【正文】 nnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD???????. 解： 把第 1 行的－ 1 倍加到第 2 行，把新的第 2行的－ 1 倍加到第 3 行，以此推直到把新的第 1?n 行的 1倍加到第 n 行，便得范德蒙 13 行列式 122 2 21211 1 1121 1 1()nn i jn i jn n nnx x xD x x x x xx x x? ? ?? ? ?? ? ??. Hessenberg 型行列式的計(jì)算 對(duì)于形如??????????，??????????????????????????????的所謂 Hessenberg 型行列式，可直接展開得到遞推公式，也可利用行列式的性質(zhì)化簡并降階。 解：若 naa?1 中有兩個(gè)數(shù)相等，則 0?nD 若 naa?1 互異，則每個(gè) n 階行列式 )()()()()()()(21211nnnnnafafxfaffxfxG??????? 是 )()(),( 21 xfxfxf n?的線性組合，據(jù)題 )(xfi 的次數(shù)≤ )1(2 nin ??? 因而 )(xG 的次數(shù)≤ ,2?n但 ,0)()( 2 ??? naGaG ? 這說明 )(xG 至少有 )1( ?n 個(gè)不同的根，故 ,0)( ?xG 所以 0)( 1 ?aG 即0)( ?xDn n 階循環(huán)行 列式算法 例 16 計(jì)算行列式acccbaccbbacbbbaD n????????? 其中cbabc ?? .0 20 解：設(shè) )()( 12 ?????? nxxxbaxf ?且令 0??bcxn的 n 個(gè)根為),1( nixi ?? 則 ???ni in xfD 1 )( 由 ]11[)1()( ??????????? x xbcx bcxbax xxbaxf nn有 1)()(1)( ?????????iiiii xacxbaxxbcbaxf 利用關(guān)系式 ? ? ? ???? ? 01,21 niiijii xxxxxx ?? bcxxx nn 121 )1( ???? 得?????? ?????? ???? niiniiiininxacxbaxacxbaD111 )1()]()[(1)()( bccabbacbcacbabc nnnnnnn??????????????? )()()1()1()()()1(11 例 17 設(shè) ),2,1,(),( njixfij ?? 都是 x 的可微函數(shù) 證明：???ninnnininnnnnnnxfxfxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxd111111212222111211)()()()()()()()()()()()()()()(????????????? 證明： )]()()()1([)()()()()()()()()(2211)(212222111211121 xfxfxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxdn jnjjjjjjjnnnnnnnn ?????????? ?? ? )]()()([)1( 2211)(2121 xfxfxfdxd n jnjjjjjjjjnn ???? ?? ? 21 ) ) ]()(()()(()()()([)1( 1122112211)(2121 xfdxdxfxfxfxfxfxfdxd n jnjnnjjn jnjjj jjjjjnn ?????? ? ?????? ))()()()1()()()(()1(21 212121 1111)(2211)(? ? ???????n nnnjjj n j njnnjjj jjjjn j njjjjj xfdxdxfxfxfxfxfdxd? ??? ??? ?? ???? ??????????????)()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211xfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdnnnnnnnnnnnnn )()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(21211121121,12,11,12222111211xfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfinxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfnnnniniinnnnnnnnnnn?????????????????? ???? 有關(guān)矩陣的行列式計(jì)算 例 18 設(shè) A 與 B為同階方陣： 證明： BABAAB BA ???? 證明： BABABAB BAAB ABBAAB BA ????????? 0 例 19 設(shè) A 為 n 階可逆方陣， ? 、 ? 為兩個(gè) n 維列向量，則AaAA )1( 1?????? ??? 22 證明： )1(101 11)1)(1( ?????? ? ???? ???????? AAAAA nn 例 20 若 n 階方陣 A 與 B且第 j 列不同。 [3] 徐帥，陸全，張凱院，呂全義，安曉虹主編 .高等代數(shù)考研教案 .西安 :西北工業(yè)大學(xué)出版社。由第二列加到第一列，并減去第三、四列可見， D 可被 xzy ?? 整除，由第三列加于第一列，并減去第二、四列可見， D 被 zyx ?? 整除。 例 5 計(jì)算行列式 100101012001111????????nnD n?? . 解： 11 ? ? )1211(!10000010020012111111212)1(11nnnnncncccnnnnnnD???????????????????????????　 三對(duì)角行列式的計(jì)算 對(duì)于形如??????????的所謂三對(duì)角行列式，可直接展開得到兩項(xiàng)遞推關(guān)系 21 ?? ?? nnn DDD ?? ，然后采用如下的一些方法求解。 I 行列式的的解法技巧 目 錄 1 行列式的基本理論 ........................................ 4 .......................................... 4 ........................................ 4 基本理論 ............................................ 6 ................................. 6 2 行列式的計(jì)算技 .......................................... 7 .............................................. 7 ................................... 8 ................................. 9 型行列式的計(jì)算 ................................... 10 .................