高中數(shù)學121任意角的三角函數(shù)一學案新人教a版必修4(完整版)
【正文】 證明 設角 α 的終邊與單位圓交于點 P(x， y)，過點 P作 PM⊥ x軸，垂足為 M，則 sin α ＝ y， cos α ＝ x， tan α ＝ yx. 設 P′( x′ ， y′) 為角 α 上任意一點，且 P′ 與 P不重合，過點 P′ 作 P′ M′⊥ x軸，垂足為 M′. 則易知 Rt△ OMP∽Rt△ OM′ P′. 于是 |M′ P′||OP′| ＝ |MP||OP|， |OM′||OP′| ＝ |OM||OP|， |M′ P′||OM′| ＝ |MP||OM|. ∴ y′r ＝ y1＝ y， － x′r ＝ － x1 ＝－ x， y′－ x′ ＝ y－ x. ∴ y′r ＝ y， x′r ＝ x， y′x′ ＝ yx.(其中 r＝ x′ 2＋ y′ 20) 即 sin α ＝ y′r ＝ y， cos α ＝ x′r ＝ x， tan α ＝ y′x′ ＝ yx. 故任意角三角函數(shù)與角 α 終邊上點 P的位置無關，上述兩種定義是一致的． 問題 4 利用任意角三角函數(shù)的定義推導特殊角的三角函數(shù)值 . 角 α 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 sin α 0 12 22 32 1 32 22 12 0 － 1 cos α 1 32 22 12 0 － 12 － 22 － 32 － 1 0 tan α 0 33 1 3 無 － 3 － 1 － 33 0 無 解 以 α ＝ 3π2 為例，其余略． 設 P(x， y)為 α ＝ 3π2 上任一點，易知點 P(x， y)在 y軸負半軸上． ∴ x＝ 0， y0， r＝ x2＋ y2＝－ y0. ∴sin 3π2 ＝ yr＝－ 1； cos 3π2 ＝ xr＝ 0； tan 3π2 ＝ yx，無意義． 探究點三 三角函數(shù)值在各象限的符號 三角函數(shù)的定義告訴我們，三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，取決于 x， y的符號． (1)sin α ＝ yr(r0)，因此 sin α 的符號與 y的符號相同，當 α 的終邊在第 象限時， sin α 0；當 α 的終邊在第 象限時， sin α 0. (2)cos α ＝ xr(r0)，因此 cos α 的符號與 x的符號相 同，當 α 的終邊在第 象限時， cos α 0；當 α 的終邊在第 象限時， cos α 0. (3)tan α ＝ yx，因此 tan α 的符號由 x、 y確定，當 α 終邊在第 象限時， xy0， tan α 0；當 α 終邊在第 象限時， xy0， tan α 0. 三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號，如圖所示： 三角函數(shù)值的符號在以后學習中經(jīng)常用到，必須熟記，可根據(jù)定義記，也可按以下口訣記憶： 一全正，二正弦，三正切，四余弦 (是正的 )．
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