【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 傅里葉變換和反變換的函數(shù)，fourier函數(shù)和ifourier函數(shù)，基本調(diào)用格式為 X=fourier(x) X=ifourier(X) 默認(rèn)的時(shí)域變量為t，頻域變量為w。
（2）、數(shù)值積分法 除了采用符號(hào)運(yùn)算的方法外，我們還可以利用MATLAB的quad函數(shù)，采用數(shù)值積分的方法來(lái)進(jìn)行連續(xù)信號(hào)的頻譜分析，quad函數(shù)是一個(gè)用來(lái)計(jì)算數(shù)值積分的函數(shù)。利用quad函數(shù)可以計(jì)算非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。Quad函數(shù)的一般調(diào)用格式為： y=quad(fun,a,b) y=quad(fun,a,b,TOL,TRACE,p1,p2,…) 其中fun指定被積函數(shù)，可以采用inline命令來(lái)創(chuàng)建，也可以通過(guò)傳遞函數(shù)句柄的形式來(lái)指定，a、b表示定積分的下限和上限，TOL表示允許的相對(duì)或絕對(duì)積分誤差，TRACE表示以被積函數(shù)的點(diǎn)繪圖形式來(lái)跟蹤該函數(shù)的返回值，如果TOL和TRACE為空矩陣，則使用缺省值，“p1,p2，…”表示被積函數(shù)出時(shí)間t之外所需的其他額外輸入?yún)?shù)。
（3）、數(shù)值近似法 我們還可以利用MATLAB的數(shù)值計(jì)算的方法近似計(jì)算連續(xù)時(shí)間傅里葉變換。傅里葉變換可以由式（9）近似計(jì)算 （9） 當(dāng)為時(shí)限信號(hào)，且足夠小，式（9）可以演變?yōu)? （10） 而式（10）中求和部分又可以表示成一個(gè)行向量和一個(gè)列向量的乘積 （11） 式（11）可以很方便地利用MATLAB實(shí)現(xiàn)。
離散周期時(shí)間信號(hào)的頻域分析 基波周期為N的周期序列可以用N個(gè)成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列的加權(quán)和表示，即 （12） 這里k=表示求和僅需包括一個(gè)周期內(nèi)的N項(xiàng)，周期序列在一個(gè)周期內(nèi)的求和與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。將周期序列表示成式（12）的形式，成為離散傅里葉級(jí)數(shù)，而系數(shù)則稱(chēng)為離散傅里葉系數(shù)。離散傅里葉系數(shù)可以由式（13）確定。
（13） 傅里葉系數(shù)也稱(chēng)為的頻譜系數(shù)，而且可以證明是以N為周期的離散頻率序列。這說(shuō)明了周期的離散時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于頻域?yàn)橹芷诘碾x散頻率。
這里，我們用周期N與傅里葉系數(shù)的乘積來(lái)表示周期離散時(shí)間信號(hào)的頻譜，即 （14） 可以利用MATLAB提供的函數(shù)fft用來(lái)計(jì)算，調(diào)用格式為 該函數(shù)返回一個(gè)周期內(nèi)的值，其中x表示一個(gè)周期內(nèi)的樣本值。
離散非周期時(shí)間信號(hào)的頻域分析 非周期序列可以表示成一組復(fù)指數(shù)序列的連續(xù)和 （15） 其中 （16） 式（16）稱(chēng)為的離散時(shí)間傅里葉變換，式（15）和式（16）確立了非周期離散時(shí)間信號(hào)及其離散時(shí)間傅里葉變換之間的關(guān)系。是連續(xù)頻率的函數(shù)，稱(chēng)為頻譜函數(shù)，且是周期的連續(xù)頻率函數(shù)，其周期 為?？梢?jiàn)，非周期離散時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于頻域中是一個(gè)連續(xù)的周期的頻率函數(shù)。
