【正文】 ( ) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 [答案 ] C [解析 ] 如圖所示，設(shè) A、 C在平面 β上的射影為 A′ 、 C′ ，則設(shè) α、 β之間的距離 AA′＝ CC′ ＝ a，且 BA′ 、 DC′ 分別為 AB、 CD在 β內(nèi)的射影 ． 在 Rt△ AA′ B中， AB＝ 13， 則 A′ B＝ AB2－ AA′ 2 ＝ 132－ a2. 在 Rt△ CC′ D中， CD＝ 5 5， 則 C′ D＝ CD2－ C′ C2＝ 125－ a2. 又 ∵ C′ D與 A′ B相差為 2，即 A′ B－ C′ D＝ 132－ a2－ 125－ a2＝ 2， ∴ a＝ 5， ∴ 平面 α和 β之間的距離為 5. 二、填空題 5． 在底面是直角梯形的四棱錐 P－ ABCD中 ， 側(cè)棱 PA⊥ 底面 ABCD， BC∥ AD， ∠ ABC＝ 90176。n||n| ＝23. 所以，點 B到平面 OCD的距離為 23. 8． (2021n＝ (1－ 24 ， 24 ，－ 1)n|n||＝ |－ 2－ 4－ 4|3 ＝ 103 . 3． 空間四點 A、 B、 C、 D每兩點的連線長都等于 a， 動點 P 在線段 AB上 ， 動點 Q 在線段 CD上 ， 則點 P到 Q的最小距離為 ( ) A． a2 B． 22 a C． 32 a D． 62 a [答案 ] B [解析 ] 如圖，求 PQ的最小值，需先將 PQ表示出來，再用代數(shù)方法確定最值 ． 由題設(shè)可知， AB→ 、 AC→ 、 AD→ 兩兩夾角均為 60176。AC→ ＋ 2BA→ AD1→ ＝ 0，n PA＝ AB＝ BC＝ 2， AD＝ 1， 則 AD到平面 PBC的距離為 ________________． [答案 ] 2 [解析 ] 由已知 AB， AD， AP兩兩垂直 ． ∴ 以 A為坐標原點 AB、 AD、 AP分別為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標系，則 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， P(0,0,2)， PB→ ＝ (2,0，－ 2)， BC→ ＝ (0,2,0)，設(shè)平面 PBC的法向量為 n＝ (a， b， c)，則????? 2a－ 2c＝ 0，b＝ 0. ∴ n＝ (1,0,1)，又 AB→ ＝ (2,0,0)， ∴ d＝ |AB→ 北京理 )如圖 ， 正方形 AMDE的邊長為 2， B、 C分別為 AM、 MD的中點 ． 在五棱錐 P－ ABCDE中 ， F為棱 PE的中點 ， 平面 ABF與棱 PD、 PC分別交于點 G、 H. (1)求證 ： AB∥ FG； (2)若 PA⊥ 底面 ABCDE， 且 PA＝ AE， 求直線 BC與平面 ABF所成角的大小 ， 并求線段PH的長 ． [解析 ] (1)在正方形 AMDE中，因為 B是 AM的中點，所以 AB∥ DE. 又因為 AB?平面 PDE，所以 AB∥ 平面 PDE. 因為 AB? 平面 ABF，且平面 ABF∩ 平面 PDE＝ FG， 所以 AB∥ FG. (2)因為 PA⊥ 底面 ABCDE，所以 PA⊥ AB， PA⊥ AE. 如圖建立空間直角坐標系 A－ xyz，則 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(2,1,0)， P(0,0,2)， F(0,1,1)，BC→ ＝ (1,1,0)． 設(shè)平面 ABF的法向量為 n＝ (x， y， z)，則 ????? nOD→ ＝ ????? 22 y－ 2z＝ 0－ 22 x＋ 22 y－ 2z＝ 0， 取 z＝ 2，解得 n＝ (0,4， 2)． ∵ MN→ C1O→ ||DA1→ |＝122＝24 . 2． 已知平面 α的一個法向量 n＝ (－ 2，－