【正文】 y20. 問(wèn)題 3 由三角函數(shù)的定義知，三角函數(shù)值是一個(gè)比值，即一個(gè)實(shí)數(shù)，它的大小只與角 α的終邊位置有關(guān)，即與角有關(guān)，與角 α 終邊上 P點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)． 請(qǐng)以角 α 為第二象限角為例，借助三角形相似的知識(shí)證明上述兩種定義是一致的． 證明 設(shè)角 α 的終邊與單位圓交于點(diǎn) P(x， y)，過(guò)點(diǎn) P作 PM⊥ x軸，垂足為 M，則 sin α ＝ y， cos α ＝ x， tan α ＝ yx. 設(shè) P′( x′ ， y′) 為角 α 上任意一點(diǎn)，且 P′ 與 P不重合，過(guò)點(diǎn) P′ 作 P′ M′⊥ x軸，垂足為 M′. 則易知 Rt△ OMP∽R(shí)t△ OM′ P′. 于是 |M′ P′||OP′| ＝ |MP||OP|， |OM′||OP′| ＝ |OM||OP|， |M′ P′||OM′| ＝ |MP||OM|. ∴ y′r ＝ y1＝ y， － x′r ＝ － x1 ＝－ x， y′－ x′ ＝ y－ x. ∴ y′r ＝ y， x′r ＝ x， y′x′ ＝ yx.(其中 r＝ x′ 2＋ y′ 20) 即 sin α ＝ y′r ＝ y， cos α ＝ x′r ＝ x， tan α ＝ y′x′ ＝ yx. 故任意角三角函數(shù)與角 α 終邊上點(diǎn) P的位置無(wú)關(guān)，上述兩種定義是一致的． 問(wèn)題 4 利用任意角三角函數(shù)的定義推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值 . 角 α 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 sin α 0 12 22 32 1 32 22 12 0 － 1 cos α 1 32 22 12 0 － 12 － 22 － 32 － 1 0 tan α 0 33 1 3 無(wú) － 3 － 1 － 33 0 無(wú) 解 以 α ＝ 3π2 為例，其余略． 設(shè) P(x， y)為 α ＝ 3π2 上任一點(diǎn)，易知點(diǎn) P(x， y)在 y軸負(fù)半軸上． ∴ x＝ 0， y0， r＝ x2＋ y2＝－ y0. ∴sin 3π2 ＝ yr＝－ 1； cos 3π2 ＝ xr＝ 0； tan 3π2 ＝ yx，無(wú)意義． 探究點(diǎn)三 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 三角函數(shù)的定義告訴我們，三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，取決于 x， y的符號(hào)． (1)sin α ＝ yr(r0)，因此 sin α 的符號(hào)與 y的符號(hào)相同，當(dāng) α 的終邊在第 象限時(shí)， sin α 0；當(dāng) α 的終邊在第 象限時(shí)， sin α 0. (2)cos α ＝ xr(r0)，因此 cos α 的符號(hào)與 x的符號(hào)相 同，當(dāng) α 的終邊在第 象限時(shí)， cos α 0；當(dāng) α 的終邊在第 象限時(shí)， cos α 0. (3)tan α ＝ yx，因此 tan α 的符號(hào)由 x、 y確定，當(dāng) α 終邊在第 象限時(shí)， xy0， tan α 0；當(dāng) α 終邊在第