對(duì)于有限長(zhǎng)的時(shí)間序列，式（16）可以表示為 (17) 式（17）可以方便地利用MATLAB實(shí)現(xiàn)。
已知x(t)是周期矩形脈沖信號(hào)。
①計(jì)算該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)； ②利用MATLAB繪出由前N次諧波合成的信號(hào)波形，觀察隨著N的變化合成信號(hào)波形的變化規(guī)律； t=2::2。 N=input(＇N=＇)。 N=5 x=zeros(size(t))。 for n=1:2:N x=x+(4/(pi*n))*sin(2*pi*n*(t+))。 end x=(x+1)/2。 plot(t,x) N=5 2 1 0 1 2 0 1 N=15 2 1 0 1 2 0 1 N=50 2 1 0 1 2 0 1 ③利用MATLAB繪出周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜，觀察參數(shù)T和變化時(shí)對(duì)頻譜波形的影響。
c0=0。 n2=1:N。 c2=4*j*sin(n2*pi/2)/pi./n2.。 =[c1 c0 c2]。 n=N:N。 stem(n,abs(),＇filled＇) Q1什么是吉伯斯現(xiàn)象？產(chǎn)生吉伯斯現(xiàn)象的原因是什么？ 將具有不連續(xù)點(diǎn)的周期函數(shù)（如矩形脈沖）進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)后，選取有限項(xiàng)進(jìn)行合成。當(dāng)選取的項(xiàng)數(shù)越多，在所合成的波形中出現(xiàn)的峰起越靠近原信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)選取的項(xiàng)數(shù)很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，大約等于總跳變值的9%。這種現(xiàn)象稱(chēng)為吉伯斯現(xiàn)象。原因是在不連續(xù)點(diǎn)附近所有的正弦信號(hào)均具有相同的變化趨勢(shì)，該趨勢(shì)在有限項(xiàng)內(nèi)無(wú)法被消除。
Q1以周期矩形脈沖信號(hào)為例，說(shuō)明周期信號(hào)的頻譜有什么特點(diǎn)。
周期信號(hào)的頻譜是具有周期性的一系列的脈沖信號(hào)。
Q1周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度與信號(hào)的時(shí)域?qū)挾戎g有什么關(guān)系？ 時(shí)域?qū)挾仍酱?，有效頻帶寬度越小。
Q1隨著矩形脈沖信號(hào)參數(shù)的變化，其頻譜結(jié)構(gòu)如何變化？ 頻譜包絡(luò)形狀不變，過(guò)零點(diǎn)不變，普賢間隔隨著T變大而縮小。
已知x(t)是如圖所示的矩形脈沖信號(hào)。
①求該信號(hào)的傅里葉變換； ②利用MATLAB繪出矩形脈沖信號(hào)的頻譜，觀察矩形脈沖信號(hào)寬度變化時(shí)對(duì)頻譜波形的影響； ③讓矩形脈沖信號(hào)的面積始終等于1，改變矩形脈沖寬度，觀察矩形脈沖信號(hào)時(shí)域波形和頻譜隨矩形脈沖寬度的變化趨勢(shì)。
syms t w y=int(2*exp(j*w*t),t,2,2)。 ezplot(y) (2 s in(2 w ))/w 6 4 2 0 2 4 6 1 0 1 2 3 4 w y=int(exp(j*w*t),t,4,4)。 ezplot(y) 6 4 2 0 2 4 6 1 0 1 2 w ( 2 sin ( 4 w )) / w Q2比較矩形脈沖信號(hào)和周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜，兩者之間有何異同？ 矩形脈沖信號(hào)頻譜為連續(xù)函數(shù)，周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜為一系列的脈沖。
Q2根據(jù)矩形脈沖寬度變化時(shí)頻譜的變化規(guī)律，說(shuō)明信號(hào)的有效頻帶寬度與其時(shí)域?qū)挾戎g有什么關(guān)系？ 信號(hào)有效頻帶寬度越大，時(shí)域?qū)挾仍叫　?
