【文章內(nèi)容簡介】 =18（2t4）=222t，由勾股定理得：AP2=82+（2t4）2，A39。P2=22+（222t）2，∴82+（2t4）2=22+（222t）2，解得：t=；綜上所述，t為或5或時，折疊后頂點A的對應(yīng)點A′落在矩形的一邊上．【點睛】四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)圖象、直線與圓的位置關(guān)系、三角形中位線定理、等腰三角形的判定、以及分類討論等知識.7．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30176。，AB=4，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請直接寫出△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）12；探究：2或2．【解析】試題分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD2S△ABF即可求解．探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90176。，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB與△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD2S△ABF=46243=12．探究：解：分為兩種情況：①如圖1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四邊形A′DCB是平行四邊形，∴BC=A′D=2，過B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30176。，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90176。，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面積是BCAC=22=2；②如圖2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四邊形A′BDC是平行四邊形，∴A′C=BD=2，過C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30176。，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2A′DCQ=221=2；即△ABC的面積是2或2．考點：四邊形綜合題．8．(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,點E.F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45176。，連接EF、則EF=BE+DF，試說明理由；(2)類比引申如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90176。,點E.F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45176。，若∠B，∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時，仍有EF=BE+DF；(3)聯(lián)想拓展如圖3,在△ABC中,∠BAC=90176。,AB=AC,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45176。，猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程?！敬鸢浮浚?）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】試題分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90176。至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90176。至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45176。，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．試題解析：(1)理由是：如圖1，∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F. D. G共線，則∠DAG=∠BAE，AE=AG，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°?45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG，在△EAF和△GAF中，AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG，∴△AFG≌△AFE(SAS)，∴EF=FG=BE+DF；(2)∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°,∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，點F. D. G共線，在△AFE和△AFG中，AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF=FG，即：EF=BE+DF，故答案為：∠B+∠ADC=180°；(3)BD2+CE2=DE2.理由是：把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，則∠FAB=∠CAE.∵∠BAC=90°,∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，又∵∠FAB=∠CAE，∴∠FAD=∠DAE=45°，則在△ADF和△ADE中，AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，∴△ADF≌△ADE，∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°，∴∠BDF=90°，∴△BDF是直角三角形,∴BD2+BF2=DF2，∴BD2+CE2=DE2.9．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，在等邊三角形ABC中，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，NC與AB的位置關(guān)系為　 ??；（2）深入探究：如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作正方形AMEF，點N為正方形AMEF的中點，連接CN，若BC=10，CN=，試求EF的長．【答案】（1）NC∥AB；理由見解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由見解析；（3）；【解析】分析：（1）根據(jù)△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MA