【正文】 F1, F2叫作橢圓的 焦點 , 兩個焦點 F1, F2間的距離叫作橢圓的 焦距 . 思考 1 為什么在橢圓的定義中要求其中的常數(shù)大于這兩個定點之間的距離呢 ? 提示 :這是因為如果其中的常數(shù)等于這兩個定點間的距離 ,相應(yīng)的動點的軌跡就是以這兩個定點為端點的線段 。 | P F2| 2 | P F1| ( 2 ) 兩個焦點的坐標分別為 ( 0 , 2 ) , ( 0 , 2 ), 并且橢圓經(jīng)過點 32,52 . 思路分析 :根據(jù)題意 ,先判斷橢圓的焦點位置 ,再設(shè)出橢圓的標準方程 ,從而確定 a , b 的值 . 解 : ( 1 ) ∵ 橢圓的焦點在 x 軸上 , ∴ 設(shè)橢圓的標準方程為??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) . ∵ c= 4 , 2 a= 10 , ∴ b2=a2 c2= 9 . ∴ 所求橢圓的方程為??225+??29= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) ∵ 橢圓的焦點在 y 軸上 , ∴ 設(shè)所求橢圓的標準方程為??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) . 由橢圓的定義 ,知 2 a= 32 2+ 52+ 2 2+ 32 2+ 52 2 2= 2 10 .即a= 10 . 又 c= 2 , ∴ b2=a2 c2= 6 . ∴ 所求橢圓的方程為??210+??26= 1 . 反思 根據(jù)已知條件 ,判定焦點的位置 ,設(shè)出橢圓的方程是解決此題的關(guān)鍵 . 探究一 探究二 探究三 探究四 焦點三角形問題 橢圓上一點 P 與橢圓的兩焦點 F1, F2構(gòu)成的 △ F1PF2稱為焦點三角形 ,解關(guān)于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義 ,三角形中的正弦定理、余弦定理等知識 .對于求焦點三角形的面積 ,若已知 ∠ F1PF2,可利用 S=12ab s in C 把 | P F1| ( 3 ) 用定義法求橢圓方程 ,有時要根據(jù)實際意義去掉不符合題意的點 . 2 .橢圓的定義給出了一個結(jié)論 :橢圓上的點 P 到兩焦點 F1, F2的距離的和為常數(shù) 2 a ,則已知橢圓上一點到一焦點的距離就可以利用|MF1| + | MF2|= 2 a 求出該點到另一焦點的距離 . 3 .凡涉及橢圓上的點及橢圓焦點的問題 ,應(yīng)首先考慮利用橢圓的定義求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 1 】 已知 B , C 是兩個定點 , |BC|= 6 , 且 △ ABC 的周長等于 16 ,求頂點 A 的軌跡方程 . 思路分析 :選取線段 BC 的中點為坐標原點 ,建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?,由B , C 為兩定點 , A 為動點 ,研究 | A B |+ |AC| 是否為定值 ,并比較與 |BC| 的大小關(guān)系 ,從而判斷點 A 的軌跡圖形形狀 ,進而得到軌跡方程 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : 如圖所示 ,建立平面直角坐標系 ,使 x 軸經(jīng)過點 B , C ,原點 O 與 BC 的中點重合 . 由已知 | A B | + | A C | + | B C | = 16 , | B C | = 6 ,有 | A B | + | A C | = 10 6 ,即點 A 的軌跡是橢圓 ,且 2 c= 6 , 2 a= 16 6 = 1