【正文】 x） 2﹣ 3x﹣ 1＞ 0， 解得： （舍），或 3x＞ ，即 x＞ ． ∴ 不等式 f（ x） ＞ 1 的解集為（ ）； （ 2）由 f（ x） ≤ 6 得 3x+λ3﹣ x≤ 6，即 3x+ ≤ 6， 令 t=3x∈ [1， 9]， 原不等式等價于 t+ ≤ 6 在 t∈ [1， 9]上恒成立， 亦即 λ≤ 6t﹣ t2在 t∈ [1， 9]上恒成立， 令 g（ t） =6t﹣ t2， t∈ [1， 9]， 當(dāng) t=9 時， g（ t）有最小值 g（ 9） =﹣ 27， ∴ λ≤ ﹣ 27． 16．已知遞增等比數(shù)列 {an}滿足： a2+a3+a4=28，且 a3+2 是 a2和 a4的等差中項， （ Ⅰ ） 求數(shù)列 {an}的通項公式； （ Ⅱ ）若 ， Sn=b1+b2+…+bn，求使 Sn+n?2n+1＞ 62 成立的正整數(shù) n的最 小值． 【考點】 數(shù)列與不等式的綜合；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和． 【分析】 （ I）由題意，得 ，由此能求出數(shù)列 {an}的通項公式． （ Ⅱ ） ， Sn=b1+b2+…+bn=﹣（ 1 2+2 22+…+n2n），所以數(shù)列 {bn}的前項和 Sn=2n+1﹣ 2﹣ n?2n+1，使 Sn+n?2n+1＞ 62 成立的正整數(shù) n 的最小值． 【解答】 解：（ I）由題意，得 ， … 解得 … 由于 {an}是遞增數(shù)列，所以 a1=2， q=2 即數(shù)列 {an}的通項公式為 an=2?2n﹣ 1=2n… （ Ⅱ ） … Sn=b1+b2+…+bn=﹣（ 1 2+2 22+…+n 2n） ① 則 2Sn=﹣（ 1 22+2 23+…+n 2n+1） ② ②﹣ ①，得 Sn=（ 2+22+…+2n）﹣ n?2n+1=2n+1﹣ 2﹣ n?2n+1 即數(shù)列 {bn}的前項和 Sn=2n+1﹣ 2﹣ n?2n+1… 則 Sn+n?2n+1=2n+1﹣ 2＞ 62，所以 n＞ 5， 即 n 的最小值為 6． … 17．已知函數(shù) f（ x） =2sin（ x+ ） ?cosx． （ 1）若 0≤ x≤ ，求函數(shù) f（ x）的值域； （ 2）設(shè) △ ABC 的三個內(nèi)角 A， B， C所對的邊分別為 a， b， c，若 A為銳角且 f（ A） = ，b=2， c=3，求 cos（ A﹣ B）的值． 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；余弦定理． 【分析】 （ 1）利用三角恒等變換化簡 f（ x），根據(jù) x的取值范圍即可求出函數(shù) f（ x）的值域； （ 2）由 f（ A）的值求出角 A的大小，再利用余弦定理和正弦定理，即可求出 cos（ A﹣ B）的值． 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2sin（ x+ ） ?cosx =（ sinx+ cosx） ?cosx =sinxcosx+ cos2x = sin2x+ cos2x+ =sin（ 2x+ ） + ； … 由 得， ， ∴ ， … ∴ ， 即函數(shù) f（ x）的值域為 ； … （ 2）由 ， 得 ， 又由 ， ∴ ， ∴ ，解得 ； … 在 △ ABC 中，由余弦定理 a2=b2+c2﹣ 2bccosA=7， 解得 ； … 由正弦定理 ，得 ， … ∵ b＜ a， ∴ B＜ A， ∴ ， ∴ cos（ A﹣ B） =cosAcosB+sinAsinB = ． … 18．如圖，有一塊平行四邊形綠地 ABCD，經(jīng)測量 BC=2百米， CD=1 百米， ∠ BCD=120176。擬過線段 BC 上一點 E 設(shè)計一條直路 EF（點 F 在四邊形 ABCD 的邊上，不計路的寬度），將綠地分為面積之比為 1： 3 的左右兩部分，分別種植不同的花卉，設(shè) EC=x百米， EF=y 百米． （ 1）當(dāng)點 F 與點 D 重合時，試確定點 E 的位置； （ 2）試求 x的值，使路 EF 的長度 y 最短． 