【正文】 9】如圖,在長(zhǎng)方體中,、分別是棱,上的點(diǎn),
(1)求異面直線與所成角的余弦值。,求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.【解析】以H為原點(diǎn),HA,HB,HP分別為x,y,z軸,線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則A(1,0,0),B(0,1,0)
(I)設(shè) 則
可得
因?yàn)?
所以
(II)由已知條件可得故,
設(shè)為平面PEH的法向量,
則 即 因此，取
由 可得
所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為 【例4】如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（Ⅰ）求證：對(duì)任意的，都有（Ⅱ）設(shè)二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若， 【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）證法2：以D為原點(diǎn)，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如
圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則
D（0，0，0），A（，0，0），B（，0），C（0，0），E（0，0），
，
即。?若存在,求出BP的長(zhǎng)。
(2)求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值.解法二:取CD中點(diǎn)O,連OB,OM,
,
則平面BCD.
取O為原點(diǎn),直線OC、BO、OM為軸、軸、軸,
建立空間直角坐標(biāo)系如圖.,
則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為
(1)設(shè)是平面MBC的法向量,則

由
由得
取,則


(2)
設(shè)平面ACM的法向量為,
由得
解得
又平面BCD的法向量為
又平面BCD的法向量為
所以
設(shè)所求二面角為,則 【例22】如圖,五面體中,.底面是正三角形,.四邊形是矩形,平面平面AABCDO(I)求這個(gè)幾何體的體積。,∠BED就是二面角B—PC—D的平面角.………………………4分設(shè)AB=a，則BD=PB=，PC=， BE=DE=, cos∠BED=,∠BED=120176?！军c(diǎn)評(píng)】由于理科有空間向量的知識(shí)，在解決立體幾何試題時(shí)就有兩套根據(jù)可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對(duì)的缺陷，那就是空間向量的運(yùn)算問題，空間向量有三個(gè)分坐標(biāo)，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問題的優(yōu)勢(shì)并不明顯，所以在復(fù)習(xí)立體幾何時(shí)，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應(yīng)用。,
面,在 中,
又面,即與面所成的線面角,
在中,
(3)在上取點(diǎn),使,則因?yàn)槭堑闹芯€,是的重心,在中,過作ABC111ACB//交于, 面,//
面,即點(diǎn)在平面上的射影是的中心,該點(diǎn)即為所求,且,.
【例16】．如圖，在長(zhǎng)方體中，且．（I）求證：對(duì)任意，總有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影 平分？若存在, 求出的值, 若不存在，說明理由．答案解：（I）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則， ，從而， ，即．　?。ǎ捶郑↖I）由（Ｉ）及得，設(shè)平面的法向量為，則，從而可取平面的法向量為，又取平面的法向量為，且設(shè)二面角為，所以　　　　　?。ǎ狗郑↖II） 假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，由題結(jié)合圖形，只需滿足分別與所成的角相等，即 ，即，解得 ．所以存在滿足題意得實(shí)數(shù)，使得在平面上的射影平分 （14分）ABCDEGF【例17】 如圖，在六面體中，平面∥平面，⊥平面，,∥．且,． （Ⅰ）求證： ∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ） 求五面體的體積．答案 (本題滿分13分) 解法一 向量法由已知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標(biāo)系，則A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F(xiàn)（2，1，0）（Ⅰ），∴，所以BF∥CG．又BF平面ACGD，故 BF//平面ACGD …4分（Ⅱ），設(shè)平面BCGF的法向量為， 則，令，則，而平面ADGC的法向量 ∴＝ 故二面角DCGF的余弦值為．9分 （Ⅲ）設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM、FM， 則＝ ＝＝＝．……………13分【例18】如圖，一簡(jiǎn)單幾何體的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC。.(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值；(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足，在直線AA上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面ABC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.〖解〗解：∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于點(diǎn)O，∴A1O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60176。 (Ⅱ)求SN與平面CMN所成角的大小.證明：設(shè)PA=1,以A為原點(diǎn),射線AB,AC,AP分別為x,y,z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,0) (Ⅰ),因?yàn)?所以CM⊥SN (Ⅱ),設(shè)a=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量,則 因?yàn)樗許N與片面CMN所成角為45176。
(II)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F,使B1F//平面A1BE?證明你的結(jié)論.【解析】解法1 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,如圖所示,以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.
(I)依題意,得B(1,0,0),E(),
A(0,0,0),D(0,1,0),所以

在正方體ABCD—A1B1C1D1中,因?yàn)锳D⊥平面
ABB1A1,所以是平面ABB1A1的一個(gè)法向量,
設(shè)直線BE和平面ABB1A1所成的角為,則

即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為
(II)依題意,得
設(shè)是平面A1BE的一個(gè)法向量,則由,得

所以取
設(shè)F是棱C1D上的點(diǎn),則F(t,1,1)
又所以
D而平面A1BE,于是
B1F//平面A1BE
為C1D1的中點(diǎn),這說明在棱C1D1上存在點(diǎn)F(C1D1的中點(diǎn)),使B1F//平面A1BE.
【例11】在直三棱柱中，A1A=AB=3，AC=3，、Q