【正文】 自變量的增量 Δx的形式是多樣的 ,但不論 Δx選擇 哪種形式 , Δy也必須選擇與之相對應的形式 . 回顧 P1P2P3P4PT TT TP P( )y f x= ( )y=f x( )y=f x ( )y=f xOyx OyxOyx Oyx211 ?.圖()1 ()2()3 ()4再觀察直線和P附近的曲線的貼近程度！ 在點 P附近，曲線 f (x)可以用在點 P處的切線 PT近似代替 。 1( ) l im ( )ninibaf x d x fnx?? ???? ?? ba即O a bxy)( xfy ? S ? ?baf ( x ) dx ； 按定積分的定義 ， 有 (1) 由連續(xù)曲線 y?f(x) (f(x)?0) ，直線 x?a、 x?b及 x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設物體運動的速度 v?v(t)， 則此物體在時間區(qū)間[a, b]內(nèi)運動的距離 s為 s ? ?bav ( t ) dt 。 若 “ 梯形 ” 很窄， 可近似地用矩形面積代替 在不很窄時怎么辦？ —— 以直代曲 O a bxy)( xfy ?O a bxy)(xfy?例 y=x 直線 x=1和 x軸所圍成的曲邊梯形的面積 。 當 f(x)?0時，由 y?f (x)、 x?a、 x?b 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方， x y O dxxfS ba )]([ ?? ??? ，dxxfba )(?． a b y?f (x) y??f (x) dxxfS ba )]([ ?? ??ba f (x)dx ??ca f (x)dx??bc f (x)dx。 )( 0xf ?（ 2）根據(jù)直線方程的 點斜式寫出切線方程 ， 即 ).)(()( 000 xxxfxfy ????求切線方程的步驟： 例 : 高臺跳水運動中， 秒 時運動員相 對于水面的高度是 （單位： ），求運動員在 時的瞬時 速度，并解釋此時的運動狀態(tài) 。y f x x f x? ? ? ? ?求 函 數(shù) 的 增 量00( ) ( )( 2 ) 。nii = 1 i = 122233ni = 122i 1 1 2+n n n1 1 1 n 1 10 i 1s s = Δ s = v Δ tn==1= 1 + 2 + + n 1 + 2n1 (n 1 )n (2 n 1 )=+2nn+2n61 1 1= 1 1n + 23 2 nnnnnnnni = 1n1 i 1s = l i m s = l i m vnn1 1 1 5= l i m 1 1 + 2 =3 n 2n 3???????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????∞ ∞∞ 當 n趨向于無窮大，即 趨向于 0時， 趨向于 s，從而有 n1 1 1s = 1 1 + 23 n 2 n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?Δt一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為 ? ?v v t? ，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在 a ≤ t ≤ b 內(nèi)所作的位移 S ． 結(jié)論 從求曲邊梯形面積以及變速直線運動路程的過程可知，它們都可以通過“四步曲”： 分割、近似代替、求和、取極限 得到解決，且都可以歸結(jié)為求一個特定形式和的極限 . 曲邊梯形面積 變速直線運動路程 ???????????niinniix fnxfS110)(1lim)(lim xx???????????niinniit vntvS110)(1l i m)(l i m xx 復習 一、定積分的概念 bxxxxxabaxfnii ???????? ? ?? 110][ 上連續(xù)，用分點，）在區(qū)間（一般地，如果函數(shù)，）（）（），作和式，（上任取一點，間個小區(qū)間，在每個小區(qū)等分成，將區(qū)間? ?? ??????niniiiiiifnabxfnixxnba1 1121][][xxx ?.][ 上的定積分，）在區(qū)間（叫做函數(shù)某個常數(shù)，這個常數(shù)時，上述和式無限接近當baxfn ??.l i m1???????? niinbabafnabdxxfdxxf ）（）（，即）（記作 x 概念 定積分的定義 ： 定積分的相關名稱： ? ———叫做積分號 ， f(x) ——叫做被積函數(shù) ， f(x)dx —叫做被積表達式 ， x ———叫做積分變量 ， a ———叫做積分下限 ， b ———叫做積分上限 ， [a, b] —叫做積分區(qū)間 。 n1 n2 nknn xOy解析 :把底邊 [0,1]分成 n等份 ,然后在每個分點作底邊的垂線 , 這樣曲邊三角形被分成 n個窄條 , 用矩形來近似代替 ,然后把這些小矩形的面積加起來 , 得到一個近似值，再取其極限值。 ??S 上述曲邊梯形面積的負值。在 呢 ? t )(s)( 2 ???? ttthst 1?mst ?)(/ ?hst 1??? ?????? t hthth )1()1(?? ?ttt?????????????? )1()1( 22 ???? t??同理， ? ? thh ???? 1/ 運動員在 時的瞬時速度為 ，