【正文】 已知∠ ? ，∠ ? （∠ ? ∠ ? ） ,求作∠ ? = ? ??? ???21． 解法發(fā)散 1．已知 AB//CD，試問(wèn)∠ B+∠ BED+∠ D= ?360 ．（用兩 種以上方法判斷） 2．如圖 2101，已知∠ BED=∠ ABE+∠ CDE，那么 AB//CD嗎？為什么？（用四種方法判斷） 變更命題發(fā)散 1．如圖 2102，在折線 ABCDEFG 中，已知∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4=∠ 5，延長(zhǎng) AB， GF交于點(diǎn) M．那么，∠ AMG=∠ 3，為什么？ 1．如圖 2103，已知 AB//CD，∠ 1=∠ 2．試問(wèn)∠ BEF=∠ EFC 嗎？為什么？（提示：作輔助線 BC）． 分解發(fā)散 如圖 2104， AB//CD，在直線， AB 和 CD 上分別任取一點(diǎn) E、 F． （ 1）如圖 2104，已知有一定點(diǎn) P 在 AB、 CD之間，試問(wèn)∠ EPF=∠ AEP+CFP 嗎？為什么？ （ 2）如圖 2105，如果 AB、 CD 的外部有一定點(diǎn) P，試問(wèn) ∠ EPF=∠ CFP－∠ AEP 嗎？為什么？ （ 3）如圖 2106， AB//CD， BEFGD 是折線，那么∠ B+∠ F+∠ D=∠ E+∠ G 嗎？簡(jiǎn)述你的理由． 轉(zhuǎn)化發(fā)散 1．判斷互為補(bǔ)角的兩個(gè)角中，較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的差的一半． 2．已知點(diǎn) C 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上， AB=24cm， BC=83 AB， E 是 AC 的中點(diǎn)， D 是 AB的中點(diǎn)，求 DE 的長(zhǎng)． 遷移發(fā)散 平面上有 10 條直線，其中任何兩條都不平行，而且任何三條都不經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，這 10 條直線最多分平面為幾個(gè)區(qū)域？ 綜合發(fā)散 1．線段 AB=14cm， C 是 AB 上的一點(diǎn)， BC=8cm，又 D 是 AC 上一點(diǎn)， AD:DC=1:2， E是 CB 的中點(diǎn)，求線段 DE 的長(zhǎng)． 2．如圖 2107，已知∠ 1=∠ 2=∠ 3，∠ GFA= ?36 ，∠ ACB= ?60 ， AQ 平分∠ FAC，求∠ HAQ 的度數(shù)． 3．如圖 2108，已知∠ 1=∠ 2，∠ C=∠ D，試問(wèn)∠ A=∠ F 嗎？為什么？ 4．如圖 2109，已知 AD⊥ BC， EF⊥ BC，∠ 4=∠ C，那么∠ 1=∠ 2．談?wù)勀愕睦碛桑? 參考答案 【鞏固基礎(chǔ)訓(xùn)練】 題型發(fā)散 1． (1)(D) (2)(C) (3)(C) (4)(A) (5)(D) (6)(A) (7)(B) (8)(B) (9)(A) (10)(D) 2． (1)如果在同一平面內(nèi)兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩條直線平行． (2)垂線段． (3)40176。 (等量代 換 )． 故 AC∥ DF(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 )． 2．∵∠ 1=∠ 2(已知 )， ∴ AB∥ CD(同位角相等，兩直線平行 )， ∴∠ BMN+∠ DNM=180176。． 4．因?yàn)椤?1 和∠ 4 是對(duì)頂角，所以∠ 1=∠ 4，又因?yàn)椤?1=∠ 2=∠ 3，所以∠ 4=∠ 2，∠ 4=∠ 3． 直線 AB， CD被 EF所截，∠ 2和∠ 4是同位角，且∠ 4=∠ 2，所以， AB∥ CD． 同理，由∠ 4=∠ 3，可推知 EF∥ MN． 5．∵∠ 1=∠ 6，∠ 2=∠ 7(對(duì)頂角相等 )， 又∵∠ 1+∠ 2=180176。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）． 又∵ MG、 NG 為角平分線（已知）， ∴ M N D21M N GB M N21N M G ?????? ，（角平分線定義）， ∴ ???????????? 