【正文】 本課欄目開關 填一填 練一練 研一研 例 1 如圖所示，三棱柱 O A B — O 1 A 1 B 1 中，平面 O B B 1 O 1 ⊥ 平面 O A B ， ∠ O 1 OB ＝ 60176。 b ||a|| b |. 本課欄目開關 填一填 練一練 研一研 例 2 如圖所示，已知直角梯形 ABCD ，其中 AB ＝ BC ＝ 2 AD ， AS ⊥ 平面 ABCD ， AD ∥ BC ， AB ⊥ BC ，且 AS ＝ AB . 求直線 SC 與底面 ABCD 的夾角 θ 的余弦值． 研一研 AC→＝ 0 ， ∴ OE→⊥ AC→， OF→＝12 BA→＝??????0 ，－a2 ， 0 ， OF→AB→ ＝ 0 ， AP→ n 2 ||n 1 || n 2 | ＝|0 32－1212－ 2 2 |34＋14＋ 2 n 2| n1 || n 2 |＝ － 23 2 ＝－ 33 . ∵ 所求二面角為銳角， ∴ 二面角 A — PB — C 的余弦值為33 . 本課欄目開關 填一填 練一練 研一研 利用空間向量求角的基本思路是把空間角轉化為求兩個向量之間的關系．首先要找出并利用空間直角坐標系或基向量( 有明顯的線面垂直關系時盡量建系 ) 表示出向量；其次理清要求角和兩個向量夾角之間的關系． 練一練 A 1 D→ ＝ 1 － 1 ＝ 0. 本課欄目開關 填一填 練一練 研一研 ∴ AC 1→ 是平面 A 1 BD 的一個法向量． 練一練 DM→＝ 0. ∴ BP 與 DM 所成的角的大小為 θ ＝ 9 0 176。DB→|PB→|| DB→|＝42 2 2 2＝12， ∴ 〈 PB→， DB→〉＝π3， ∴ BD 和平面 A D M N 所成的角為π6. 本課欄目開關 填一填 練一練 研一研 探究點三 求二面角 問題 怎樣利用向量法求兩個平面所成的二面角的大??？ 研一研 問題探究、課堂更高效 ∵ 異面直線所成角的范圍是??????0 ，π2 ，設直線 AF 與 BE 所成角為 θ ，則 c os θ ＝ | c o s 〈 AF→， BE→〉 |＝5 218 . 本課欄目開關 填一填 練一練 研一研 探究點二 求直線和平面所成的角 問題 1 直線和平面所成角的范圍是什么？ 研一研 b||a||b| 本課欄目開關 填一填 練一練 研一研 3 ． 二面角的平面角 設二面角 α — l — β 的銳二面角大小為 θ ，且兩個半平面 的法向量分別為 a ， b ，則 c os θ ＝ . 填一填 | O1A→| ＝| ? － 3 ， 1 ，－ 3 ? ， PA ⊥ 底面 ABCD ，且 PA ＝ AD ＝ AB ＝ 2 BC ， M 、 N 分別為 PC 、 PB 的中點． ( 1) 求證： PB ⊥ DM ； ( 2) 求 BD 與平面 A D M N 所成的角． 研一研 AE→ ＝ 0 ，m ，則l 1 與 l 2 這兩條異面直線所成的角等于 ________ ． 練一練 本課欄目開關 填一填 練一練 研一研 5 ． PA ⊥ 平面 ABC ， AC ⊥ BC ， PA ＝ AC ＝ 1 ， BC ＝ 2 . 求二面角 A — PB — C 的余弦值． 練一練 AP→＝ 0 ，n 1 2 ．已知向量 m ， n 分別是直線 l 和平面 α 的方向向量，法向量，若 c o