【考點】 余弦定理的應(yīng)用；正弦定理． 【分析】 （ 1）當(dāng)點 F 與點 D 重合時， ，即，從而確定點 E 的位置； （ 2）分類討論，確定 y 關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求最值． 【解答】 解：（ 1） ∵ 當(dāng)點 F 與點 D 重合時，由已知 ， 又 ∵ ， E 是 BC 的中點 （ 2） ①當(dāng)點 F 在 CD 上，即 1≤ x≤ 2 時，利用面積關(guān)系可得 ， 再由余弦定理可得 ；當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時取等號 ②當(dāng)點 F 在 DA上時，即 0≤ x＜ 1 時，利用面積關(guān)系可得 DF=1﹣ x， （ ⅰ ）當(dāng) CE＜ DF 時，過 E 作 EG∥ CD 交 DA于 G，在 △ EGF 中， EG=1， GF=1﹣ 2x， ∠EGF=60176。 ∴ AB、 AD、 AS 兩兩垂直．故以 A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 … 則 S（ 0， 0， a）， C（ a， a， 0）， D（ 0， 3a， 0）（ a＞ 0）， ∵ SA=AB=a 且 SA⊥ AB， ∴ 設(shè) E（ x， 0， a﹣ x）其中 0≤ x≤ a， … ∴ ， ， 假設(shè) DE 和 SC 垂直，則 ， … 即 ax﹣ 3a2﹣ a2+ax=2ax﹣ 4a2=0，解得 x=2a， … 這與 0≤ x≤ a 矛盾，假設(shè)不成立，所以 DE 和 SC 不可能垂直 … （ 2） ∵ E 為線段 BS 的三等分點（靠近 B）， ∴ ． 設(shè)平面 SCD 的一個法向量是 ， ∵ ， ， ∴ ，即 ，即 ， 取 ， … 設(shè)平面 CDE 的一個法向量是 ， ∵ ， ， ∴ ，即 ，即 ， 取 ， … 設(shè)二面角 S﹣ CD﹣ E 的平面角大小為 θ，由圖可知 θ為銳角， ∴ ， 即二面角 S﹣ CD﹣ E 的余弦值為 … 2021 年 11 月 15 日 。 利用余弦定理得 由（ ⅰ ）、（ ⅱ ）可得 ， 0≤ x＜ 1 ∴ = ， ∵ 0≤ x＜ 1， ∴ ，當(dāng)且僅當(dāng) x= 時取等號， 由 ①②可知當(dāng) x= 時，路 EF 的長度最短為 ． 19．已知數(shù)列 {an}的前 n 項和為 An，對任意 n∈ N*滿足 ﹣ = ，且 a1=1，數(shù)列 {bn}滿足 bn+2﹣ 2bn+1+bn=0（ n∈ N*）， b3=5，其前 9 項和為 63． （ 1）求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項公式； （ 2）令 = + ，數(shù)列 {}的前 n項和為 Tn，若對任意正整數(shù) n，都有 Tn≥ 2n+a，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 3）將數(shù)列 {an}， {bn}的項按照 “當(dāng) n為奇數(shù)時， an放在前面；當(dāng) n 為偶數(shù)時， bn放在前面 ”的要求進行 “交叉排列 ”，得到一個新的數(shù)列： a1， b1， b2， a2， a3， b3， b4， a4， a5， b5， b6， …，求這個新數(shù)列的前 n 項和 Sn． 【考點】 數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）由 ，利用等差數(shù)列通項公式可得 An，再利用遞推關(guān)系可得 an．由bn+2﹣ 2bn+1+bn=0，可得數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式與通項公式即可得出． （ 2）由（ 1）知 ，再利用 “裂項求和 ”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出． （ 3）數(shù)列 {an}的前