901 8021)M N DB M N(21M N GN M G ， ∴∠ MGN=90176。． （ 4） 28176。（等量代換）． 2．分析 關(guān)鍵是找到“第三條直線”把原兩條直線 AB， CD 聯(lián)系起來(lái)． 解法 1 如圖 27′，延長(zhǎng) BE 交 CD 于 F．有∠ BED=∠ 3+∠ 2， ∵∠ BED=∠ 1+∠ 2，∴∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠ 2． 即∠ 1=∠ 3，從而 AB∥ CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）． 解法 2 如圖 28′，過(guò) E 點(diǎn)作 EF，使∠ FED=∠ CDE，則 EF∥ CD． 又∵∠ BED=∠ ABE+∠ CDE，∴∠ FEB=∠ ABE．因而 EF∥ AB． ∴ AB∥ CD（ AB， CD 都平行于 EF）． 解法 解法 4 可依據(jù)圖 29′、圖 210′，讀者可自行判斷． 變更命題發(fā)散 1．判斷理由如下： ∵∠ 1=∠ 2（已知）， ∴ AM∥ CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）． 同理，∵∠ 4=∠ 5，∴ GM∥ DE， ∵∠ AMG=∠ 3（如果一個(gè)角的兩邊分別平行 于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)）． 2．判斷理由如下： 連結(jié) BC． ∵ AB∥ CD（已知）， ∴∠ ABC=∠ BCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）． 又∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ EBC=∠ FCB（等量之差相等）， ∴ EB∥ CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）， ∴∠ BEF=∠ EFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）． 分解發(fā)散 （ 1）提示：過(guò) P 作 PQ∥ AB，把∠ EPF 分割成兩部分∠ EPQ、∠ QPF，利用平行線內(nèi)錯(cuò)角相等判斷． （ 2）提示：先求∠ CFP 的等角∠ 1，過(guò) Q 點(diǎn)作 QG∥ PE，把∠ 1 分割成兩部分，再利用平行線內(nèi)錯(cuò)相等證 明． ∠ EPF=∠ 1∠ AEP，又∵∠ 1=∠ CFP， 最后證得結(jié)論：∠ EPF=∠ CFP∠ AEP． （ 3）提示：過(guò) E、 F、 G 作 AB 的平行線． 轉(zhuǎn)化發(fā)散 1．提示：考慮互補(bǔ)的兩角有一條邊互為反向延長(zhǎng)線 MN，過(guò)角的頂點(diǎn)作 MN 的垂線，只須證互補(bǔ)兩角中的大角減小角的差等于小角的余角的 2 倍． 2．如圖 211′，∵ AB83BC? ， ∴ 33248324BCABAC ?????? ． 又∵ E 是線段 AC 的中點(diǎn)， ∴ ???? ． 同理 122421AB21AD ???? ， 故 DE=AEAD==（ cm）． 遷移發(fā)散 ∵一條直線將平面分成 2 個(gè)區(qū)域，加上第二條直線，區(qū)域數(shù)增加 2，加上第三條直線，區(qū)域數(shù)又增加 3??，加上第 10 條直線，區(qū)域數(shù)又增加 10． ∴ 10 條直線，按已知條件，將平面分成的區(qū)域數(shù)為 n． 則 n=2+2+3+4+? +10 =1+(1+2+3+4+? +10) =56． 綜合發(fā)散 1． 8cm． 2． 12176。． （ 2） 50176?！?1=∠ 2，∠ 3=∠ 4， ∴∠ EMF=90176。． 2． (1)30176。． 縱橫發(fā)散 1．∵ BD∥ EC(已知 )， ∴∠ DBC+∠ C=180176。那么這兩個(gè)角是（ ） （ A） ??138,42 （ B）都是 ?10 （ C） ??138,42 或 ?42 ， ?10 （ D）以上答案都不對(duì) （ 3）如圖 282， AB//CD， MP//AB， MN 平分 ∠ AMD．∠ A=40176。． (2)50176。 (垂直的定義 )． 又∵ AB∥ CD(已知 )，