轉(zhuǎn)化的練習(xí)，應(yīng)具備兩個(gè)條件，第一是不超綱，不超教材，即運(yùn)用已學(xué)過的基礎(chǔ)知識(shí)，完全可以解決。第二是沒有現(xiàn)成的模式，需要學(xué)生獨(dú)立思考。例如，有一次我把一個(gè)土豆帶進(jìn)了課堂，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算一下它的體積。起初，學(xué)生們都愣住了，紛紛議論起來。有的說老師沒教過求這樣物體的計(jì)算公式，有的說就是有公式也不成，因?yàn)檫@個(gè)土豆的形狀太不規(guī)則了。我承認(rèn)沒有什么直接的辦法，但仍堅(jiān)持由學(xué)生開動(dòng)腦筋。過了一會(huì)兒，有個(gè)學(xué)生發(fā)言了。他說：“您把這個(gè)土豆讓我?guī)Щ丶遥野阉粢幌?，它就變軟了。這樣我就可以拍一拍，擠一擠，使它成為長方體。這樣就能計(jì)算了?！蔽抑赋鏊南敕ê苡幸饬x，這是改變物體形狀而不改變物體的體積。又過了一會(huì)兒，有個(gè)學(xué)生又站起來了。他說：“您給我一個(gè)天平，我先來稱一稱這個(gè)土豆的重量。然后我在土豆上切下1立方厘米這么一小塊，也去稱一稱它的重量。我想這個(gè)土豆的重量是這一小塊重量的多少倍，這個(gè)土豆的體積就是1立方厘米的多少倍?！蔽艺f：“你是根據(jù)同一種物質(zhì)，它的體積與重量成正比例來解決問題的。我相信，以后學(xué)習(xí)比和比例時(shí)，你會(huì)更出色?！钡谌齻€(gè)學(xué)生又發(fā)言了：“您給我一個(gè)容器，譬如是個(gè)圓柱體形狀的。我先量一下它的底面直徑，這樣我就能算出它的底面積。然后就往里面倒水，再量一量水的深度，就能算出水的體積。把土豆放進(jìn)水中，再量一量現(xiàn)在水的深度，又能算出一個(gè)體積來。兩次體積的差，就是土豆的體積。”這節(jié)課上得特別活躍，不少基礎(chǔ)知識(shí)得到了進(jìn)一步鞏固，得到了更深刻的理解。更重要的是訓(xùn)練了思維，培養(yǎng)了能力。還有一次，我問學(xué)生：“你們都有尺子嗎？”學(xué)生一邊舉起手中的尺子，一邊說：“這不是尺子嗎？”我又問：“你們知道尺子有什么用嗎？”學(xué)生說：“尺子可以度量物體的長短?！蔽伊⒓茨贸鲆粡埣?，把它交給了一個(gè)學(xué)生，請(qǐng)他量一量這張紙有多長。他很快就量好了。我又對(duì)他說：“請(qǐng)你再量一量這張紙有多寬?！彼趾芸炝亢昧恕Ｎ疫€對(duì)他說：“請(qǐng)你再量一量這張紙有多厚?！彼麅芍谎鄣芍遥f：“這么薄的紙?jiān)趺戳垦?？”我說：“尺子的功能是可以度量物體的長短，但當(dāng)它們太短太短的時(shí)候，我們就無法知道長度了。你們說對(duì)嗎？”學(xué)生不同意我的說法，但一時(shí)又沒有什么理由來說服我。熱烈的小組討論便開始了。終于有個(gè)學(xué)生發(fā)言了：“用尺子量一張紙的厚度實(shí)在是太難了，要是量一疊紙就好辦了?！蔽伊⒓醋屗Ｏ聛恚钢硪粋€(gè)學(xué)生問：“剛才他說的是什么意思，你聽明白了嗎？”這個(gè)學(xué)生點(diǎn)點(diǎn)頭，對(duì)我說：“我聽明白了。假如我們?nèi)チ?00張紙的厚度，然后再把小數(shù)點(diǎn)向左移兩位，那一張紙的厚度不就得到了嗎?！蔽矣纸衅鸬谌齻€(gè)人：“他們倆說的有道理嗎？”這個(gè)學(xué)生對(duì)我說：“有道理。他們是根據(jù)歸一的方法來說的?！蔽矣趾痛蠹乙黄鹧芯繛槭裁凑f