【正文】 定理有什么作用？ 線面、面面垂直的綜合問題 [ 例 1] 如圖，已知直線 a ⊥ α ，直線 b ⊥ β ，且 AB ⊥ a ，AB ⊥ b ，平面 α ∩ β ＝ c . 求證： AB ∥ c . [ 證明 ] 如圖，過點 B 作直線 a ′ ∥ a ， a ′ 與 b 確定的平面設(shè)為 γ . 因為 a ′ ∥ a ， AB ⊥ a ，所以 AB ⊥ a ′ ，又 AB ⊥ b ，a ′∩ b ＝ B ，所以 AB ⊥ γ . 因為 b ⊥ β ， c ? β ，所以 b ⊥ c . ① 因為 a ⊥ α ， c ? α ，所以 a ⊥ c ，又 a ′ ∥ a ，所以 a ′ ⊥ c .② 由 ①② 可得 c ⊥ γ ，又 AB ⊥ γ ，所以 AB ∥ c . [類題通法 ] 判斷線線、線面的平行或垂直關(guān)系，一般要利用判定定理和性質(zhì)定理，有時也可以放到特殊的幾何體中 (如正方體、長方體等 )然后再判斷它們的位置關(guān)系． [ 活學(xué)活用 ] 1. 如圖所示：平面 α ， β ，直線 a ，且 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ AB ， a ∥α ， a ⊥ AB . 求證： a ⊥ β . 證明： ∵ a ∥ α ，過 a 作平面 γ 交 α 于a ′ ，則 a ∥ a ′ ∵ a ⊥ AB ， ∴ a ′ ⊥ AB . ∵ α ⊥ β ， α ∩ β ＝ AB ， ∴ a ′ ⊥ β ， ∴ a ⊥ β . 求點到面的距離 [ 例 2] 已知 △ ABC ， AC ＝ BC ＝ 1 ， AB ＝ 2 ，又已知 S 是△ AB C 所在平面外一點， SA ＝ SB ＝ 2 ， SC ＝ 5 ，點 P 是 SC 的中點，求點 P 到平面 ABC 的距離． [ 解 ] 法一： 如圖所示，連接 PA ， PB .易知 △ S AC ， △ACB 是直角三角形，所以 SA ⊥ AC ， BC ⊥ AC . 取 AB 、 AC 的中點 E 、 F ，連 接 PF ， EF ， PE ，則 EF ∥ BC ， PF ∥ SA . 所以 EF ⊥ AC ， PF ⊥ AC . 因為 PF ∩ EF ＝ F ，所以 AC ⊥ 平面 PE F . 又 PE ? 平面 PEF ，所以 PE ⊥ AC . 易證 △ S AC ≌△ S BC