20xx年高三數學重點知識解析導數應用題型與分析教案(編輯修改稿)
2025-03-15 03:25 本頁面
【文章內容簡介】 數例4．（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程； （2）運動曲線方程為，求t=3時的速度。 分析：根據導數的幾何意義及導數的物理意義可知，函數y=f(x)在處的導數就 是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數S(t)對 時間的導數。 解：（1）， ，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0 因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1 （2） 。 例5． 求下列函數單調區(qū)間 （1） （2）（3） （4）解：（1） 時 ∴ ， （2） ∴ ，（3） ∴ ∴ ， ，（4） 定義域為 例6．求證下列不等式（1） （2） （3） 證：（1） ∴ 為上 ∴ 恒成立∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立（2）原式 令 ∴ ∴ ∴ （3）令 ∴ ∴ 例7．利用導數求和： （1）； （2）。 分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉換思維角度， 由求導公式，可聯想到它們是另外一個和式的導數，利用導數運算可使 問題的解決更加簡捷。 解：（1）當x=1時， ； 當x≠1時， ∵， 兩邊都是關于x的函數，求導得 即 （2）∵， 兩邊都是關于x的函數，求導得。 令x=1得 ， 即。例8．求滿足條件的（1）使為上增函數（2）使為上……（3）使為上解：（1） ∴ 時 也成立 ∴ （2） 時 也成立 ∴ （3） 例9．（1）求證（2） 求證 （1）證：令 ∴ 原不等式 令 ∴ ∴ ∴ ∴ 令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）令 上式也成立將各式相加 即 例10． 設，求函數的單調區(qū)間.分析：本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數性質的方法及推理和運 算能力. 解：. 當時 .（i）當時，對所有，有.即，此時在內單調遞增.（ii）當時，對，有，即，此時在（0，1）內單調遞增，又知函數在x=1處連續(xù)，因此，函數在（0，+）內單調遞增（iii）當時，令，即.解得.因此，函數在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內也單調遞增.令，解得.因此，函數在區(qū)間內單調遞減.說明：本題用傳統(tǒng)作差比較法無法劃分函數的單調區(qū)間，只有用導數才行，這是教材新 增的內容。其理論依據如下（人教版試驗本第三冊P148）：設函數在某個區(qū)間內可導，如果，則為增函數；如果 ，則為減函數。如果，則為常數。 例11．已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線 分別為和。 （1）求A、B兩點的坐標； （2）求直線與的夾角。 分析：理解導數的幾何意義是解決本例的關鍵。 解 （1）由方程組 解得 A(2，0)，B(3，5) （2）由y′=2x，則。設兩直線的夾角為θ，根據兩直線的夾 角公式， 所以說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線 的夾角公式有絕對值符號。例12．設，是上的偶函數。（I）求的值；（II）證明在上是增函數。解：（I）依題意，對一切有，即， ∴對一切成立， 由此得到， 又∵，∴。（II）證明：由，得， 當時，有，此時。 ∴在上是增函數。例13．設函數，其中。（I）解不等式；（II）證明：當時，函數在區(qū)間上是單調函數。解1：（I）分類討論解無理不等式（略）。（II）作差比較（略）。解2：（i）當時，有，此時，函數在區(qū)間上是單 調遞減函數。但，因此，當且僅當時。（ii）當時，解不等式，得，在區(qū)間上 是單調遞減函數。解方程，得或，∵，∴當且僅當時，綜上，（I）當時，所給不等式的解集為：； 當時
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