已知x[n]是如圖所示的周期方波序列。
利用MATLAB繪制周期方波序列的頻譜波形，改變參數(shù)N和N1的大小，觀察頻譜波形的變化趨勢(shì)。
N1=input(＇N1=＇)。 N=input(＇N=＇)。 n1=0:N1。 x1=ones(size(n1))。 n2=N1+1:NN11。 x2=zeros(size(n2))。 n3=NN1:N。 x3=ones(size(n3))。 n=0:N。 x=[x1 x2 x3]。 X=fft(x)。 subplot(211)。 stem(n,x,＇filled＇)。 xlabel(＇n＇)。 title(＇x(n)＇)。 subplot(212)。 stem(n,X,＇filled＇)。 xlabel(＇k＇)。 title(＇X(k)＇)。 程序運(yùn)行結(jié)果如下： N1=2。N=9。 Q3以周期方波序列為例，說(shuō)明周期序列與連續(xù)周期信號(hào)的頻譜有何異同。
周期序列的頻譜向外越來(lái)越大，連續(xù)周期信號(hào)頻譜則是中間向兩邊越來(lái)越小。
Q3隨著周期方波序列占空比的變化，其頻譜如何隨之變化？ 隨著占空比越來(lái)越大，頻譜密度也越來(lái)越大。
實(shí)驗(yàn)四 LTI系統(tǒng)的頻域分析 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? ①加深對(duì)LTI系統(tǒng)頻域響應(yīng)基本概念的掌握和理解 ②學(xué)習(xí)和掌握LTI系統(tǒng)頻域特性的分析方法 二、實(shí)驗(yàn)原理和方法 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域響應(yīng) 系統(tǒng)的頻域響應(yīng)定義為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的傅里葉變換，即 若LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，輸入為x(t)，根據(jù)時(shí)域分析可知 對(duì)本式求傅里葉變換得 所以，頻率響應(yīng)還可以由零狀態(tài)相應(yīng)和輸入的傅里葉變換之比得到 反映的是系統(tǒng)的固有屬性，與外部激勵(lì)無(wú)關(guān)，又可以表示為 其中稱(chēng)為系統(tǒng)的幅度響應(yīng)，被稱(chēng)為系統(tǒng)的相位響應(yīng)。
對(duì)于由下述微分方程描述的LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 其頻率響應(yīng)H（jw）可以表示為（834）所示的jw的有理多項(xiàng)式。
MATLAB的信號(hào)處理工具箱提供了專(zhuān)門(mén)的函數(shù)freqs，用來(lái)分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，該函數(shù)有下列幾種調(diào)用格式： [h，w]=freqs(b,a)計(jì)算默認(rèn)頻率范圍內(nèi)200個(gè)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)的取樣值，這200個(gè)頻率點(diǎn)記錄在w中。
h=freqs(b,a,w) b、a分別為表示H(jw)的有理多項(xiàng)式中分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，w為頻率取樣點(diǎn)，返回值h就是頻率響應(yīng)在頻率取樣點(diǎn)上的數(shù)值向量。
[h,w]=freqs(b,a,n)計(jì)算默認(rèn)頻率范圍內(nèi)n個(gè)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)的取樣值，這n個(gè)頻率點(diǎn)記錄在w中。
Freqs(b,a…) 這種調(diào)用格式不返回頻率響應(yīng)的取樣值，而是以對(duì)數(shù)坐標(biāo)的方式繪出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)飛相頻響應(yīng)。
離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng) LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為單位抽樣響應(yīng)h(n)的離散時(shí)間傅里葉變換。
對(duì)于任意的輸入信號(hào)x(n)，輸入與輸出信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換有如下關(guān)系 因此，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)還可以表示為 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為x(n)時(shí)，系統(tǒng)的輸出 由式（838）可知，虛指數(shù)信號(hào)通過(guò)LTI離散時(shí)間系統(tǒng)后信號(hào)的頻率不變，信號(hào)的幅度由系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅度值確定，所以)表示了系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的衰減量。
一般情況下離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是復(fù)值函數(shù)，可用幅度和相位表示。
若LTI離散系統(tǒng)可以由如下差分方程描述。
則由式（837）描述的離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以表示為的有理多項(xiàng)式。
MATLAB的信號(hào)處理工具箱提供了專(zhuān)門(mén)的函數(shù)freqz，用來(lái)分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，該函數(shù)有下列幾種調(diào)用格式： [H,w]=freqs(b,a,n)計(jì)算0pi范圍內(nèi)n個(gè)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)的取樣值 H=freqs(b,a,w) b、a分別為表示H(jw)的有理多項(xiàng)式中分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，w為頻率取樣點(diǎn)，返回值h就是頻率響應(yīng)在頻率取樣點(diǎn)上的數(shù)值向量。
[H,w]=freqs(b,a,n)計(jì)算默認(rèn)頻率范圍內(nèi)n個(gè)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)的取樣值，這n個(gè)頻率點(diǎn)記錄在w中。
Freqs(b,a…) 這種調(diào)用格式不返回頻率響應(yīng)的取樣值，而是以對(duì)數(shù)坐標(biāo)的方式繪出系統(tǒng)的