【正文】 a≥b+c+cca=b+ca0左式－右式=3abc3bca3cab(bc)2+(ca)2+(ab)2 b+ca+ca+b3bca3cab(ca)2+(ab)2 a+ba+b2(b+ca)3bca3cab(ab)2+(ab)2=(ab)2≥0 a+ba+ba+b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個(gè)式了，有了一定的難度。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。N,k1)1111，22kkk(k1)k(k+1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。定義錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。得錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．故錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。．點(diǎn)睛：數(shù)列求和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和等。即錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。因此構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。顯然，錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比大于錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。；證明第三問時(shí)，充分借助（2）的結(jié)論可知錯(cuò)誤！未找到引用源。將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。使得對于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍是錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。即只要滿足 ①：錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。故錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。注：對于錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。2，放縮時(shí)常使用的方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，即多項(xiàng)式加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，或多項(xiàng)式減上一些正的值，多項(xiàng)式的值變小。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。R，求證：abc(ap+bp+cp)≥ap+2(a+b+c)+bp+2(ab+c)+cp+2(a+bc)證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，于是左邊－右邊=ap+1(bc+a2abca)+bp+1(ca+b2bcab)+cp+1(ab+c2cabc)=ap+1(ab)[(ab)+(bc)]bp+1(ab)(bc)+cp+1[(ab)+(bc)](bc)=ap+1(ab)2+(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1(bc)2≥(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1)如果p+1≥0，那么ap+1bp+1≥0；如果p+1＜0，那么cp+1bp+1≥0，故有(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1)≥0，：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證：abc+++(1a)(1b)(1c)≤1b+c+1c+a+1a+b+1abca+b+c≤，再證明以 ++b+c+1c+a+1a+b+1a+b+1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡單不等式a+b+ca+b+1c1+(1a)(1b)(1c)≤1，因?yàn)樽筮?++(1a)(1b)(1c)a+b+1a+b+1a+b+1=11c[1(1+a+b)(1a)(1b)]，再注意(1+a+b)(1a)(1b)≤(1+a+b+ab)a+b+1(1a)(1b)=(1+a)(1+b)(1a)(1b)=(1a2)(1b2)≤≤B，我們找一個(gè)(或多個(gè))中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時(shí)成立，那么A≤B顯然正確。第二篇：放縮法證明不等式放縮法證明不等式在學(xué)習(xí)不等式時(shí)，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在。（2）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)。N 211111+++...+，求證：Tn 3+b13+b23+b33+bn2迭乘得：bn+3179。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象。4+...+n180。R且a+b=c，求證：a+bc(n179。22（3）在分式中放大或縮小分子或分母。∴1+a+b=xyz+x3+y3∴x3+y3(x2y+xy2)=x2(xy)+y2(yx)=(xy)2(x+y)≥0 ∴x3+y3≥x2y+xy2∴1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)∴1z1=≤xy(x+y+z)x+y+z1+a+byx11≤，≤ ∴+y+zx+y+z1+b+c1+c+a同理：由對稱性可得[評析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對稱性。：正難則反。沒有自信就會畏難，就會放棄。錯(cuò)誤！未找到引用源。即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）由（1）知，錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】試題分析：（1）根據(jù)及時(shí)定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此，錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源