20xx年高三數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)解析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題型與分析教案(編輯修改稿)
2025-03-15 03:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)例4．（1）求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程； （2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為，求t=3時(shí)的速度。 分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就 是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì) 時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。 解：（1）， ，即曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=0 因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1 （2） 。 例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間 （1） （2）（3） （4）解：（1） 時(shí) ∴ ， （2） ∴ ，（3） ∴ ∴ ， ，（4） 定義域?yàn)? 例6．求證下列不等式（1） （2） （3） 證：（1） ∴ 為上 ∴ 恒成立∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立（2）原式 令 ∴ ∴ ∴ （3）令 ∴ ∴ 例7．利用導(dǎo)數(shù)求和： （1）； （2）。 分析：這兩個(gè)問題可分別通過錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度， 由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使 問題的解決更加簡(jiǎn)捷。 解：（1）當(dāng)x=1時(shí)， ； 當(dāng)x≠1時(shí)， ∵， 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得 即 （2）∵， 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。 令x=1得 ， 即。例8．求滿足條件的（1）使為上增函數(shù)（2）使為上……（3）使為上解：（1） ∴ 時(shí) 也成立 ∴ （2） 時(shí) 也成立 ∴ （3） 例9．（1）求證（2） 求證 （1）證：令 ∴ 原不等式 令 ∴ ∴ ∴ ∴ 令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）令 上式也成立將各式相加 即 例10． 設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn) 算能力. 解：. 當(dāng)時(shí) .（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，有.即，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增.（ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，即，此時(shí)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，函數(shù)在（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增（iii）當(dāng)時(shí)，令，即.解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增.令，解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.說明：本題用傳統(tǒng)作差比較法無法劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只有用導(dǎo)數(shù)才行，這是教材新 增的內(nèi)容。其理論依據(jù)如下（人教版試驗(yàn)本第三冊(cè)P148）：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果 ，則為減函數(shù)。如果，則為常數(shù)。 例11．已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的切線 分別為和。 （1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求直線與的夾角。 分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。 解 （1）由方程組 解得 A(2，0)，B(3，5) （2）由y′=2x，則。設(shè)兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾 角公式， 所以說明：本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線 的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)。例12．設(shè)，是上的偶函數(shù)。（I）求的值；（II）證明在上是增函數(shù)。解：（I）依題意，對(duì)一切有，即， ∴對(duì)一切成立， 由此得到， 又∵，∴。（II）證明：由，得， 當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)。 ∴在上是增函數(shù)。例13．設(shè)函數(shù)，其中。（I）解不等式；（II）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。解1：（I）分類討論解無理不等式（略）。（II）作差比較（略）。解2：（i）當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單 調(diào)遞減函數(shù)。但，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)。（ii）當(dāng)時(shí)，解不等式，得，在區(qū)間上 是單調(diào)遞減函數(shù)。解方程，得或，∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，綜上，（I）當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為：； 當(dāng)時(shí)
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